【摘要】二次函數(shù)作為初中數(shù)學(xué)的重要組成板塊，具有無(wú)可比擬的重要地位.對(duì)二次函數(shù)的綜合性考查是中考必不可缺的題型，結(jié)合幾何知識(shí)的綜合性二次函數(shù)問(wèn)題十分常見(jiàn)，如線(xiàn)段、角度、面積等綜合性大題.本文主要從二次函數(shù)綜合題的不同題型進(jìn)行分析，以具體例題為載體向?qū)W生展示題型特點(diǎn)和解題思路，豐富解題經(jīng)驗(yàn)，提高解題準(zhǔn)確率.

【關(guān)鍵詞】初中數(shù)學(xué)；二次函數(shù)；解題技巧

1 線(xiàn)段周長(zhǎng)綜合題

與二次函數(shù)有關(guān)的線(xiàn)段周長(zhǎng)問(wèn)題，一般會(huì)考查線(xiàn)段的具體值或最值，解題的關(guān)鍵在于運(yùn)用距離公式d=x1－x22+y1－y22表示有關(guān)線(xiàn)段，其中涉及點(diǎn)坐標(biāo)的假設(shè)，此時(shí)則與二次函數(shù)解析式有一定聯(lián)系.若求具體值，則代入數(shù)值運(yùn)算求大??；若求最值，則用一個(gè)未知量表示線(xiàn)段或周長(zhǎng)，求表達(dá)式最值即可.

例1 如圖1所示，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+c與x軸交于A－1，0，B3，0兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C（0，-3），連接BC，在直線(xiàn)BC下方的拋物線(xiàn)上取一點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作平行于y軸的直線(xiàn)交BC于點(diǎn)N，求線(xiàn)段MN的最大值.

解析 設(shè)直線(xiàn)BC的解析式為y=kx+b，

將B3，0，C0，－3代入解析式中，

可得0=3k+b－3=b，

所以k=1，b=－3，

故直線(xiàn)BC的解析式為y=x－3，

由題意可知拋物線(xiàn)解析式為y=x2-2x-3.

因?yàn)镸N∥y軸，且點(diǎn)N在直線(xiàn)BC上，點(diǎn)M在拋物線(xiàn)上，

設(shè)點(diǎn)Ma，a2－2a－3，點(diǎn)Na，a－3，

MN=a－3－a2－2a－3=－a2+3a，

當(dāng)a=－32×－1=32時(shí)，MN的值最大，

最大值為－a2+3a=－322+3×32=94.

圖2

2 面積綜合題

與二次函數(shù)有關(guān)的面積綜合問(wèn)題，通常針對(duì)二次函數(shù)上的點(diǎn)構(gòu)成的三角形或四邊形進(jìn)行考查.這類(lèi)面積問(wèn)題的求解，在于根據(jù)底面積乘以高公式靈活選擇底和高的表達(dá)，通過(guò)運(yùn)算得到具體的面積值.

例2 如圖2，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y=－x2+6x－5的圖像與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，其頂點(diǎn)為P，連接PA，AC，CP，過(guò)點(diǎn)C作y軸的垂線(xiàn)l，求△PAC的面積.

解析 由二次函數(shù)y=-x2+6x-5的圖像與x軸交于A、B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P，

A1，0，B5，0，C（0，-5），P（3，4），

設(shè)直線(xiàn)PC的解析式為y=kx+b，

則有b=－53k+b=4，

解得k=3b=－5，

所以直線(xiàn)PC的解析式為y=3x－5，

設(shè)直線(xiàn)交x軸于點(diǎn)D，如圖2所示，

令y=0，可知x=53，

則點(diǎn)D53，0，

故△PAC的面積為S=12×53－1×4+5=3.

3 角度綜合題

二次函數(shù)相關(guān)的角度綜合題屬于難度較大的一類(lèi)問(wèn)題，角度綜合題通常和相似三角形、全等三角形有一定聯(lián)系，故解答二次函數(shù)的角度問(wèn)題還需要靈活構(gòu)造相似三角形和全等三角形，將角度問(wèn)題等價(jià)轉(zhuǎn)化為線(xiàn)段長(zhǎng)度問(wèn)題，從而進(jìn)行進(jìn)一步的解答.

例3 如圖3所示，拋物線(xiàn)y=ax2+bx+3與x軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)交于A－6，0，D－1，5兩點(diǎn)，點(diǎn)P是直線(xiàn)AD上方拋物線(xiàn)上的一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P的橫坐標(biāo)為m，過(guò)點(diǎn)P作PE⊥AD于點(diǎn)E，連接BC，OP，試探究：在點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，是否存在點(diǎn)P，使∠OPE=∠BCO，若存在，請(qǐng)寫(xiě)出m的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

圖3

解析 由題意可得拋物線(xiàn)的解析式為y=-12x2-52x+3，直線(xiàn)l的解析式為y=x+6.

設(shè)點(diǎn)Pm，－12m2－52m+3，OP與AD相交于點(diǎn)F，

則OP的解析式為y=k1x，

所以k1m=－12m2－52m+3，

解得k1=－12m－52m+3m，

所以y=－12m－52+3mx，

聯(lián)立得y=－12m－52+3mxy=x+6，

解得x=-12mm2+7m－6，

y=6m2+5m－6m2+7m－6，

所以F－12mm2+7m－6，6m2+5m－6m2+7m－6，

設(shè)點(diǎn)Et，t+6，

因?yàn)镻E⊥AD，

所以PA2=AE2+PE2，

即m+62+－12m2－52m+3－02

=t+62+t+6－02+t－m2+

t+6+12m2+52m－32，

解得t=－m2－3m－64，

所以E－m2－3m－64，－m2－3m+184，

FE=24m2+7m+6·m2+3m－6m2+7m－6，

PE=24m2+7m+6.

因?yàn)椤螼PE=∠BCO，

∠FEP=∠BOC=90°，

所以△FPE∽△BCO，

即FEPE=BOCO，

當(dāng)x=0時(shí)，y=3；

當(dāng)y=0時(shí)，x=－6或x=1，

所以O(shè)B=1，OC=3，

m2+3m－6m2+7m－6=13，

解得m=2（舍去），

m=－10－2，

m=-3，

m=10－2（舍去），

綜上，m=－3或m=－10－2.

4 結(jié)語(yǔ)

上述三類(lèi)不同的二次函數(shù)綜合例題分析，分別對(duì)線(xiàn)段周長(zhǎng)、面積和角度綜合題的特點(diǎn)及其對(duì)應(yīng)解題思路進(jìn)行分析.其中距離公式、坐標(biāo)的假設(shè)與求解都是需要學(xué)生熟練掌握的基本內(nèi)容，應(yīng)得到關(guān)注與練習(xí).