摘要： 針對短時(shí)傅里葉變換 （STFT） 中固定窗效應(yīng)所導(dǎo)致的能量集中度不高的問題，提出了一種自適應(yīng)窗口旋轉(zhuǎn)優(yōu)化短時(shí)傅里葉變換 （AWROSTFT） 的變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承故障診斷方法。通過變分模態(tài)分解 （VMD） 對原始振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行降噪，并利用粒子群優(yōu)化算法 （PSO） 解決了VMD參數(shù)選擇困難的問題；利用切線思想對STFT中水平窗口自適應(yīng)匹配一系列的旋轉(zhuǎn)算子，使得窗口旋轉(zhuǎn)方向接近甚至等于瞬時(shí)調(diào)頻率，提高了時(shí)頻表示的能量集中度；計(jì)算出譜峰檢測法提取到的瞬時(shí)頻率與轉(zhuǎn)頻的平均比值，將得到的結(jié)果與軸承的故障特征系數(shù)進(jìn)行匹配，以此實(shí)現(xiàn)變轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承的故障診斷。仿真和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果都表明，本文所提方法能夠兼顧PSO?VMD和AWROSTFT的優(yōu)勢，通過切線思想自適應(yīng)的旋轉(zhuǎn)窗口使得信號(hào)與窗函數(shù)在全局上的夾角都為零，從而達(dá)到提高能量集中度和銳化時(shí)頻脊線的目的，實(shí)現(xiàn)了變轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承的故障診斷。

關(guān)鍵詞： 故障診斷； 時(shí)頻分析； 自適應(yīng)窗口旋轉(zhuǎn)優(yōu)化短時(shí)傅里葉變換； 變分模態(tài)分解； 變轉(zhuǎn)速

中圖分類號(hào)： TH165+.3； TH133.33 文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A 文章編號(hào)： 1004-4523（2024）06-1064-13

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2024.06.017

引 言

滾動(dòng)軸承作為旋轉(zhuǎn)機(jī)械的關(guān)鍵部件，對機(jī)械設(shè)備的安全穩(wěn)定運(yùn)行起著至關(guān)重要的作用，統(tǒng)計(jì)表明，30%以上的機(jī)械設(shè)備故障是由軸承故障引起的［1］。以傅里葉變換為基礎(chǔ)的包絡(luò)分析技術(shù)是滾動(dòng)軸承故障診斷最重要的方法之一［2］，然而在變轉(zhuǎn)速工況下，由于轉(zhuǎn)速變化導(dǎo)致的頻譜模糊現(xiàn)象使其不再適用［3］。因此，準(zhǔn)確診斷出變轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承的故障有利于設(shè)備的正常運(yùn)行和維護(hù)。

變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承的故障診斷方法主要分為階次跟蹤、循環(huán)平穩(wěn)理論和時(shí)頻分析三類［4?9］。

階次跟蹤通過角度域重采樣將時(shí)域非平穩(wěn)信號(hào)轉(zhuǎn)化為角域平穩(wěn)信號(hào)，從而利用頻譜分析方法診斷軸承故障。由于硬件階次跟蹤（Hardware Order Tracking， HOT）［10］方法完全采用硬件實(shí)現(xiàn)，成本很高，之后學(xué)者提出了計(jì)算階次跟蹤 （Computed Order Tracking， COT）方法［11?12］。但COT要獲取鍵相信號(hào)才能重采樣，在某些情況下鍵相信號(hào)獲取困難，因此無鍵相階次跟蹤（Tacholess Order Tracking， TLOT）已成為國內(nèi)外學(xué)者關(guān)注的焦點(diǎn)［13?14］。階次跟蹤雖然解決了轉(zhuǎn)速波動(dòng)導(dǎo)致的頻譜模糊問題，但其產(chǎn)生的精度誤差以及效率方面的缺陷也難以忽略。

針對階次跟蹤的弊端，學(xué)者們嘗試?yán)醚h(huán)平穩(wěn)理論解決變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承的故障診斷問題。Abbound等［15?16］提出了角度/時(shí)間循環(huán)平穩(wěn)（Angle/Time Cyclostationary， AT?CS）理論，利用階頻譜相關(guān)（Order?Frequency Spectral Correlation， OFSC）的方法提取出了變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承的故障特征。Urbanek等［17］通過廣義角度時(shí)間確定（Generalized Angular Temporal Deterministic， GATD）提取出了變轉(zhuǎn)速機(jī)械故障特征。但僅從時(shí)域或頻域分析振動(dòng)信號(hào)，通常無法獲得時(shí)頻瞬態(tài)特性，而這種特性正是處理非平穩(wěn)信號(hào)的核心［18］。

時(shí)頻分析提供了時(shí)域與頻域的聯(lián)合分布信息，非常適合提取振動(dòng)信號(hào)的瞬態(tài)特征。短時(shí)傅里葉變換（Short?Time Fourier Transform， STFT）利用時(shí)頻局部化的思想描述信號(hào)頻率隨時(shí)間變化的關(guān)系，被廣泛應(yīng)用于變轉(zhuǎn)速設(shè)備的狀態(tài)監(jiān)測與故障診斷。趙曉平等［19］結(jié)合圖像分析方法與STFT提出了改進(jìn)的Seam Carving瞬時(shí)頻率估計(jì)算法，提取瞬時(shí)轉(zhuǎn)頻曲線。李恒等［20］提出了基于STFT和卷積神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的故障軸承診斷方法，實(shí)現(xiàn)了端到端的故障模式識(shí)別。Zhao等［21］把STFT與瀑布圖相結(jié)合，分離出了多級齒輪傳動(dòng)系統(tǒng)耦合故障的故障特征。但是STFT窗口不變的特性固化了整個(gè)時(shí)頻平面中的時(shí)頻分辨率，對分析快速變化的非平穩(wěn)信號(hào)存在一定的局限性。

為了解決STFT窗口固定、分析調(diào)頻信號(hào)能力差的問題，學(xué)者們基于窗函數(shù)中窗口寬度可變和窗口方向可變兩個(gè)方面對STFT進(jìn)行改進(jìn)。Pei等［22］提出了一種基于能量測量的自適應(yīng)短時(shí)傅里葉變換方法，可以自適應(yīng)獲得具有時(shí)變窗寬的高斯內(nèi)核。通過窗口寬度可變改進(jìn)STFT的方法計(jì)算復(fù)雜度較高，并且估計(jì)的參數(shù)往往精度較低。而通過窗口方向變化改進(jìn)STFT的方法易于實(shí)現(xiàn)，精度也高于前者。

線性調(diào)頻變換（Linear Chirplet Transform， LCT）以一個(gè)固定旋轉(zhuǎn)度來改變STFT中窗口的方向，適用于線性調(diào)頻信號(hào)。Yu等［23］提出了一般線性調(diào)頻變換（General Linear Chirplet Transform， GLCT），通過等間隔選取多個(gè)旋轉(zhuǎn)度來旋轉(zhuǎn)窗口，在一定程度上增強(qiáng)了非線性調(diào)頻信號(hào)的時(shí)頻聚集性。GLCT方法雖然增強(qiáng)了時(shí)頻平面的能量集中度，但是無法保證旋轉(zhuǎn)后的窗口與信號(hào)頻率方向的夾角恒為零，并且該方法需要進(jìn)行多次LCT計(jì)算才能確定最優(yōu)的窗口旋轉(zhuǎn)度。現(xiàn)有的兩類優(yōu)化STFT窗口方向的方法都是通過人為設(shè)置若干個(gè)旋轉(zhuǎn)度來旋轉(zhuǎn)窗口，只能在局部增強(qiáng)能量集中度。因此，有必要研究如何通過自適應(yīng)的旋轉(zhuǎn)窗口的方法來增強(qiáng)全局的能量集中度。

針對現(xiàn)有STFT窗函數(shù)改進(jìn)方法中所出現(xiàn)的能量集中度低和耗時(shí)長等問題，為了提高變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承的時(shí)頻分辨率和故障識(shí)別的準(zhǔn)確性，本文從窗口方向可變的角度，基于切線思想對STFT的窗函數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，提出了一種自適應(yīng)窗口旋轉(zhuǎn)優(yōu)化STFT （Adaptive Window Rotation Optimization Short?Time Fourier Transform， AWROSTFT） 的方法，并通過粒子群優(yōu)化（Particle Swarm Optimization， PSO）和變分模態(tài)分解（Variational Mode Decomposition， VMD）方法提高振動(dòng)信號(hào)的信噪比，以此獲得更高精度的瞬時(shí)頻率脊線，最后用譜峰檢測法從時(shí)頻表示（Time?Frequency Representation， TFR）中提取出瞬時(shí)頻率（Instantaneous Frequency， IF），計(jì)算出譜峰檢測法提取到的瞬時(shí)頻率與轉(zhuǎn)頻的平均比值，并將得到的結(jié)果與軸承的故障特征系數(shù)進(jìn)行匹配，即可實(shí)現(xiàn)變轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承的故障診斷。仿真和實(shí)驗(yàn)的結(jié)果表明，本文所提出的基于PSO?VMD和自適應(yīng)窗口旋轉(zhuǎn)優(yōu)化STFT的方法能夠提高瞬時(shí)頻率提取的精度，可以有效實(shí)現(xiàn)變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承的故障診斷。

1 基本原理

1.1 PSO?VMD

利用PSO對VMD算法的參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，假設(shè)在d維空間中搜索粒子，通過迭代更新找到最優(yōu)解［24］。每次迭代都可以用位置向量和速度向量表示粒子信息，第oi個(gè)粒子的位置和速度分別表示為：So=（So1，So2，…，SoD），Vo=（Vo1，Vo2，…，VoD）。粒子可以根據(jù)個(gè)體的局部極值和全局極值不斷更新自己的兩個(gè)信息，更新公式為［24］：

（1）

（2）

式中 o=1，2，3，…；h為迭代次數(shù)；為粒子在d維中第h次迭代時(shí)的速度；［0，1］為慣性權(quán)重；c1和c2為學(xué)習(xí)因子；為［0，1］之間的隨機(jī)數(shù)；為粒子在d維中第h次迭代時(shí)的個(gè)別極值點(diǎn)位置；為粒子在d維中第h次迭代時(shí)的當(dāng)前位置；為整個(gè)種群在第h次迭代時(shí)全局極值在d維上的位置。

在PSO中，慣性權(quán)重按凹函數(shù)變化，凹函數(shù)策略調(diào)整可表示為［24］：

（3）

式中 為最大權(quán)重值；為最小權(quán)重值；H為最大迭代次數(shù)。

將式（3）代入式（1）中，得到：

（4）

PSO算法進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，需要確定一個(gè)適應(yīng)度函數(shù)，根據(jù)整個(gè)粒子群的適應(yīng)度來確定最優(yōu)解?？紤]振動(dòng)信號(hào)中沖擊分量的周期性和強(qiáng)度，引入包絡(luò)譜峰值因子Ec作為適應(yīng)度函數(shù)。假設(shè)信號(hào)包絡(luò)譜的幅值序列為X（z）（z=1，2，…，Z），Ec可以表示為［25］：

（5）

Ec越大，周期沖擊性越強(qiáng)，軸承故障特征越明顯。PSO優(yōu)化VMD的流程如圖1所示，具體步驟如下：

（1） 初始化PSO中的參數(shù)懲罰因子ξ和分量數(shù)K，將VMD算法的參數(shù)組合［ξ， K］作為個(gè)體位置，隨機(jī)產(chǎn)生與種群數(shù)量相當(dāng)?shù)膮?shù)組合，作為種群中個(gè)體的初始化位置，隨機(jī)初始化每個(gè)粒子個(gè)體的移動(dòng)速度；

（2） 計(jì)算各粒子適應(yīng)度函數(shù)值Ec，對比和評價(jià)適應(yīng)度值，更新個(gè)體局部極值和種群全局極值；

（3） 更新粒子的速度和位置；

（4） 循環(huán)迭代，轉(zhuǎn)至步驟2，直至迭代次數(shù)達(dá)到最大設(shè)定值后輸出最佳參數(shù)組合。

1.2 短時(shí)傅里葉變換

短時(shí)傅里葉變換提供了時(shí)域與頻域的聯(lián)合分布信息，是一種典型的線性變換方法。一個(gè)時(shí)變信號(hào)s（t）的STFT可以表示為［26］：

（6）

式中 為窗函數(shù)；為頻率；為窗長。

STFT的原理如圖2所示，實(shí)質(zhì)上是對一系列信號(hào)分段求傅里葉變換的過程，可以表示成g（τ-t）s（τ），其中τ為截取時(shí)間的長度，且。

由圖2可知，STFT窗口不變特性固化了整個(gè)時(shí)頻面的時(shí)頻分辨率，因此STFT不適合直接表征快速變化的非平穩(wěn)信號(hào)。

1.3 譜峰檢測法

譜峰檢測法是一種基于能量峰值的瞬時(shí)頻率提取算法，通過搜尋峰值在時(shí)頻圖上的坐標(biāo)位置來估計(jì)瞬時(shí)頻率，其表達(dá)式為［27］：

（7）

式中 fk（j）表示第k個(gè)分量的瞬時(shí)頻率估計(jì)；TFR（：， j）表示信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻變換以后的時(shí)頻系數(shù)；為其單峰幅值。

譜峰檢測法不受信號(hào)時(shí)變程度的影響，其估計(jì)精度僅取決于時(shí)頻表示的能量集中水平。時(shí)頻表示的能量集中水平越高，提取到的瞬時(shí)頻率的精度也越高。

2 自適應(yīng)旋轉(zhuǎn)窗口的短時(shí)傅里葉變換

2.1 調(diào)頻率與時(shí)頻能量集中度的關(guān)系

選擇式（6）中窗函數(shù)g（t）為高斯窗，定義為［27］：

（8）

線性調(diào)頻（Linear Frequency Modulated， LFM）和平穩(wěn)信號(hào)在相同窗長下信號(hào)的帶寬如圖3所示。對于瞬時(shí)頻率φ（t）=C0的平穩(wěn)信號(hào)，窗函數(shù)與瞬時(shí)頻率的夾角θ為0，當(dāng)窗口長度一定時(shí)，在時(shí)頻圖中頻率帶寬最小，能夠獲得最佳能量集中度。對于瞬時(shí)頻率φ（t）=rt+C0（其中為調(diào)頻率）的LFM信號(hào)，瞬時(shí)頻率與窗函數(shù)之間會(huì)有一個(gè)夾角θ，這使得LFM信號(hào)的頻率帶寬將大于平穩(wěn)信號(hào)的帶寬。

如圖3截取放大部分所示，調(diào)頻率r與頻率帶寬dg之間的幾何關(guān)系可表示為：

（9）

從式（9）中可知，當(dāng)窗長τ選定時(shí)，頻率帶寬dg只與信號(hào)的瞬時(shí)調(diào)頻率r有關(guān)，并且dg隨|r|的增大而增大。為了定量分析調(diào)頻率與能量集中之間的關(guān)系，本文將頻率帶寬作為能量集中度的量化指標(biāo)，能量集中度越高，信號(hào)分量在時(shí)頻平面中的頻率帶寬越窄，dg越小。

2.2 基于切線思想的自適應(yīng)窗口旋轉(zhuǎn)優(yōu)化STFT

LCT方法僅對窗口進(jìn)行一次旋轉(zhuǎn)，能夠有效地處理LFM信號(hào)，其表達(dá)式為：

（10）

式中 hN（τ-t）為旋轉(zhuǎn)后的窗口函數(shù)，可以表示為：

（11）

式中 N為旋轉(zhuǎn)度；為固定旋轉(zhuǎn)算子，是在t時(shí)刻將窗口旋轉(zhuǎn)arctan N角度。

對于非線性調(diào)頻（Non?Linear Frequency Modulated， NLFM）信號(hào)，其瞬時(shí)頻率是連續(xù)的，僅靠一個(gè)旋轉(zhuǎn)度N不能夠完全實(shí)現(xiàn)信號(hào)全局上的頻率帶寬最小。因此本文提出一種基于切線思想的自適應(yīng)窗口旋轉(zhuǎn)優(yōu)化STFT方法，其原理如圖4所示。把一個(gè)小時(shí)間段內(nèi)的弧線近似看作線段，每個(gè)線段都可以用一個(gè)調(diào)頻率為rn（其中n=1，2，3，…）的線性調(diào)頻信號(hào)表示。如果將NLFM信號(hào)不斷細(xì)分，每一時(shí)刻的調(diào)頻率將越來越接近真實(shí)值。當(dāng)無限細(xì)分下去，信號(hào)每一時(shí)刻的調(diào)頻率可以用瞬時(shí)頻率曲線的切線即瞬時(shí)頻率的一階導(dǎo)數(shù)φ'（t）表示。

本文基于切線思想的AWROSTFT方法，通過自適應(yīng)地匹配一系列的旋轉(zhuǎn)度N（t）來旋轉(zhuǎn)水平窗口，使得窗口方向接近甚至等于瞬時(shí)調(diào)頻率，則信號(hào)將在全局上具有最佳能量集中度。提出的自適應(yīng)窗口旋轉(zhuǎn)優(yōu)化短時(shí)傅里葉變換方法定義如下：

（12）

式中 hN（t）（τ-t）為時(shí)變旋轉(zhuǎn)窗口函數(shù)，可以表示為：

（13）

式中 N（t）為時(shí)變的旋轉(zhuǎn)度，其值不大于信號(hào)長度L。當(dāng)且僅當(dāng)N（t）=φ'（t）時(shí)，信號(hào)具有最小的頻率帶寬。

在短時(shí)間τ內(nèi)，時(shí)變信號(hào)的瞬時(shí)頻率φ（t）可以用一階泰勒公式展開成如下形式：

（14）

此時(shí)，式（6）和（12）可以分別寫成：

（15）

（16）

式中 為瞬時(shí)幅值。

由式（15）可知，由于調(diào)制項(xiàng)的存在，使得信號(hào)出現(xiàn)了能量發(fā)散現(xiàn)象。而由式（16）可知，引入時(shí)變的旋轉(zhuǎn)度N（t）后，此時(shí)信號(hào)的調(diào)制項(xiàng)變?yōu)?，?dāng)N（t）接近于的φ'（t）時(shí)，信號(hào)的這種調(diào)制現(xiàn)象將減弱。當(dāng)且僅當(dāng)N（t）=φ'（t）時(shí)，信號(hào)中不包含調(diào)制項(xiàng)，此時(shí)信號(hào)與窗函數(shù)hN（t）的夾角為零，經(jīng)過STFT變換后將獲得最佳的能量集中度。

STFT，LCT，GLCT和AWROSTFT四種方法在處理單分量信號(hào)時(shí)的窗口變化原理如圖5所示。對于單分量信號(hào)，AWROSTFT是容易實(shí)現(xiàn)的。對于多分量信號(hào)，信號(hào)是各個(gè)分量在時(shí)間序列上的疊加，并且窗函數(shù)是直接作用在序列組合上的，因此很難同時(shí)實(shí)現(xiàn)窗口在不同分量上不同角度的旋轉(zhuǎn)。為此，本文給出了一種時(shí)頻融合方法。首先，通過不同分量的旋轉(zhuǎn)度Ni（t）分別對各分量進(jìn)行調(diào)頻變換；其次，提取各個(gè)分量調(diào)頻變換后時(shí)頻系數(shù)；最后，將提取的時(shí)頻系數(shù)等按照分量頻率位置轉(zhuǎn)化到新的時(shí)頻面上。

假設(shè)第個(gè)分量的AWROSTFT時(shí)頻系數(shù)表示為，若已知其瞬時(shí)頻率為φi（t），那么時(shí)頻系數(shù)提取可以表示為：

（17）

式中 φi（t）為信號(hào)第個(gè)分量的瞬時(shí)頻率；為常數(shù)，dg。

由于時(shí)頻融合是沿頻率方向進(jìn)行重組的，因此該方法也起到了時(shí)變帶通濾波器的效果。

3 基于PSO-VMD和AWROSTFT的變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承故障診斷方法

針對變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承故障診斷所出現(xiàn)的能量集中度低、耗時(shí)長和強(qiáng)背景噪聲等問題，本文提出了一種基于PSO?VMD和AWROSTFT的變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承故障診斷方法。該方法包括：振動(dòng)信號(hào)采集、降噪、自適應(yīng)窗口旋轉(zhuǎn)、瞬時(shí)頻率的提取與識(shí)別和故障類型的判斷，整個(gè)故障診斷的流程如圖6所示，具體的步驟如下：

（1） 傳感器采集變轉(zhuǎn)速工況下設(shè)備的振動(dòng)信號(hào)。

（2） 通過PSO算法確定VMD最佳影響參數(shù)［ξ0， K0］。將PSO算法的參數(shù)大小設(shè)置為［25］：學(xué)習(xí)因子c1=c2=2，種群規(guī)模O=30。H為最大迭代次數(shù)，如果H值過大會(huì)增加算法的計(jì)算時(shí)間，如果H值太小，至迭代終止時(shí)算法可能仍然不收斂，因此本文設(shè)定H=20。最大權(quán)重值和最小權(quán)重值分別為0.9和0.4；［ξ， K］的尋優(yōu)范圍分別為［100， 2000］，［3， 10］。

（3） 用最佳影響參數(shù)［ξ0， K0］對振動(dòng)信號(hào)進(jìn)行VMD處理。計(jì)算分解后的各個(gè)IMF分量的Ec值，根據(jù)Ec值挑選IMF進(jìn)行重構(gòu)，得到重構(gòu)信號(hào)X1（t）。

（4） 應(yīng)用AWROSTFT算法獲得具有高能量集中度的時(shí)頻表示，采用譜峰檢測法從TFR中提取出瞬時(shí)頻率。

（5） 將瞬時(shí)頻率與轉(zhuǎn)頻的平均比值與軸承的故障特征系數(shù)FCC進(jìn)行匹配，即可實(shí)現(xiàn)變轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承故障類型的判斷。

4 故障軸承仿真信號(hào)分析

4.1 仿真信號(hào)構(gòu)造

為驗(yàn)證本文所提方法的有效性，構(gòu)造了升速條件下的故障軸承仿真信號(hào)［28］：

（18）

式中 M為信號(hào)的長度；Am=λtm表示第m個(gè)沖擊的幅值；η為結(jié)構(gòu)的衰減系數(shù)；ωr表示軸承故障激勵(lì)的共振頻率；μ（t）為單位階躍函數(shù)；n（t）為高斯白噪聲；tm表示第m個(gè)沖擊出現(xiàn)的時(shí)間，計(jì)算公式如下：

（19）

式中 t0=0；m=1，2，3，…，M；x（t）=1.5t+13表示軸承轉(zhuǎn)頻隨時(shí)間變化的規(guī)律；表示由滾動(dòng)體滑移帶來的故障沖擊間隔之間的誤差；n表示軸承每轉(zhuǎn)出現(xiàn)的故障沖擊數(shù)，其他參數(shù)取值如表1所示。

4.2 仿真信號(hào)分析

根據(jù)上述仿真信號(hào)得到的時(shí)域波形和轉(zhuǎn)頻曲線如圖7所示。由圖7可以分析出故障軸承振動(dòng)信號(hào)在變轉(zhuǎn)速工況下的時(shí)域特性：振動(dòng)信號(hào)的幅值隨著轉(zhuǎn)速的變化而發(fā)生變化，轉(zhuǎn)速低時(shí)信號(hào)的振幅低，轉(zhuǎn)速增大時(shí)信號(hào)的振幅也相應(yīng)增大；隨著轉(zhuǎn)速的增大，故障振動(dòng)沖擊時(shí)間間隔減小，軸承的故障特征頻率不再是一個(gè)定值，從而導(dǎo)致在變轉(zhuǎn)速工況下無法使用故障特征頻率識(shí)別故障。

在變轉(zhuǎn)速工況下，滾動(dòng)軸承的故障特征頻率將隨著時(shí)間的變化而變化。而故障特征頻率與轉(zhuǎn)頻的比值是一個(gè)常數(shù)，且該常數(shù)只與軸承本身的參數(shù)有關(guān)，與轉(zhuǎn)速無關(guān)，因此被稱為故障特征系數(shù)（Fault Characteristic Coefficient， FCC）［27］。軸承參數(shù)一旦被確定，其FCC就是一個(gè)定值，它反映了軸承每轉(zhuǎn)一周所發(fā)生故障沖擊的次數(shù)，與轉(zhuǎn)速無關(guān)，因此常被用在變轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承的故障診斷中。計(jì)算出譜峰檢測法提取到的瞬時(shí)頻率與轉(zhuǎn)頻的平均比值，所得到的結(jié)果與軸承的FCC進(jìn)行匹配，即可判斷出變轉(zhuǎn)速軸承的故障類型。

采用PSO?VMD和AWROSTFT的變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承故障診斷方法對仿真信號(hào)進(jìn)行分析。先對VMD算法中的兩個(gè)參數(shù)［ξ，K］進(jìn)行尋優(yōu)。圖8（a）表示局部最大包絡(luò)譜峰值因子Ec1隨迭代次數(shù)變化的曲線，縱坐標(biāo)Ec1為無量綱指標(biāo)。PSO優(yōu)化VMD在第15代收斂，搜索到的Ec1為5.125，最佳參數(shù)組合為［1450，7］。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果設(shè)定懲罰因子ξ0=1450和分量個(gè)數(shù)K0=7。對仿真信號(hào)進(jìn)行VMD處理，得到7個(gè)IMF分量。計(jì)算每個(gè)IMF分量Ec的幅值，從圖8（b）中可以看出，第5和第6個(gè)IMF分量Ec的幅值最大，對這兩個(gè)分量進(jìn)行重構(gòu)，得到重構(gòu)信號(hào)X1（t）。

采用AWROSTFT方法提取重構(gòu)信號(hào)X1（t）在變轉(zhuǎn)速工況下的瞬時(shí)頻率，圖9（a）為經(jīng)過AWROS TFT后的時(shí)頻表示結(jié)果，圖9（b）為用譜峰檢測法從圖9（a）中提取到的瞬時(shí)頻率。

計(jì)算得到圖9（b）中的瞬時(shí)頻率與轉(zhuǎn)頻的平均比值為5.5，等于仿真信號(hào)的FCC，實(shí)現(xiàn)了對變轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承的故障診斷。

4.3 結(jié)果對比

為了驗(yàn)證所提方法在識(shí)別變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承故障方面的可行性，分別用STFT，LCT和GLCT三種方法對該仿真信號(hào)進(jìn)行分析，圖10～13分別為三種方法得到的TFR結(jié)果和各自提取到的瞬時(shí)頻率。

從圖10和11中可以看出，無論是STFT方法還是LCT方法，兩者時(shí)頻表示的能量集中度都很低，采用譜峰檢測法提取到的IF與真實(shí)的IF相比誤差都很大，不能準(zhǔn)確診斷出變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承的故障類型。這是因?yàn)樵谠肼暫驼{(diào)制項(xiàng)的干擾下，STFT和LCT的時(shí)頻表示都存在能量發(fā)散的現(xiàn)象。STFT由于窗口不變的特性固化了整個(gè)時(shí)頻面的時(shí)頻分辨率，導(dǎo)致在處理轉(zhuǎn)速波動(dòng)較大的時(shí)變信號(hào)時(shí)能量集中度較低。LCT與STFT類似，由于只對窗口旋轉(zhuǎn)了一次，所以在全局上無法保證旋轉(zhuǎn)后窗口方向與信號(hào)頻率方向的夾角為零。

從圖12和13中可以看出，GLCT方法的能量集中度略有改善，且旋轉(zhuǎn)度N越大效果越好，但是用譜峰檢測法提取到的瞬時(shí)頻率依舊存在誤差。這是因?yàn)镚LCT方法的旋轉(zhuǎn)度N不能完全匹配瞬時(shí)調(diào)頻率，導(dǎo)致其分割痕跡比較嚴(yán)重，并且時(shí)頻脊線也不夠平滑。雖然增加N的數(shù)量可以獲得更高的能量集中度，但同時(shí)意味著需要進(jìn)行N次LCT運(yùn)算，計(jì)算量增加；其次，GLCT中窗口旋轉(zhuǎn)算子的數(shù)量遠(yuǎn)小于信號(hào)采樣數(shù)，因此并不能獲得更佳的能量集中度，造成提取到的瞬時(shí)頻率不夠準(zhǔn)確，從而導(dǎo)致漏診或者誤診。

本文所提的AWROSTFT方法利用切線思想對STFT的固定窗口進(jìn)行自適應(yīng)旋轉(zhuǎn)，使得窗口方向接近甚至等于瞬時(shí)調(diào)頻率，提高了信號(hào)在全局上的能量集中度。與上述四種時(shí)頻表示方法相比，無論是在局部和總體的診斷效果上，還是在參數(shù)的選擇以及計(jì)算效率上都要更加優(yōu)秀。

為了對上述各方法的能量集中度進(jìn)行量化分析，引入Renyi熵作為評價(jià)指標(biāo)。Renyi熵可以有效反映時(shí)頻分布能量的離散程度，定義為［29］：

（20）

式中 β表示階次，一般β>2；TFR（t，ω）為時(shí)頻系數(shù)。

由式（20）可知，Renyi熵值越小，時(shí)頻分布的能量集中度越高。表2為上述五種時(shí)頻表示方法的Renyi熵值，其中本文提出的AWROSTFT方法的Renyi熵值最小，能量集中度最高。

5 實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

為了進(jìn)一步驗(yàn)證所提方法的有效性，在Spectrum Quest Incorporated （SQI）生產(chǎn)的MFS實(shí)驗(yàn)臺(tái)上進(jìn)行了滾動(dòng)軸承變轉(zhuǎn)速工況下的故障實(shí)驗(yàn)，整個(gè)實(shí)驗(yàn)臺(tái)如圖14所示。三相交流電機(jī)通過柔性聯(lián)軸器與傳動(dòng)軸連接，兩個(gè)ER?16K滾動(dòng)軸承支撐傳動(dòng)軸。對滾動(dòng)軸承進(jìn)行激光刻蝕模擬軸承的內(nèi)圈故障，缺陷部位如圖15所示。實(shí)驗(yàn)臺(tái)中左邊是故障實(shí)驗(yàn)軸承，右邊是健康軸承，在轉(zhuǎn)軸上安裝5.1 kg的轉(zhuǎn)子盤，施加50 N的徑向載荷，具體軸承的相關(guān)參數(shù)如表3所示。其中加速度傳感器安裝在離故障軸承較近的位置以準(zhǔn)確測取振動(dòng)信號(hào)，采樣時(shí)間為10 s，采樣頻率為20 kHz。

滾動(dòng)軸承內(nèi)圈故障特征系數(shù)FCCi的計(jì)算公式如下式所示［28］：

（21）

代入軸承相關(guān)的幾何參數(shù)，計(jì)算得到FCCi=5.43。

在變轉(zhuǎn)速工況下采集軸承內(nèi)圈缺陷的振動(dòng)數(shù)據(jù)，其時(shí)域波形和轉(zhuǎn)頻曲線如圖16所示。

采用PSO?VMD和AWROSTFT的變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承故障診斷方法對實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行分析，先對VMD算法中的兩個(gè)參數(shù)［ξ， K］進(jìn)行尋優(yōu)。圖17（a）表示局部最大包絡(luò)譜峰值因子Ec1隨迭代次數(shù)變化的曲線。PSO優(yōu)化VMD在第15代收斂，搜索到的Ec1為7.83，最佳參數(shù)組合為［1500，8］。根據(jù)優(yōu)化結(jié)果設(shè)定懲罰因子ξ0=1500和分量個(gè)數(shù)K0=8。對實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行VMD處理，得到8個(gè)分量。計(jì)算每個(gè)IMF分量Ec的幅值，從圖17（b）中可以看出，第5和第7個(gè)IMF分量的幅值最大，對這兩個(gè)分量進(jìn)行重構(gòu)，得到重構(gòu)信號(hào)X1（t）。

采用AWROSTFT方法提取重構(gòu)信號(hào)X1（t）在變轉(zhuǎn)速工況下的瞬時(shí)頻率，圖18（a）和（b）分別為經(jīng)過AWROSTFT后的時(shí)頻表示和用譜峰檢測法所提取到的瞬時(shí)頻率。計(jì)算得到圖18（b）中瞬時(shí)頻率與轉(zhuǎn)頻的平均比值為5.43，等于實(shí)驗(yàn)軸承的FCCi，因此可以判斷出該軸承存在內(nèi)圈故障。

6 討 論

為了說明所提方法在識(shí)別變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承故障方面的可行性和適用性，分別使用STFT，LCT和GLCT三種方法對第5節(jié)的實(shí)驗(yàn)信號(hào)進(jìn)行分析。圖19～22分別為STFT，LC，GLCT（N=5）和GLCT（N=10）四種方法在窗口長度均為128時(shí)得到的TFR結(jié)果和各自提取到的瞬時(shí)頻率。

比較圖18～22的結(jié)果，可以看出所提AWRO?STFT方法與其他四種時(shí)頻表示方法相比，具有更高的能量集中度和更窄的帶寬，用譜峰檢測法所提取到的時(shí)頻脊線也更加光滑，并且在全局上能量都是處于最集中狀態(tài)。表4為上述五種時(shí)頻表示方法的Renyi熵值，其中本文AWROSTFT方法具有最小的Renyi熵值，因此AWROSTFT方法的能量集中度最高。

為了進(jìn)一步說明本文所提方法的優(yōu)勢，在相同參數(shù)設(shè)置下分別統(tǒng)計(jì)了上述五種時(shí)頻表示方法的運(yùn)算耗時(shí)，結(jié)果如表5所示。AWROSTFT方法比STFT和LCT的耗時(shí)略長，但是這三種方法耗時(shí)的差距在1 s內(nèi)，在實(shí)際應(yīng)用中是可以被接受的。AWROSTFT與GLCT方法相比計(jì)算效率較高，這是因?yàn)锳WROSTFT在全局上只進(jìn)行一次LCT運(yùn)算，計(jì)算量大大降低。

綜上所述，所提方法無論是在故障診斷的準(zhǔn)確性方面，還是在運(yùn)算耗時(shí)方面，其整體效果都要明顯優(yōu)于現(xiàn)有變轉(zhuǎn)速故障診斷方法。主要是因?yàn)樗岱椒朔藭r(shí)變窗口旋轉(zhuǎn)度難以確定的問題，通過切線思想實(shí)現(xiàn)了自適應(yīng)窗口旋轉(zhuǎn)，解決了STFT在分析快速變化的非平穩(wěn)信號(hào)上的局限性，既獲得了良好的時(shí)頻分辨率和能量集中度，與其他窗口旋轉(zhuǎn)優(yōu)化方法相比又縮短了運(yùn)算耗時(shí)，提高了變轉(zhuǎn)速時(shí)頻表示的能量集中度和滾動(dòng)軸承故障診斷的準(zhǔn)確性。但在處理復(fù)合故障的脊線交叉和轉(zhuǎn)頻曲線精度較低的情況時(shí)，本文還存在一定的局限性，后續(xù)將針對該問題進(jìn)行研究。

7 結(jié) 論

針對現(xiàn)有STFT窗函數(shù)改進(jìn)方法中所出現(xiàn)的能量集中度低、背景噪聲強(qiáng)和運(yùn)算耗時(shí)長等問題，本文提出了一種自適應(yīng)旋轉(zhuǎn)窗口優(yōu)化短時(shí)傅里葉變換的變轉(zhuǎn)速滾動(dòng)軸承故障診斷方法，通過仿真信號(hào)和實(shí)驗(yàn)信號(hào)驗(yàn)證了所提方法的可行性。主要結(jié)論如下：

（1）VMD算法能夠有效抑制噪聲成分，突出瞬態(tài)沖擊，且PSO算法解決了VMD參數(shù)選擇困難的問題。

（2）利用切線思想自適應(yīng)地匹配時(shí)變窗口的旋轉(zhuǎn)算子，解決了現(xiàn)有方法中窗口旋轉(zhuǎn)度難以確定的問題，增強(qiáng)了算法的適用范圍。

（3）與STFT，LCT，GLCT等方法進(jìn)行比較，仿真和實(shí)驗(yàn)結(jié)果都表明：本文提出的AWROSTFT方法的能量集中度最高，能夠準(zhǔn)確診斷出變轉(zhuǎn)速工況下滾動(dòng)軸承的故障類型。

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Fault diagnosis of rolling bearings under variable speed conditions based on adaptive window rotation optimization short-time Fourier transform

ZHAO Yi-nan1， YAN Chang-feng1， MENG Jia-dong2， WANG Zong-gang3，

WANG Hui-bin1，4， WU Li-xiao1

（1.School of Mechanical and Electrical Engineering， Lanzhou University of Technology， Lanzhou 730050， China；2.School of Mechanical Engineering， Lanzhou Jiaotong University， Lanzhou 730070， China；3.College of Physics and Electromechanical Engineering， Hexi University， Zhangye 734000， China；4.Department of Medical Technology， Zhangzhou Health Vocational College， Zhangzhou 363000， China）

Abstract： This paper proposes a fault diagnosis method for rolling bearings under variable speed conditions， based on the Adaptive Window Rotation Optimization Short-Time Fourier Transform （AWROSTFT）. This method addresses the issue of low energy concentration caused by the fixed window effect in Short-Time Fourier Transform （STFT）. Variational Mode Decomposition （VMD） is used to reduce the noise of the original vibration signal， and Particle Swarm Optimization （PSO） is employed to solve the complex problem of VMD parameter selection. A series of rotation operators are adaptively matched to the horizontal window in STFT using the tangent idea， aligning the rotation direction of the window with the instantaneous frequency modulation to improve the energy concentration of time-frequency representation. The instantaneous frequency， extracted by the spectral peak detection method， is divided by the frequency transformation curve. The result is matched with the fault characteristic coefficient of the bearing to achieve fault diagnosis of the rolling bearing under variable speed conditions. The results of simulation and experimental signals show that the proposed method effectively combines the advantages of PSO-VMD and AWROSTFT. Through the adaptive rotation window with the idea of tangency， the angle between the signal and the window function is globally reduced to zero， improving energy concentration， sharpening the time-frequency ridge line， and enabling fault diagnosis of rolling bearings under variable speed conditions.

Key words： fault diagnosis；time-frequency analysis；adaptive window rotation optimization short-time Fourier transform；VMD；variable speed conditions

作者簡介： 趙一楠（1998—），男，碩士研究生。E-mail：zyn15537789892@163.com。

通訊作者： 剡昌鋒（1974—），男，博士，研究員，博士生導(dǎo)師。E-mail：changf_yan@163.com。