【摘要】折疊問題是初中數(shù)學(xué)幾何問題中難度較大的一類問題，對(duì)學(xué)生的空間想象能力和幾何作圖能力有較高要求.因此，立足不同的視角，嘗試用多種方法分析和解決同一道問題，是理解折疊背景下幾何問題實(shí)質(zhì)的重要過程.本文以探究一道典型例題的多種解法、思路分析及解答過程為例，從提升學(xué)生核心素養(yǎng)的角度，感悟數(shù)學(xué)之魅力，體驗(yàn)?zāi)芰Φ能S升.在過程中感悟折疊之美，以供讀者參考.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；平面幾何；折疊；解題

例題展示

對(duì)于給定的一張矩形紙片ABCD，寬AD=1，AB>CD進(jìn)行如下操作：先沿CE折疊，使點(diǎn)B落在CD邊上，如圖1所示.再沿CF折疊，使點(diǎn)E恰好與點(diǎn)D重合，如圖2所示.將該矩形紙片展開后，繼續(xù)折疊紙片，使點(diǎn)C與點(diǎn)F重合，折痕與AB，CF，CD分別交于點(diǎn)P，G，Q，如圖3所示.求PD的長(zhǎng).

圖2

圖3

問題分析

如圖4所示，第一次折疊展開后，折痕CE平分∠BCD.

結(jié)論1 ∠ECB=∠DCE=45°，

結(jié)合∠B=90°，

則BE=BC=1，CE=2.

圖5

如圖5所示，第二次折疊展開后，折痕CF平分∠ECD，

且CE=CD=2.

結(jié)論2 連接EF，連接ED，

可知△FEC≌△FDC.

∠FEC=∠FDC=90°；

∠ECF=∠DCF=12∠ECD=22.5°；

EF=FD；

CF垂直平分ED.

推論 由上述結(jié)論可知∠AEF=45°，又可得AE=AF=2－1；FD=2－2.

如圖6所示，第三次折疊展開后，折痕PQ垂直平分CF.

圖7

結(jié)論3 連接CP，F(xiàn)P，F(xiàn)Q，

則可得CP=FP；

CQ=FQ.

方法展示

解法1 利用特殊角的銳角三角函數(shù)

解 如圖7所示，

因?yàn)镕Q=QC，

所以∠CFQ=∠FCQ=22.5°，

即∠FQD=45°.

因?yàn)椤螦DC=90°，

所以DQ=DF.

因?yàn)镃F⊥DE，且CF⊥PQ，

所以DE∥PQ.

因?yàn)镻E∥DQ，

所以四邊形DEPQ是平行四邊形，

所以EP=DQ，則EP=DF.

因?yàn)锳E=AF，

所以AP=AD=1，PD=2.

解法2 利用四點(diǎn)共圓解決問題

解 如圖8所示，連接EF，PF，PC，PD.

由“結(jié)論2”可得∠FEC=∠FDC=90°，

圖8

所以C，D，F(xiàn)，E四點(diǎn)共圓，CF為圓的直徑、G為圓心.

連接EG，得∠EGF=2∠GCE=45°.

因?yàn)镻Q⊥CF，

所以∠ECP=45°，∠CQG=90°－∠QCG=67.5°.

因?yàn)锳B∥CD，

所以∠EPG=∠CQG=67.5°.

所以∠GEP=67.5°，

即∠GEP=∠EPG，GP=GE.

所以點(diǎn)P在圓G上，

∠ADP=12∠FGD=45°，

所以AP=AD=1，得PD=2.

圖9

解法3 建立坐標(biāo)系，利用解析法

解 如圖9所示，以點(diǎn)B為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，連接EF.

由題意得，點(diǎn)C的坐標(biāo)為（1，0）.

由結(jié)論1和結(jié)論2及其推論可得，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（1，2），點(diǎn)F的坐標(biāo)為（2－1，2），

則kFC=22－2=11－2.

因?yàn)橹本€PQ垂直平分CF，

所以kPQ=－1kFC=2－1.

所以G為FC的中點(diǎn)，故其坐標(biāo)為（22，22）.

所以yPQ=（2－1）x+2－1，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（0，2－1），

所以PD=2.

結(jié)語

由上述三種解法可以看出，解答折疊問題的關(guān)鍵在于利用軸對(duì)稱的性質(zhì)建立起眾多要素之間的關(guān)系，從定性到定量，步步為營(yíng)，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ê筒呗?，問題自然就會(huì)水落石出.適當(dāng)調(diào)整，放在“步步為營(yíng)”的后面，從而完成整個(gè)問題的總結(jié)和提升.