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      一道未定式極限習(xí)題的解法研究

      2025-01-11 00:00:00油俊彥
      科技風(fēng) 2025年1期

      摘要:極限是高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的一個重點,是學(xué)生后續(xù)學(xué)習(xí)的重要基礎(chǔ)與理論工具,但基于極限問題的形式多樣性,因此它也是學(xué)生學(xué)習(xí)中的一個難點,尤其是未定式極限的求解方法更是靈活多樣。00型未定式極限常用的方法主要有洛必達法則、等價無窮小的代換等,∞∞型未定式極限常用的方法除了洛必達法則外,還要考慮使用重要極限、無窮大與無窮小的轉(zhuǎn)化、重要結(jié)論等。本文針對一道∞∞型的未定式極限習(xí)題,利用洛必達法則及其與多種形式的三角恒等變換的結(jié)合給出了六種解法,并對每一種解法進行了詳細的分析。最后,總結(jié)在該題中得到的結(jié)論,旨在提高學(xué)生的計算能力和發(fā)散思維。

      關(guān)鍵詞:未定式極限;洛必達法則;三角恒等變換;發(fā)散思維

      AnalysisofAnIndeterminateformLimitExercise

      YouJunyan

      SchoolofMathematicsandStatistics,HezeUniversityShandongHeze274000

      Abstract:Limitsareanimportantfocusinthestudyofadvancedmathematics,anditisanimportantfoundationandtheoreticaltoolforstudents'subsequentlearning.However,duetothediverseformsoflimitproblems,itisalsoadifficultpointforstudents,especiallythemethodsofsolvingindeterminateformsoflimitsareflexibleanddiverse.Thecommonlyusedmethodsforsolving00tepyindeterminatelimitsareL'Hopital'sruleandthesubstitutionofequivalentinfinitesimals,etc.InadditiontoL'Hopital'srule,methodsforsolving∞∞tepyindeterminatelimitsalsoincludetheuseofimportantlimits,thetransformationbetweeninfinityandinfinitesimals,andimportantconclusions,etc.Inthispaper,foranexerciseof∞∞tepyindeterminateformlimit,sixsolutionsaregivenbyusingL'Hospital'sruleanditscombinationwithvariousformsoftrigonometricidentitytransformation,andeachsolutionisanalyzedindetail.Finally,theconclusionisdrawntoimprovethestudents'calculationabilityanddivergentthinking.

      Keywords:Indeterminateformlimit;L'Hospital'srule;TrigonometricidentityTransformation;Divergentthinking

      1概述

      在極限的教學(xué)過程中,一方面,教師要強調(diào)理論知識與方法的重要性,有效引導(dǎo)學(xué)生掌握極限的多種求解方法,提升學(xué)生的計算能力;另一方面,教師還要重點培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力,尤其是創(chuàng)新思維的核心組成部分——發(fā)散思維。發(fā)散思維的訓(xùn)練不僅可以夯實學(xué)生的基礎(chǔ)知識,拓寬學(xué)生的知識層面,還可以提升學(xué)生解決問題的能力及綜合應(yīng)用知識的能力,最終實現(xiàn)學(xué)校學(xué)以致用的培養(yǎng)目標(biāo)[12]。

      未定式極限是極限問題中常見而且重要的一類問題,其求解方法靈活多樣,對于學(xué)生綜合應(yīng)用知識的能力要求極高。本文主要針對一道∞∞型未定式極限的習(xí)題展開研究,詳細分析探討了其六種解法。在一題多解的思想之下展現(xiàn)了未定式極限的綜合性及復(fù)雜性,幫助學(xué)生更好地理解洛必達法則的使用條件,培養(yǎng)學(xué)生敢于思考、勇于解決問題的學(xué)習(xí)習(xí)慣,提升學(xué)生的創(chuàng)新思維。同時,在不同解法中結(jié)合使用多個三角恒等變換式將問題轉(zhuǎn)化,可以培養(yǎng)學(xué)生細致嚴謹?shù)膶W(xué)習(xí)態(tài)度,提升學(xué)生解決問題的發(fā)散思維。

      2問題分析

      本文分析的問題出自同濟大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院編寫的教材《高等數(shù)學(xué)》(第八版·上冊)中第134頁習(xí)題32中第1題的第8小題,題目為用洛必達法則求極限limx→π2tanxtan3x[3]。

      在此值得一提的是,學(xué)習(xí)洛必達法則之前,同學(xué)們已經(jīng)學(xué)習(xí)過運用等價無窮小的代換的方法來求解未定式極限,尤其是對x→0時,tanx~x記憶深刻,但是在此題求解過程中若盲目使用此等價無窮小的代換則會導(dǎo)致錯誤結(jié)果,具體如下:

      錯解:limx→π2tanxtan3x=limx→π2x3x=13。

      錯因分析:等價無窮小的代換在00型極限問題中才能使用[4],而在本題中當(dāng)x→π2時,tanx→+∞,tan3x→+∞,故本題不是00型極限,且x與3x此時也不是無窮小量。因此x→π2時,把tanx等價代換為x、tan3x等價代換為3x是錯誤的。

      顯然,這是一道與三角函數(shù)有關(guān)的∞∞型的未定式極限問題,可以考慮使用洛必達法則[5],但不能直接使用等價無窮小的代換。接下來,本文將根據(jù)題目特點,在洛必達法則使用的基礎(chǔ)上,結(jié)合多種形式的三角恒等變換分別給出六種解法,并對每種解法進行詳細的分析,旨在提升學(xué)生的發(fā)散思維。

      3解法研究

      解法一:單純使用洛必達法則,不需要nL1yhhx2Gt8SqJ2MB6YomA==三角恒等變換,然后運用逆向思維在過程中找特點,在求解中找結(jié)論。但此方法對學(xué)生思維能力的要求較高,計算能力和思考能力較強的同學(xué)可以選擇使用,并能輕松找到答案。求解過程如下:

      limx→π2tanxtan3x∞∞型,使用洛必達法則

      =limx→π2sec2x3sec23x∞∞型,使用洛必達法則

      =limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x

      在第二個等號處如果繼續(xù)使用洛必達法則,則會出現(xiàn)如下煩瑣的結(jié)果:

      原式=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x∞∞型,使用洛必達法則

      =19limx→π22sec2xtan2x+sec4x6sec23xtan23x+3sec43x

      結(jié)果依然是∞∞型極限,但是不能再繼續(xù)使用洛必達法則往下求解,否則會出現(xiàn)更煩瑣的表達式而求不出結(jié)果,這里只能說明洛必達法則不是萬能的,在此它失效了,并不能說明此題是無解的[6]。

      因此,在解法一中對于第二個等號處的結(jié)果,要求學(xué)生具有敏銳的觀察力和靈活的思維方式,比較第二個等號和原式可知,表達式出現(xiàn)了循環(huán),那么要使等號恒成立,則只有除原式外剩余部分是等于1的,即有l(wèi)imx→π2sec2x9sec23x=1,再比較這個小結(jié)論和第一個等號可得limx→π2sec2x3sec23x=3,從而可得:limx→π2tanxtan3x=limx→π2sec2x3sec23x=3。

      解法二:洛必達法則與三角恒等變換secx=1cosx的結(jié)合使用[7],雖然步驟看起來有點多,但是此方法簡單易想,是大多數(shù)學(xué)生首選的方法。求解如下:

      limx→π2tanxtan3x∞∞型,使用洛必達法則

      =limx→π2sec2x3sec23xsecx=1cosx

      =limx→π2cos23x3cos2x00型,使用洛必達法則

      =limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx當(dāng)x→π2時,sin3x→-1,sinx→1

      =-limx→π2cos3xcosx00型,使用洛必達法則

      =-limx→π2-3sin3x-sinx當(dāng)x→π2時,sin3x→-1,sinx→1

      =3

      解法三:在解法二的基礎(chǔ)上,判斷出解法二的第三個等號處的表達式是00型的,此時不對sin3x與sinx取值,而是直接使用洛必達法則。求解如下:

      原式=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx00型,使用洛必達法則

      =limx→π23(cos23x-sin23x)cos2x-sin3x(當(dāng)x→π2時,cos3x→0,cosx→0,且sin3x→-1,sinx→1)

      =3(0-1)0-1

      =3

      解法四:在解法二的基礎(chǔ)上,對解法二中第三個等號處的sin3x與sinx先不取值,而是對表達式直接使用二倍角公式進行三角恒等變換,然后再使用洛必達法則。求解如下:

      原式=limx→π2-6cos3xsin3x-6cosxsinx(2cos3xsin3x=sin6x,2cosxsinx=sin2x)

      =limx→π2sin6xsin2x00型,使用洛必達法則

      =limx→π26cos6x2cos2x(當(dāng)x→π2時,cos6x→-1,cos2x→-1)

      =3

      解法五:注意到題目中的表達式是和正切函數(shù)有關(guān)的,則先利用三角關(guān)系式tanx=sinxcosx將函數(shù)進行三角恒等變換,再結(jié)合使用洛必達法則。求解如下:

      limx→π2tanxtan3xtanx=sinxcosx

      =limx→π2sinxcos3xcosxsin3x當(dāng)x→π2時,sinx→1,sin3x→-1

      =-limx→π2cos3xcosx00型,使用洛必達法則

      =-limx→π2-3sin3x-sinx(化簡)

      =-limx→π23sin3xsinx當(dāng)x→π2時,sinx→1,sin3x→-1

      =-3·(-1)1

      =3

      解法六:在解法五的基礎(chǔ)上,對于解法五中第一個等號處的sin3x與sinx先不取值,而是直接使用三角函數(shù)中的積化和差公式sinxcos3x=sin4x-sin2x,cosxsin3x=sin4x+sin2x,對第一個等號處的表達式做三角恒等變換,然后結(jié)合使用洛必達法則進行求解。求解如下:

      原式=limx→π2sinxcos3xcosxsin3x(sinxcos3x=sin4x-sin2x,cosxsin3x=sin4x+sin2x)

      =limx→π2sin4x-sin2xsin4x+sin2x00型,使用洛必達法則

      =limx→π24cos4x-2cos2x4cos4x+2cos2x(當(dāng)x→π2時,cos4x→1,cos2x→-1)

      =4+24-2

      =3

      4教學(xué)總結(jié)

      一題多解的訓(xùn)練可以實現(xiàn)培養(yǎng)學(xué)生發(fā)散思維的目標(biāo),通過對本文中這道具有代表性的習(xí)題六種解法的具體分析研究,下面結(jié)合例題把幾點想法總結(jié)如下:

      (1)對于與三角函數(shù)有關(guān)的未定式極限問題,結(jié)合使用洛必達法則與三角恒等變換可以大大提高解題效率。

      例1:求極限limx→0tanx-xx2sinx。

      解:這是一道與三角函數(shù)有關(guān)的00型未定式極限,它可以有多種解法,但是在求解過程中若結(jié)合使用洛必達法則、等價無窮小的代換及三角恒等變換可以大大提高計算效率,相比其他方法這是較為簡便的一種方法。求解如下:

      limx→0tanx-xx2sinx00型,當(dāng)x→0時,sinx~x

      =limx→0tanx-xx300型,使用洛必達法則

      =limx→0sec2x-13x2(sec2x-1=tan2x)

      =limx→0tan2x3x2(當(dāng)x→0時,tanx~x)

      =13

      (2)洛必達法則失效的情形。洛必達法則不是萬能的,遇到一些其解決不了的問題,并不能說明極限不存在,只能說明此方法失效了,需要尋找新的合適的方法重新求解[8]。洛必達法則失效的情形主要有以下幾種:

      失效情形一:當(dāng)使用洛必達法則后極限表達式中分子或分母的導(dǎo)數(shù)變得很繁雜時,洛必達法則失效。

      例如,解法一中的分析:

      原式=limx→π22sec2xtanx18sec23xtan3x∞∞型,使用洛必達法則

      =19limx→π22sec2xtan2x+sec4x6sec23xtan23x+3sec43x

      失效情形二:當(dāng)極限表達式不再是00型或∞∞型未定式極限時,洛必達法則失效。

      例2:求極限limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1。

      錯解:limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=limx→166=1。

      此時,limx→06x6x-2已不再是00型未定式極限,不能繼續(xù)使用洛必達法則。

      正解:limx→1x3-3x+2x3-x2-x+1=limx→13x2-33x2-2x-1=limx→16x6x-2=64=32。

      失效情形三:當(dāng)使用洛必達法則后,判斷出極限不存在或極限表達式中部分表達式極限不存在,則洛必達法則失效。

      例3:求極限limx→∞x+cosxx+sinx。

      錯解:使用洛必達法則求得limx→∞x+cosxx+sinx=limx→∞1-sinx1+cosx,此時sinx與cosx的極限都不存在,洛必達法則失效。

      正解:先利用無窮大與無窮小的關(guān)系將極限表達式進行恒等變形,然后使用無窮小量的運算性質(zhì),計算得到limx→∞x+cosxx+sinx=limx→∞1+1xcosx1+1xsinx=1。

      失效情形四:當(dāng)使用洛必達法則后極限表達式出現(xiàn)循環(huán)形式時,洛必達法則失效。

      例4:求極限limx→+∞x1+x2。

      錯解:使用洛必達法則求得limx→+∞x1+x2=limx→+∞1+x2x=limx→+∞x1+x2,此時極限表達式出現(xiàn)循環(huán)形式,洛必達法則失效。

      正解:利用無窮大與無窮小的關(guān)系,計算得到limx→+∞x1+x2=limx→+∞11x2+1=1。

      (3)對于00型未定式極限,在結(jié)合使用等價無窮小的代換時,一定要注意代換是否成立,否則容易走進代換誤區(qū),導(dǎo)致錯誤結(jié)果的出現(xiàn)。本文中涉及的代換誤區(qū)主要有:

      誤區(qū)1:參見上述問題分析中提到的誤解,在此不再贅述。

      誤區(qū)2:沒有理解等價無窮小的代換的兩個量首先都需要是無窮小量,否則代換錯誤。例如,在解法四中的第二個等號處,若使用等價無窮小的代換得到原式=limx→π2sin6xsin2x=limx→π26x2x=3,雖然結(jié)果相同,但卻是錯誤解法。錯解的原因是當(dāng)x→π2時,sin6x與sin2x是無窮小量,但此時6x與2x卻不是無窮小量。因此當(dāng)x→π2時,sin6x不能代換為6x,sin2x不能代換為2x。

      例5:求極限limx→πsin3xtan5x。

      錯解:使用等價無窮小的代換,計算得到limx→πsin3xtan5x=limx→π3x5x=35。

      錯因分析:當(dāng)x→π時,雖然sin3x與tan5x是無窮小量,但此時3x與5x卻不是無窮小量。因此當(dāng)x→π時,sin3x不能代換為3x,tan5x不能代換為5x。

      正解:這是一道00型未定式極限,直接利用洛必達法則,計算得到limx→πsin3xtan5x=limx→π3cos3x5sec25x=-35。

      參考文獻:

      [1]李天竹,肖業(yè)亮,陳昊,等.用一題多解激活學(xué)生的發(fā)散思維:以一道定積分題的多種解法為例[J].科技風(fēng),2024(04):121123.

      [2]胡新利,王凱明.一題多解對學(xué)生創(chuàng)造性思維的培養(yǎng)[J].高等數(shù)學(xué)研究,2021,24(06):4143+34.

      [3]同濟大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院.高等數(shù)學(xué):上冊[M].8版.北京:高等教育出版社,2023.

      [4]陳金濤.等價無窮小的巧用[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究,2020(01):1516+18.

      [5]葉麗穎.洛必達法則在求極限中的應(yīng)用[J].科技風(fēng),2020(05):66+82.

      [6]王麗麗.洛必達法則在解析求極限類問題中的應(yīng)用[J].河南工程學(xué)院學(xué)報(自然科學(xué)版),2022,34(01):7680.

      [7]華東師范大學(xué)數(shù)學(xué)系.數(shù)學(xué)分析:上冊[M].4版.北京:高等教育出版社,2010.

      [8]孫巧閣.關(guān)于洛必達法則的幾點思考[J].科學(xué)咨詢(科技管理),2021(03):9697.

      基金項目:OBE理念下大學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)“課程思政”體系的構(gòu)建研究(編號:230713003307000)

      作者簡介:油俊彥(1987—),女,漢族,山東菏澤人,碩士,講師,從事高等數(shù)學(xué)教育與研究。

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