筆者布置了人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第69頁第14題讓學(xué)生課后練習(xí)，批閱時發(fā)現(xiàn)了很多不同的證明思路和變式，引起筆者的重視，于是認(rèn)真研究了此題，在班級進(jìn)行了小結(jié)和歸納，整理匯總，與大家分享。

一、題目呈現(xiàn)

本題是人教版八年級數(shù)學(xué)下冊第69頁第14題：如圖1，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC的中點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證：AE=EF.

難點分析：本題在正方形的背景下，綜合考察正方形的性質(zhì)、三角形全等的判定、證明線段相等的方法、平行四邊形的判斷與性質(zhì)等等。解決本題要添加輔助線，要求學(xué)生具備較強(qiáng)的綜合分析能力。

二、探究解法，挖掘題目本質(zhì)，提升學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)

一道題目，有時可能有多種解法，我們要從不同視角下對問題進(jìn)行剖析和探究，深度挖掘題目的已知條件，添加合適的輔助線，如本題，有以下的解法：

解法1：如圖2，在BA上取一點M，使BM=BE，連ME.構(gòu)造△AME≌△ECF，得到AE=EF.

解法2：如圖3，連接AC并延長，在延長線上取一點N，使得EN=EA，連EN，構(gòu)造△ECN≌△ECF，得到AE=EF.

解法3：如圖4，延長AB、FC交于點H，連HE，證EB垂直平分AH，得EA=EH，證∠EFC=∠EHF，得EH=EF，得到AE=EF.

解法4：如圖5，連CA，過點E作QE⊥CB于點E，交AC于點Q，可得△QAE≌△CFE，推出AE=EF.

解法5：如圖6，延長AB至點P，使PB=EB，連PE、PC，構(gòu)造△ABE≌△CBP，證四邊形EFCP是平行四邊形，得到AE=EF.

解法6：如圖7，連CA，能證得∠ACF=∠AEF=90°，從而可以證得A、E、C、F四點共圓，得到∠AFE=∠ACE=45°，所以AE=EF.

解法7：如圖8，利用正弦定理，已知△ECF的兩個角和一條邊，可以求出EF，最后證到AE=EF.

解法8：建立平面直角坐標(biāo)系，可以求出AE、EF的長度，用代數(shù)的方法研究幾何.以點B為原點，BC為x軸正方向，BA為y軸正方向，BE為單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系如圖9，可得：A（0，2）、E（1，0）、C（2，0），AE=，由∠AEF=90°可以推出：kAE·kEF=－1，因為kAE=－2，所以kEF=，可以求出直線EF的解析式：y=x－. 因為CF平分正方向外角，直線CF的斜率為1，且過點C（2，0），所以可以求出直線CF的解析式為：y=x－2，求出交點F的坐標(biāo)（3，1），∴EF=，所以AE=EF.

三、變式拓展，激活數(shù)學(xué)思維

變式，在保留題目的本質(zhì)因素下，通過題設(shè)變化、結(jié)論變化及引申，通過變化問題的內(nèi)容或形式等，促進(jìn)學(xué)生掌握問題的實質(zhì)的一種教學(xué)方式。通過變式練習(xí)，不僅使學(xué)生對知識的理解更加深刻，更能發(fā)散學(xué)生的思維，實現(xiàn)舉一反三的學(xué)習(xí)效果，提升學(xué)生的核心素養(yǎng)。

變式一：如圖10，四邊形ABCD是正方形，點E是邊BC上的一個動點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證：AE=EF.

變式二：如圖11，四邊形ABCD是正方形，點E是直線BC上的動點，∠AEF=90°，且EF交正方形外角的平分線CF于點F.求證：AE=EF.

變式三：如圖12，等邊△ABC中，點E是直線BC上的動點，∠AEF=60°，且EF交等邊三角形外角的平分線CF于點F.求證：AE=EF.

四、感悟

1.平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱是基本的圖象變換，常常借助于這些基本的圖象變換構(gòu)造三角形全等，達(dá)到證明線段相等、角相等的目的。解題時一定要挖掘題目已知條件，注重知識之間的關(guān)聯(lián)，合理添加輔助線。

2.一題多解，拓展學(xué)生的做題思路。一道題目從不同視角下進(jìn)行剖析和探究，可以有多種解法，讓學(xué)生學(xué)會從不同度發(fā)現(xiàn)問題，發(fā)展學(xué)生的應(yīng)用意識和創(chuàng)新意識。

3.一題多變，突出通性通法。題目從正方形出發(fā)，拓展到正n邊形為背景下的動點問題，大大激發(fā)了學(xué)生的發(fā)散性思維，同時緊扣題目的已知條件，抓住問題的實質(zhì)，認(rèn)清題目的本質(zhì)，解決問題的思路和方法不變，突出通性通法。

【注：本文系廣東省教育科學(xué)規(guī)劃2022年度中小學(xué)教師教育科研能力提升計劃項目課題“深度學(xué)習(xí)視角下的高中數(shù)學(xué)單元教學(xué)設(shè)計的案例研究”（項目編號：2022YQJK015）研究成果】

責(zé)任編輯 邱 麗