青蛙交換游戲中的數(shù)學(xué)

【摘要】游戲能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，青蛙交換游戲規(guī)則簡單，但蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維豐厚.通過青蛙交換游戲及其拓展，在玩中學(xué)，在學(xué)中思，發(fā)展學(xué)生從特殊到一般、化歸等數(shù)學(xué)思想，提升學(xué)生的抽象與模型觀念等素養(yǎng).

【關(guān)鍵詞】青蛙跳游戲；玩中學(xué)；學(xué)中思

數(shù)學(xué)家馬丁·加德納曾經(jīng)說過：“喚醒學(xué)生的最好的辦法是向他們提供有吸引力的數(shù)學(xué)游戲.”為此，在七年級（上）開設(shè)了一堂研究性的學(xué)習(xí)課“青蛙交換游戲中的數(shù)學(xué)”.

1青蛙交換游戲及其規(guī)則

如圖1，水面上有7塊石頭，除了中間的1塊石頭外，左邊有3只綠青蛙（），只能朝右方向跳；右邊也有3只赤青蛙（），只能朝左方向跳.跳動的規(guī)則：必須按照規(guī)定的方向跳到與其相鄰的空石頭上，或者越過1只相鄰青蛙跳到空石頭上，直到左邊青蛙與右邊青蛙整體交換為止.

教師出示青蛙跳石頭的游戲，由于游戲情景擬真，學(xué)生很是喜歡，教師講解青蛙跳動的規(guī)則，并同時(shí)給出青蛙跳動的操作，在學(xué)生掌握規(guī)則后，四人一小組進(jìn)行實(shí)驗(yàn)操作，如圖2，教師給每組學(xué)生六顆棋子，其中3顆綠色（），3顆赤色（）（分別代表兩種不同的青蛙顏色）進(jìn)行模擬游戲.

2交換青蛙游戲?qū)嵺`

通過學(xué)生實(shí)踐操作后，大部分小組都聲稱自己能玩這個游戲，教師在了解各小組的實(shí)驗(yàn)操作后，選擇有代表性的幾個小組進(jìn)行分享.

小組1：我們小組在實(shí)踐的過程中，遭遇了許多次碰壁，在跳的過程中，我們發(fā)現(xiàn)青蛙跳動是有規(guī)律的.如圖3，第1步：綠青蛙向空石頭跳一格；第二步：若中間的綠青蛙向鄰近的空石頭再跟上跳1格；那么右邊5個青蛙再也無法跳動.

因此，如圖4，第1步綠青蛙跳動后，第2步應(yīng)該是赤青蛙越過綠青蛙向前跳.圖3

那么接下來第3步如何跳動呢？我們也進(jìn)行上面的分析，如圖5得到完整的青蛙跳動過程.

小組1匯報(bào)結(jié)束后，教師補(bǔ)充道，剛才第1小組用兩種顏色的圓形替代青蛙跳，但在實(shí)際操作過程中，發(fā)現(xiàn)畫圖與涂色操作比較麻煩，不用這種方式表示可以嗎？

此時(shí)，有學(xué)生說用文字替代有顏色的圖形；也有學(xué)生說用幾何圖形如“△”替代綠青蛙，用“○”替代赤青蛙；有學(xué)生說用字母替代上述的青蛙.

教師向大家問道，上述哪一種方法表示簡潔又容易操作呢？

最后大家都認(rèn)同用字母表示簡潔，操作方便.

接下來，各小組用字母表示的方法繼續(xù)分享他們的想法.

第2小組：我們小組在操作三只青蛙時(shí)，不利于總結(jié)規(guī)律，其中有同學(xué)提議，從簡單的1只青蛙開始.記左邊第一只綠色青蛙為A1，右邊第一只赤色青蛙為B1，其它左右青蛙依次類推，空石頭為O.

1只青蛙：開始（A1OB1）→（OA1B1）→（B1A1O）→（B1OA1）.

2只青蛙：開始（A1A2OB2B1）→（A1OA2B2B1）→（A1B2A2OB1）→（A1B2A2B1O）→（A1B2OB1A2）→（OB2A1B1A2）→（B2OA1B1A2）→（B2B1A1OA2）→（B2B1OA1A2）.

這樣就能發(fā)現(xiàn)左右各三只青蛙是怎樣跳的，過程與圖5類似（過程略）.

第3小組：我們小組研究發(fā)現(xiàn)

3只青蛙：開始（A1A2A3OB3B2B1）→（A1A2OA3B3B2B1）→（A1A2B3A3OB2B1）→（A1A2B3OA3B2B1）→（A1OB3A2A3B2B1）.

發(fā)現(xiàn)在跳動過程中出現(xiàn)A2A3B2B1，或更一般地AABB或BBAA都是不能繼續(xù)走下去.正確的跳動格式是ABAB或BABA，也就是說與A相鄰的是字母B，與B相鄰的字母是A.根據(jù)這一特點(diǎn)，實(shí)現(xiàn)青蛙整體交換.

第4小組：我們小組一方面是從結(jié)果出發(fā)，逆向思考，同時(shí)也結(jié)合開始狀態(tài)順向思考.開始狀態(tài)：（A1A2A3OB3B2B1），若要較快實(shí)現(xiàn)從左邊移到右邊，那么每只青蛙跳動的總步數(shù)盡可能相同.

從逆向思考：目標(biāo)狀態(tài)（B3B2B1OA1A2A3）→（B3B2B1A1OA2A3）或（B3B2OB1A1A2A3）→（B3B2OA1B1A2A3）或（B3B2A1B1OA2A3）→…

另一方面，從開始狀態(tài)（B3B2B1OA1A2A3）→（B3B2OB1A1A2A3）→（B3B2A1B1OA2A3）→…

結(jié)合兩方面，就能實(shí)現(xiàn)左邊青蛙與右邊青蛙整體交換.

在四個小組匯報(bào)后，教師組織同學(xué)對他們的匯報(bào)進(jìn)行評價(jià)，并對他們的方法進(jìn)行總結(jié)與提煉.師生總結(jié)第1小組是邊實(shí)踐，邊總結(jié)與反思錯誤，稱第1小組為“摸著石頭過河”，這樣的做法也是大部分同學(xué)的想法與思路；第2小組遇到復(fù)雜問題，退一步，從簡單的問題開始，然后再總結(jié)規(guī)律，稱第2小組為“化復(fù)雜為簡單”法，遇到復(fù)雜問題可以退到簡單的問題中去思考，這一種方法是值得學(xué)習(xí)與推廣的方法；第3小組在實(shí)驗(yàn)青蛙跳躍過程中，總結(jié)了判定法則，形如“AABB或BBAA”為不可能跳躍法的位置，形如“ABAB或BABA”為可能跳躍法的位置，稱第3小組為“特征判定”法，他們的方法是善于提煉與抽象，進(jìn)行特征識別，這一點(diǎn)更值得大家學(xué)習(xí).第4小組既從結(jié)論出發(fā)逆向思考，又從條件出發(fā)正向思考，稱這一方法為“綜合與分析”法，是解決問題的常用方法.

總結(jié)與交流后，接著教師問大家，你們還有什么問題嗎？或還會提出什么問題嗎？

此時(shí)，一學(xué)生提出：左邊2只青蛙，右邊3只青蛙可以實(shí)現(xiàn)整體交換嗎？或者更一般的，兩邊青蛙數(shù)量不等，他們能實(shí)現(xiàn)整體交換嗎？

教師追問這一學(xué)生，你是如何想到這樣的問題呢？

學(xué)生回答剛才青蛙交換游戲是兩邊相等，數(shù)量是對稱的，不對稱可以嗎？這個游戲還能不能把左邊青蛙交換到右邊去，右邊交換到左邊去呢？我很好奇，于是就提出這樣的問題.

教師表揚(yáng)了這位同學(xué)善于從兩邊青蛙數(shù)量相等拓展到兩邊青蛙數(shù)量不等，這樣的問題是一個好問題，然后把這個問題寫在黑板上.然后再詢問，大家還能提出不同的問題嗎？

又一學(xué)生提出兩邊青蛙各3只時(shí)，一共跳了多少步才能實(shí)現(xiàn)左右青蛙互換呢？

提出問題后，馬上有同學(xué)補(bǔ)充了這位同學(xué)的問題“兩邊各3只青蛙，至少需要多少步才能實(shí)現(xiàn)左右互換？”

教師追問這兩位同學(xué)，你們是如何想到這樣的問題呢？兩位同學(xué)都談到上述在做游戲時(shí)就已經(jīng)思考了這個問題，需要多少步才能左右交換.教師表揚(yáng)了這些提出問題的同學(xué)，在實(shí)踐游戲時(shí)，不停的產(chǎn)生問題意識與問題，并且善于提煉這些問題，把游戲進(jìn)行推廣，使游戲變得更有挑戰(zhàn)性.同時(shí)，教師總結(jié)了這些同學(xué)是如何提出問題的，提出問題的共性是基于已知游戲中的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，一個是從條件中的數(shù)量相等拓展到不等，另一些同學(xué)是基于操作結(jié)果的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系，共有幾步等，可見這些同學(xué)都擁有數(shù)學(xué)的眼光，善于從情景中提煉數(shù)與數(shù)量關(guān)系.

3青蛙交換游戲的拓展

教師先讓孩子們猜想：兩邊數(shù)量不等的青蛙能左右互換嗎？

大部分學(xué)生認(rèn)為左右可以交換，小部分學(xué)生認(rèn)為不能左右交換，教師追問這一些學(xué)生，你能否具體的說出，具有怎樣數(shù)量關(guān)系的青蛙是左右不能交換的，這部分學(xué)生認(rèn)為一邊青蛙數(shù)量是奇數(shù)，另一邊是偶數(shù)的，他們是不可能交換的，例如：左邊青蛙3只，右邊青蛙4只，是不能左右交換的.

教師一方面追問這部分學(xué)生，真的左右不能交換嗎？請這一部分同學(xué)自己再驗(yàn)證，到底能不能左右交換，用實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證自己的猜想.

另一方面，與他們觀點(diǎn)相反的同學(xué)，請這些同學(xué)用實(shí)際的行動給出解釋，很快一些同學(xué)給出了具體互換的做法（具體操作略）.

從中，青蛙互換游戲從左右兩邊數(shù)量相等拓展到左右兩邊數(shù)量不等，教師問學(xué)生，接下來我們還要解決哪些問題呢？

學(xué)生大部分提到，上述青蛙游戲在交換時(shí)，至少需要幾步？

教師提出上述青蛙交換游戲有左右兩邊數(shù)量相等，也有左右兩邊數(shù)量不相等，你們認(rèn)為先要研究哪個問題？

學(xué)生提出先探索左右兩邊數(shù)量相等的青蛙交換游戲.

教師追問學(xué)生為什么先研究左右兩邊數(shù)量相等的青蛙交換游戲呢？

學(xué)生們認(rèn)為先特殊后一般，在特殊中找出規(guī)律，從中形成方法與解決問題的策略，教師非常贊成同學(xué)們這一想法.

教師再追問學(xué)生，那么如何研究呢？然后讓同學(xué)們進(jìn)行獨(dú)立探索，而后再交流.

同學(xué)們在獨(dú)立探索后，發(fā)現(xiàn)許多同學(xué)都知道游戲中交換的最小步驟.教師組織學(xué)生分享.

生1：假設(shè)左右兩邊青蛙各a只，想要使左邊的青蛙交換到右邊，最少需a（a+2）步

師：你是怎樣得到這個答案的？

生1：上述實(shí)驗(yàn)操作青蛙跳的游戲過程中，當(dāng)a=1時(shí)，最小需要3步；當(dāng)a=2時(shí)，最小需要8步；當(dāng)a=3時(shí)，最小需要15步.那么我就發(fā)現(xiàn)了跳動的規(guī)律是a（a+2）.當(dāng)a=4時(shí)，驗(yàn)證的最小步數(shù)與這個代數(shù)式是一致的.

師：這位同學(xué)從特殊的1只青蛙，2只青蛙開始，然后發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并用特殊值進(jìn)行驗(yàn)證，這里滲透的思想是特殊到一般的思想，還有不同的想法嗎？

生2：發(fā)現(xiàn)在青蛙交換游戲過程中，有一種是青蛙跳躍，另一種青蛙移動，跳躍每次是2格，移動是每次1格.通過對幾個簡單具體數(shù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，見表1.歸納推理可以發(fā)現(xiàn)共需要（2a+a2）步.

教師表揚(yáng)了這位同學(xué)，在青蛙交換游戲過程中，關(guān)注青蛙運(yùn)動的2種方式，根據(jù)移動的步數(shù)，把它分成兩種跳動方式，這一想法很有獨(dú)到性.

同時(shí)教師提出還有不同的解釋嗎？

教師再啟發(fā)學(xué)生，剛才生2把青蛙交換游戲過程分成兩種，一種是越過一只青蛙跳動，另一種是向相鄰的空石頭跳動，而跳動是每次跳2格，移動每次為1格，我們上述都是從數(shù)的角度去思考，數(shù)學(xué)中除數(shù)與數(shù)量關(guān)系視角外，還有其它的視角嗎？

在教師的啟發(fā)下，學(xué)生想到用形的方法進(jìn)行解釋，如圖6.

開始狀態(tài)時(shí)青蛙為（A1A2A3OB3B2B1），交換后的狀態(tài)是（B3B2B1OA1A2A3）

從中可以發(fā)現(xiàn)每1只青蛙移動的格子數(shù)為4，那么共有6只青蛙，總移動的格數(shù)=4×6.

更一般地，如圖7，左右若有a個青蛙，那么每只青蛙共移動（a+1）格，那么2a

只青蛙共移動的格數(shù)為2a（a+1）格，即移動總格數(shù)=2a2+2a.從另一個方面說明了青蛙跳動了a2次，移動了2a次.

教師再與學(xué)生一起從數(shù)與形兩個方面對青蛙變化的步數(shù)是如何得到的，進(jìn)行回顧，然后再進(jìn)行總結(jié)其中的方法，從中讓學(xué)生體會其中的數(shù)學(xué)思想方法.

在回顧上述的同時(shí)，教師又提出：“對于左右兩邊青蛙數(shù)量不等，若交換青蛙的位置，青蛙變化的步數(shù)最小又是多少呢？”

上述左右兩邊青蛙數(shù)量相等時(shí)，已經(jīng)形成了解決問題的策略，同學(xué)們不知不覺的把這一種方法遷移到數(shù)量不等中去，見表2.

同時(shí)，也有學(xué)生從形的方法進(jìn)行驗(yàn)證，發(fā)現(xiàn)上述規(guī)律的正確性.

小結(jié)：略.

4游戲教學(xué)實(shí)踐思考

4.1游戲教學(xué)要從玩游戲中走向玩“數(shù)學(xué)”

在游戲教學(xué)中，一些教師存在一些誤區(qū)，認(rèn)為任一游戲都蘊(yùn)含了數(shù)學(xué)教育價(jià)值.其實(shí)不然，現(xiàn)在各類商家為了賺錢，開發(fā)的游戲種類繁多，有些游戲純屬搞笑、娛樂，有的含有暴力、色情等不健康的游戲，因此游戲融入數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，要對游戲進(jìn)行篩選，游戲素材，如動畫等畫面形式要求樸素、自然、大方，游戲規(guī)則簡單，游戲情景中蘊(yùn)含豐富的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系，便于學(xué)生能從游戲情景中提煉數(shù)學(xué)模型，發(fā)展孩子們的模型觀念.例如，青蛙交換游戲， 兩種顏色的卡通青蛙，操作中附上自然的青蛙聲音，符合七年級學(xué)生的心理特征.同時(shí)游戲規(guī)則，就是青蛙跳，怎么跳呢？一種是青蛙跳到相鄰的空石頭上，另一種是越過相鄰青蛙，跳到空石頭.整個游戲的要求，左邊三只綠青蛙與右邊的三只赤青蛙進(jìn)行整體交換.情節(jié)簡單，但要成功的實(shí)行整體交換，卻有一定的難度.特別在游戲情景中左右兩邊三只青蛙，因此在游戲的拓展中，青蛙的數(shù)量可以拓展到4只青蛙，5只青蛙，直到a只青蛙，當(dāng)然也可以從左右青蛙數(shù)量相等拓展到數(shù)量不等.青蛙交換游戲中也可以從情景中抽象出數(shù)量關(guān)系，例如左右兩邊3只青蛙，最小跳動的步數(shù)是多少，尋求游戲中青蛙數(shù)量與跳動最小步數(shù)的數(shù)量關(guān)系，當(dāng)然游戲中也可以從圖形與圖形關(guān)系進(jìn)行抽象，把左右青蛙的位置抽象成數(shù)軸，每一個青蛙所在的位置都對應(yīng)一個數(shù).這樣從數(shù)與形兩方面思考跳動的步數(shù).從中發(fā)現(xiàn)雖是簡單的游戲，但卻蘊(yùn)含了豐富的數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系.

4.2游戲教學(xué)要從好玩走向會玩

受應(yīng)試教育的影響，部分家長和教師認(rèn)為玩游戲是“不務(wù)正業(yè)”，導(dǎo)致一些孩子有一種偏向，認(rèn)為玩游戲是荒廢學(xué)業(yè)，應(yīng)該集中精力把成績提高上去，其實(shí)這也是一種誤導(dǎo)，游戲玩耍的背后是思維的博弈和智慧的較量，游戲的博弈和適度的緊張能很好培養(yǎng)抗挫折能力，提升孩子們的逆商，玩游戲本質(zhì)上是玩思維和情商的多向訓(xùn)練.因此，教師首先要改變玩游戲是“不務(wù)正業(yè)”這樣一種觀念.其次，七、八年級的學(xué)生對游戲自然有一種吸引力，還保持激情與挑戰(zhàn)的心理，然而現(xiàn)實(shí)的初中生們對游戲教學(xué)還是缺乏激情，究其原因，主要是游戲缺乏吸引力和挑戰(zhàn)性.因此教師在選擇游戲時(shí)，要考慮到游戲與孩子們的心理年齡是否相符，會不會吸引孩子們的眼球，有沒有挑戰(zhàn)性.

好的游戲自然就能激發(fā)孩子們的參與性，在玩中讓孩子們體會心理的愉悅，體會到成功的樂趣，以及對失敗的挑戰(zhàn)和不服輸?shù)囊庵酒焚|(zhì).在玩中學(xué)會玩，那是一種“真會玩”，會玩它不是魯莽也不是膽怯，會玩它表現(xiàn)在思維上，表現(xiàn)在嚴(yán)謹(jǐn)?shù)挠?jì)算與理性的分析，表現(xiàn)在計(jì)算后勇敢的放棄.因此在游戲融入教學(xué)中好玩是一種心理體驗(yàn)，會玩是一種技能與能力，如何從好玩走向會玩呢？

首先，教師在玩中幫助孩子們提煉玩的基本經(jīng)驗(yàn).例如，在青蛙交換游戲中，不同的小組給出了不同交換方法，第1小組的方法“摸著石頭過河”，第2小組學(xué)會從簡單的游戲開始，思維上體現(xiàn)了“化一般為特殊”，第3小組的方法“特征判定法”，第4小組的方法既逆向思考，又順向思考的“綜合與分析”法.教師總結(jié)各小組的方法，清晰各小組的動作要領(lǐng)，讓孩子們在玩中積累玩的經(jīng)驗(yàn)，在玩中優(yōu)化玩的方法.

其次，教師適當(dāng)進(jìn)行游戲升級與拓展.例如，在青蛙交換游戲中，從左右兩邊數(shù)量相等拓展到數(shù)量不等，從整體交換到最小步數(shù)的拓展.因此，教師在玩中幫助孩子們

學(xué)會經(jīng)驗(yàn)的遷移，在游戲的升級中走向好玩.

4.3游戲教學(xué)要從會玩走向會思

玩游戲不是目的，通過游戲的玩耍，讓孩子們學(xué)會一種應(yīng)對的策略，通過游戲?qū)W會思考.

因此游戲教學(xué)，在玩中學(xué)會如何博弈與對策，在玩中學(xué)會理性的分析，在玩中學(xué)會一種做事的能力.

會玩，那是一種學(xué)習(xí)狀態(tài)，會思是一種思維的狀態(tài).在玩中積累玩的經(jīng)驗(yàn)與對策，是一種會玩的表現(xiàn)；然而在玩中不斷地提出問題，優(yōu)化游戲操作，簡化游戲問題，那是一種思維.例如，在青蛙交換游戲中，有同學(xué)用幾何圖形表示青蛙交換游戲過程，有的孩子們卻簡化這一幾何圖形表示方法，用字母代替幾何圖形，同時(shí)為后繼從數(shù)走向形，用數(shù)軸表示青蛙交換的最小步驟作好了鋪墊.又如，當(dāng)左右兩邊各3只青蛙時(shí)，孩子們已經(jīng)會玩了，此時(shí)孩子們提出左右兩邊青蛙數(shù)量不等還能交換位置嗎，從而自然進(jìn)行游戲的迭代與升級.

因此，在玩游戲教學(xué)中，要對游戲失敗后的片斷進(jìn)行反思，對每一個關(guān)鍵性的步驟進(jìn)行思考，為什么是這樣而不能那樣.例如上述游戲中，有同學(xué)提出青蛙不可能跳動的位置形如“AABB”或“BBAA”，并解析為什么這樣位置排列是不行的；其次，對每一個游戲即將完成后，教師要有意識的停頓與留白，反思游戲背后的博弈，進(jìn)行理性的分析與思考.在失敗中學(xué)會思考，在成功中學(xué)會總結(jié).數(shù)學(xué)游戲不能單純使學(xué)生停留在“好玩”上，教師必須引導(dǎo)學(xué)生在游戲中通過親身參與和獨(dú)立探索，建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)知識，獲得對數(shù)學(xué)的理解，拓寬解題思路，使數(shù)學(xué)真正起到思維磨刀石的作用[1].

參考文獻(xiàn)

[1]童文波.新課程讓數(shù)學(xué)游戲走進(jìn)初中一年級課堂[J].數(shù)學(xué)教學(xué)，2005（05）：24-25.

作者簡介 張安軍（1975—），中學(xué)正高級教師，浙江省特級教師，現(xiàn)任余杭區(qū)初中數(shù)學(xué)教研員;主要從事數(shù)學(xué)教育與初中數(shù)學(xué)命題研究，發(fā)表論文60余篇，其中人大復(fù)印報(bào)刊資料《初中數(shù)學(xué)教與學(xué)》全文轉(zhuǎn)載6篇.