摘要：在“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代背景下，信息技術(shù)與教育的深度融合已成為“高等數(shù)學(xué)”研究的熱點(diǎn)問題。本文結(jié)合高職“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)特色，以學(xué)生為中心，利用現(xiàn)代信息技術(shù)，構(gòu)建“雙主線、三階段、六環(huán)節(jié)”的混合式教學(xué)模式。然后，以定積分的概念為例進(jìn)行探討，從中國(guó)工程“深中通道”出發(fā)，引出定積分的定義，利用Geogebra軟件進(jìn)行可視化教學(xué)，并將定積分的概念拓展到專業(yè)領(lǐng)域，著力啟發(fā)學(xué)生解決實(shí)際問題的能力，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，充分發(fā)揮“高等數(shù)學(xué)”的育人效果。

關(guān)鍵詞：互聯(lián)網(wǎng)+；高等數(shù)學(xué)；混合式教學(xué)模式；定積分的概念

一、概述

2019年2月，中共中央、國(guó)務(wù)院印發(fā)的《中國(guó)教育現(xiàn)代化2035》中指出，利用現(xiàn)代技術(shù)加快推動(dòng)人才培養(yǎng)模式改革，滿足學(xué)生個(gè)性化和多樣化的發(fā)展需求，提升師生的信息素養(yǎng)能力［1］。近年來我國(guó)各大高校積極響應(yīng)，大力推動(dòng)“互聯(lián)網(wǎng)+”“智能+”等新型教育模式的發(fā)展，實(shí)現(xiàn)了信息技術(shù)與課程教學(xué)的深度融合，有效改革了教學(xué)模式與方法，進(jìn)一步推動(dòng)了教育信息化的高質(zhì)量發(fā)展［23］。

“高等數(shù)學(xué)”作為高職院校學(xué)生必修的公共基礎(chǔ)課程，有助于培養(yǎng)學(xué)生抽象思維能力、邏輯推理能力和分析解決問題的能力，為后續(xù)專業(yè)課的學(xué)習(xí)奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)［4］。然而，“高等數(shù)學(xué)”高度的抽象性和嚴(yán)密的邏輯性使不少學(xué)生產(chǎn)生了畏難情緒，且高職院校學(xué)生生源結(jié)構(gòu)比較復(fù)雜，大部分學(xué)生基礎(chǔ)比較薄弱，學(xué)生對(duì)“高等數(shù)學(xué)”的抵觸心理進(jìn)一步加劇。針對(duì)這一現(xiàn)狀，教師可以通過模擬情境、設(shè)置動(dòng)畫等可視化教學(xué)手段將抽象的內(nèi)容直觀化、生動(dòng)化，讓學(xué)生在解決復(fù)雜數(shù)學(xué)問題的同時(shí)，深刻體會(huì)到數(shù)學(xué)原理背后所蘊(yùn)含的人生哲理和道德價(jià)值。

為此，本文結(jié)合高職院校學(xué)生特點(diǎn)和“高等數(shù)學(xué)”學(xué)科特色進(jìn)行探索，構(gòu)建“雙主線、三階段、六環(huán)節(jié)”的混合式教學(xué)模式，并以定積分的概念為例進(jìn)行展開，充分挖掘思政元素，發(fā)揮“高等數(shù)學(xué)”的育人功能。

二、“雙主線、三階段、六環(huán)節(jié)”混合式教學(xué)模式

在“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代背景下，為深入踐行個(gè)性化教學(xué)理念，并緊密結(jié)合高職院校學(xué)生的特性及其培養(yǎng)需求，本課程以學(xué)生為中心，依托超星學(xué)習(xí)平臺(tái)，構(gòu)建“雙主線、三階段、六環(huán)節(jié)”混合式教學(xué)模式。“雙主線”即“思政元素”和“數(shù)學(xué)思想”，“三階段”即“思在課前”“悟在課中”以及“行在課中”，“六環(huán)節(jié)”指課中的“導(dǎo)、探、晰、用、深、練”，具體結(jié)構(gòu)如圖1所示。

課前，教師利用信息技術(shù)搜集教學(xué)資源，建立思政資源庫和習(xí)題庫，為學(xué)生提供個(gè)性化學(xué)習(xí)服務(wù)。針對(duì)學(xué)生能力的不同，教師通過學(xué)習(xí)通平臺(tái)，精準(zhǔn)推送定制化的教學(xué)微視頻及學(xué)習(xí)任務(wù)，有效引導(dǎo)學(xué)生預(yù)習(xí)新知識(shí)；學(xué)生則查閱資料并結(jié)合在線資源完成學(xué)習(xí)任務(wù)，在學(xué)習(xí)通討論區(qū)提出自己的疑惑；教師通過學(xué)生課前學(xué)習(xí)效果的反饋情況進(jìn)行教學(xué)設(shè)計(jì)，提高課堂效率。

課中，設(shè)計(jì)問題情境，融入數(shù)學(xué)史、時(shí)事熱點(diǎn)、古典文化和生活實(shí)例等思政元素，通過啟發(fā)式教學(xué)導(dǎo)入新課，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感和愛國(guó)主義情懷，進(jìn)一步加強(qiáng)新時(shí)代青年大學(xué)生的使命感和責(zé)任感。此外，運(yùn)用信息技術(shù)，將抽象內(nèi)容直觀化，提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。在教學(xué)過程中，實(shí)行“雙導(dǎo)師制”，即數(shù)學(xué)教師與專業(yè)教師的緊密協(xié)作，實(shí)現(xiàn)“高等數(shù)學(xué)”與專業(yè)知識(shí)的深度融合，讓數(shù)學(xué)更好地為專業(yè)服務(wù)，培養(yǎng)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)思維解決實(shí)際問題的能力。

課后，設(shè)置“三階式”分層作業(yè)，滿足不同學(xué)生的學(xué)習(xí)需求。具體如下：（1）夯實(shí)基礎(chǔ)：注重基礎(chǔ)知識(shí)的鞏固與加強(qiáng)，通過線上基礎(chǔ)測(cè)試題的形式，引導(dǎo)學(xué)生自我檢測(cè)，及時(shí)查漏補(bǔ)缺，確保每位學(xué)生都能打下堅(jiān)實(shí)的知識(shí)基礎(chǔ)。（2）拓展提升：布置應(yīng)用拓展題，旨在提升學(xué)生的實(shí)際問題解決能力，激發(fā)他們的創(chuàng)新思維，讓他們?cè)谔魬?zhàn)中不斷成長(zhǎng)。（3）鏈接專轉(zhuǎn)本：為滿足學(xué)生學(xué)歷提升的需求，布置與各知識(shí)點(diǎn)緊密相關(guān)的專轉(zhuǎn)本真題，幫助學(xué)生提前適應(yīng)考試節(jié)奏，掌握考試技巧。最后，鼓勵(lì)學(xué)生參與“高等數(shù)學(xué)”競(jìng)賽或數(shù)學(xué)建?；顒?dòng)，通過實(shí)踐鍛煉，培養(yǎng)學(xué)生的獨(dú)立思考能力、團(tuán)隊(duì)協(xié)作精神和綜合分析問題的能力，為他們未來的職業(yè)發(fā)展奠定基礎(chǔ)。

三、實(shí)施案例——定積分的概念

（一）學(xué)情分析

教學(xué)對(duì)象為高職大一學(xué)生，其生源構(gòu)成具有多樣性，涵蓋了普通高中生、中職生等，因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)基礎(chǔ)有所差異。雖然部分學(xué)生抽象思維能力不強(qiáng)，但信息素養(yǎng)較為突出，動(dòng)手實(shí)踐能力較強(qiáng)。同時(shí)，他們對(duì)專業(yè)領(lǐng)域的問題有一定的興趣與探索欲望。

（二）教學(xué)目標(biāo)

知識(shí)目標(biāo)：理解定積分的概念和幾何意義，會(huì)利用定積分的定義求和式的極限；同時(shí)，會(huì)利用數(shù)學(xué)軟件Geogebra計(jì)算定積分。

能力目標(biāo)：通過解決曲邊梯形面積問題，培養(yǎng)學(xué)生利用數(shù)學(xué)思維和方法解決實(shí)際問題的能力；通過對(duì)定積分概念的探究過程，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)形結(jié)合的思維能力。

素質(zhì)目標(biāo)：介紹“深中通道”的卓越成就，激發(fā)學(xué)生的民族自信心與自豪感，培養(yǎng)其作為新時(shí)代青年的責(zé)任感與使命感；在定積分概念的學(xué)習(xí)中，引導(dǎo)學(xué)生理解對(duì)立與統(tǒng)一、量變引起質(zhì)變的哲學(xué)原理，培養(yǎng)其辯證思維與全面分析問題的能力。

（三）教學(xué)過程

1.思在課前

教師依托學(xué)習(xí)通平臺(tái)，發(fā)布學(xué)習(xí)任務(wù)：（1）學(xué)生觀看積分學(xué)發(fā)展史微視頻，體會(huì)到定積分概念的形成是一個(gè)螺旋式上升的過程。（2）搜集資料——德國(guó)數(shù)學(xué)家約翰尼斯·開普勒的簡(jiǎn)介及其求圓面積的方法，感受開普勒不屈不撓、勇于創(chuàng)新的人生態(tài)度。

2.悟在課中

（1）創(chuàng)設(shè)情境，導(dǎo)入新課。觀看“深中通道”的視頻，簡(jiǎn)要介紹深中通道背后隱藏的超級(jí)智慧，讓學(xué)生在領(lǐng)略中國(guó)基建魅力的過程中，學(xué)習(xí)科研工作者勇于探索、堅(jiān)持不懈的奮斗精神［5］。

基于此背景，提出問題：如何求懸索與橋面、橋塔圍成的面積？要解決這個(gè)實(shí)際問題，以橋面為x軸，懸索為曲線，建立直角坐標(biāo)系，如圖所示。

（2）數(shù)形結(jié)合，探究新知。學(xué)生基于課前搜集的資料，講述開普勒求圓的面積的無限分割辦法，其核心思想是化曲為直，無限求和。

懸索與橋面、橋塔圍成的面積（即曲邊梯形的面積）的計(jì)算，直接用矩形的面積來代替顯然不行，因?yàn)閒（x）上各點(diǎn)的高是變化的。類比開普勒求圓面積的方法，可得到曲邊梯形面積計(jì)算的步驟（由表1所示）。

將曲邊梯形面積計(jì)算的腳本文件發(fā)放給學(xué)生，學(xué)生可以打開Geogebra文件，在指令欄任意改變函數(shù)解析式，然后通過拖動(dòng)滑動(dòng)條n，觀察曲邊梯形面積過程中的動(dòng)態(tài)變化。在動(dòng)手實(shí)踐過程中，深化學(xué)生對(duì)“化曲為直”和“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想的理解。

英國(guó)數(shù)學(xué)家、哲學(xué)家羅素說過：“數(shù)學(xué)和哲學(xué)在探索真理的過程中是密不可分的，數(shù)學(xué)的發(fā)展為哲學(xué)提供了新的視角和思維方式?！笨梢姅?shù)學(xué)與哲學(xué)的發(fā)展是密不可分、相互依存的，數(shù)學(xué)的發(fā)展中也蘊(yùn)含著唯物辯證的哲學(xué)思想。

在曲邊梯形面積的計(jì)算過程中，第一步，“分割”體現(xiàn)了“化整為零”的數(shù)學(xué)思想，更蘊(yùn)含了深刻的哲學(xué)啟示：面對(duì)棘手難題時(shí)，可以將其拆解為若干個(gè)小問題逐個(gè)擊破；第二步，“近似”體現(xiàn)了“化曲為直”的數(shù)學(xué)思想，曲與直看似是對(duì)立的兩方面，實(shí)則蘊(yùn)含著對(duì)立統(tǒng)一的哲學(xué)道理，是推動(dòng)事物向前發(fā)展的內(nèi)動(dòng)力；第三步，“求和”體現(xiàn)了“積零為整”的數(shù)學(xué)思想，啟發(fā)學(xué)生聯(lián)想到蘊(yùn)含這一思想的古詩詞，提醒學(xué)生要重視每一份微小的積累，樹立正確的價(jià)值觀，努力追求更高的目標(biāo)；第四步，取極限體現(xiàn)了“無限逼近”的數(shù)學(xué)思想，是哲學(xué)思想“量變產(chǎn)生質(zhì)變”的精妙解讀，它使學(xué)生深刻領(lǐng)悟到知識(shí)的積累是一個(gè)循序漸進(jìn)、不斷深化的過程，唯有腳踏實(shí)地、堅(jiān)持不懈、勇于進(jìn)取，方能穩(wěn)步前行，獲得成功。

（3）抽象概括，明晰概念。對(duì)于曲邊梯形面積的計(jì)算，采用“分割、近似、求和、取極限”的步驟。此外，一些實(shí)際問題的探究，如：天舟七號(hào)發(fā)射升空克服地球引力所做的功、變速直線運(yùn)動(dòng)的路程、非均勻物體的質(zhì)量、帶電體產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)等都可以用上述方法解決。拋開實(shí)際問題的意義，抓住它們的本質(zhì)特征，抽象出定積分的概念，即∫baf（x）dx=limλ→0∑ni=1f（ξi）Δxi，同時(shí)，采用小組討論的方式，請(qǐng)學(xué)生思考下列問題：

①定積分是否為一個(gè)數(shù)？②“λ→0”能否換成“n→∞”？通過這兩個(gè)問題引導(dǎo)學(xué)生結(jié)合Geogebra進(jìn)行輔助分析，并對(duì)學(xué)生的回答進(jìn)行點(diǎn)評(píng)補(bǔ)充，培養(yǎng)學(xué)生團(tuán)結(jié)合作和利用信息技術(shù)解決問題的能力。

教師請(qǐng)學(xué)生分享“定積分的發(fā)展史”，印證了任何事物的發(fā)展都是由淺入深、充滿質(zhì)疑與創(chuàng)新的過程。讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到任何偉大的成就都不是一蹴而就的，而是需要經(jīng)歷漫長(zhǎng)的探索、質(zhì)疑與創(chuàng)新的過程。正是這種持之以恒追求卓越、勇于挑戰(zhàn)未知的精神，推動(dòng)了人類文明的不斷進(jìn)步與發(fā)展。

（4）理實(shí)結(jié)合，學(xué)以致用。

①利用定義計(jì)算定積分∫10x2dx。

設(shè)計(jì)意圖：鍛煉學(xué)生利用“分割—近似—求和—取極限”解決問題的能力，讓學(xué)生體會(huì)等分法和特殊點(diǎn)取法的技巧。

②limn→∞1n3+1+22n3+23+…+n2n3+n3

解：1n3+1+22n3+23+…+n2n3+n3=∑ni=1i2n3+i3=1n∑ni=1i2n2+i3n

=1n∑ni=1in21+in3

原式=limn→∞1n∑ni=1in21+in3=∫10x21+x3dx

=13∫1011+x3d1+x3

=ln23。

設(shè)計(jì)意圖：定積分定義最主要的應(yīng)用就是求和式的極限，這也是數(shù)學(xué)競(jìng)賽和專轉(zhuǎn)本考試的必考點(diǎn)。常用的定積分的等價(jià)定義為∫10f（x）dx=limn→∞∑ni=1fin·1n。

③懸索與橋面、橋塔圍成的面積，實(shí)質(zhì)上就是求定積分。引導(dǎo)學(xué)生利用Geogebra中的integral（f，a，b）指令，可直接求得面積為25884.84m2。

教師將定積分的概念應(yīng)用到與學(xué)生專業(yè)相關(guān)的領(lǐng)域，培養(yǎng)學(xué)生用數(shù)學(xué)思想解決實(shí)際問題的能力，達(dá)到數(shù)學(xué)為專業(yè)服務(wù)、協(xié)同育人的目標(biāo)。案例1為汽車專業(yè)的應(yīng)用，案例2為醫(yī)藥專業(yè)的應(yīng)用。

案例1：若已知一輛汽車速度函數(shù)關(guān)系為v（t）=5t+2（m/s），求汽車在0，10秒內(nèi)行駛的路程s。

解：汽車在0，10秒內(nèi)行駛的路程：s=∫100（5t+2）dt=52t2+2t100=270m。

案例2：若已知某藥物的吸收率函數(shù)為：r（t）=0.01t（t-8）20≤t≤8，求該藥物吸收的總量Q［6］。

解：藥物吸收的總量Q=∫800.01t（t-8）2dt=0.01∫80（t3-16t2+64t）dt=10.24。

（5）合作共研，深化概念。通過前面的探究，可以看出當(dāng)f（x）>0（即圖像位于x軸上方）時(shí)，定積分表示圖形的面積。接著引出問題，當(dāng)f（x）＜0、f（x）有正有負(fù)時(shí)，定積分表示的是什么呢？教師利用Geogebra繪制曲線f（x）=x-sin2x，當(dāng)拖動(dòng)滑動(dòng)條a、b時(shí)，積分區(qū)間發(fā)生變化，積分值也隨之改變。通過這種動(dòng)態(tài)演示，深化學(xué)生對(duì)定積分幾何意義的理解。

教師引導(dǎo)學(xué)生利用定積9/1YxyT9l583g5aLOovL1Zkqp0ZppBpTuCCvnUr9hOQ=分的幾何意義計(jì)算定積分的值，并通過Geogebra進(jìn)行實(shí)際操作，驗(yàn)證結(jié)果的正確性。接著，學(xué)生以同桌為單位進(jìn)行討論，探究被積函數(shù)為奇（偶）函數(shù)時(shí)定積分的性質(zhì)。這一教學(xué)過程不僅深化了學(xué)生對(duì)定積分幾何意義的理解，同時(shí)也提升了學(xué)生自主探究和團(tuán)結(jié)協(xié)作的能力。

（6）課堂練習(xí)，鞏固新知。教師在學(xué)習(xí)通平臺(tái)發(fā)布練習(xí)題，采取搶答的方式請(qǐng)學(xué)生到黑板上板演。與此同時(shí)，其他學(xué)生需要認(rèn)真完成作業(yè)，并將其上傳至學(xué)習(xí)通平臺(tái)。教師根據(jù)每位學(xué)生的答題情況，提供及時(shí)的反饋，以促進(jìn)學(xué)生更好地掌握新知識(shí)。

3.行在課后

課后作業(yè)對(duì)于學(xué)生鞏固知識(shí)、發(fā)展能力、培養(yǎng)良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和責(zé)任感具有重要作用。然而，在數(shù)字化的時(shí)代，學(xué)生們能夠輕松借助在線工具獲取答案，這一現(xiàn)象嚴(yán)重干擾了他們的學(xué)習(xí)進(jìn)程，削弱了學(xué)習(xí)的實(shí)效性。為有效應(yīng)對(duì)這一挑戰(zhàn)，教師們?cè)诓贾米鳂I(yè)時(shí)需采取創(chuàng)新的策略，對(duì)習(xí)題進(jìn)行精心改編，同時(shí)利用技術(shù)手段加以防范，確保學(xué)生能夠獨(dú)立完成作業(yè)，達(dá)到鞏固新知識(shí)的目的。

結(jié)語

本文探討了“互聯(lián)網(wǎng)+”時(shí)代背景下高職“高等數(shù)學(xué)”教學(xué)模式的改革，通過挖掘“數(shù)學(xué)”與“思政”的內(nèi)在關(guān)聯(lián)，借助現(xiàn)代信息技術(shù)，形成了“雙主線、三階段、六環(huán)節(jié)”的混合式教學(xué)模式，實(shí)現(xiàn)知識(shí)傳授和價(jià)值引領(lǐng)的有機(jī)結(jié)合，為培養(yǎng)有責(zé)任擔(dān)當(dāng)和創(chuàng)新精神的復(fù)合型、高技能型人才奠定堅(jiān)實(shí)基礎(chǔ)。

參考文獻(xiàn)：

［1］中共中央，國(guó)務(wù)院.中國(guó)教育現(xiàn)代化2035［EB/OL］.（20190223）［20190227］.https：//www.gov.cn/xinwen/201902/23/content_5367987.htm.

［2］劉斌.以新?lián)?dāng)新作為推進(jìn)“中國(guó)教育現(xiàn)代化2035”［J］.教育與職業(yè)，2019（09）：59.

［3］陸霄虹.互聯(lián)網(wǎng)思維下高等藝術(shù)院校教學(xué)模式變革［J］.江蘇高教，2016（05）：7274.

［4］趙士元.“互聯(lián)網(wǎng)+課程思政”融入高等數(shù)學(xué)教學(xué)研究［J］.中國(guó)新通信，2023，25（15）：191193.

［5］范傳斌，李冕，田浩.深中通道伶仃洋大橋貓道計(jì)算方法研究［J］.公路交通科技，2023，40（02）：121126.

［6］張選群.醫(yī)用高等數(shù)學(xué)［M］.北京：高等教育出版社，2015.

作者簡(jiǎn)介：朱天芬（1997—），女，漢族，山西運(yùn)城人，碩士研究生，助教，研究方向：運(yùn)籌學(xué)與控制論、高等數(shù)學(xué)教育；張巧珍（1997—），女，漢族，江蘇宿遷人，碩士研究生，助教，研究方向：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)教育。