初探奇妙的一次函數(shù)

一次函數(shù)是函數(shù)的一種，一般形如y=kx+b（k，b是常數(shù)，且k≠0），其中x是自變量，特別地，當b=0時，y=kx（k為常數(shù)，且k≠0），y是x的正比例函數(shù)。

通過閱讀資料，我了解到：若把二元一次方程x-y=0的一個解用一個點在平面直角坐標系中表示出來，當取的點足夠多時，我們會發(fā)現(xiàn)滿足x-y=0的所有解所表示的點都在一條直線上。并且我們可以將其推廣為一般形式，對于一次函數(shù)y=kx+b（k，b為常數(shù)，且k≠0）的圖象，可理解為對應的二元一次方程kx-y=b的所有解所表示的點連成的直線。

在了解這些概念后，我想到這樣一些問題：

在平面直角坐標系xOy中，若二元一次方程2x+y=2的圖象對應著直線l1，二元一次方程x-2y=-4的圖象對應著直線l2，如圖1。

問題1：若直線l1、l2與x軸分別相交于點A和點B，求線段AB的長。

因為x軸上的點的縱坐標為0，則我們可令兩個函數(shù)表達式中的y=0。

對于直線l1：y=-2x+2，令y=0，則x=1，即A（1，0）；

對于直線l2：y=[12]x+2，令y=0，則x=-4，即B（-4，0）。

所以AB=1-（-4）=5。

問題2：若直線l1、l2交于點C，求直線l1、l2與x軸圍成的三角形的面積。

由圖1可知，兩直線的交點橫、縱坐標相同，則此交點同時滿足兩個函數(shù)表達式。因此，我們可以將其坐標看作對應二元一次方程組[2x+y=2，x-2y=-4] 的解[x=0，y=2。]可得C（0，2），OC=2。所以S△ABC=[12]×AB×OC=[12]×5×2=5。

問題3：若點P（x1，m），Q（x2，m）分別在直線l1與l2上，當1≤PQ≤5時，求m的取值范圍。

根據(jù)題意，我們可令兩個函數(shù)表達式中的y=m。

對于直線l1：y=-2x+2，令y=m，則x=[2-m2]，即P（[2-m2]，m）；

對于直線l2：y=[12]x+2，令y=m，則x=2m-4，即Q（2m-4，m）。

所以PQ=[2-m2-（2m-4）]

=[5-52m]。

由題可得1≤[5-52m]≤5。由于我們此時并不知道[5-52m]的正負性，所以需要分情況討論：

①當[5-52m]≥0，即m≤2時，由1≤5-[52]m≤5，解得0≤m≤[85]；

②當[5-52m]＜0，即m＞2時，由1≤-5+[52]m≤5，解得[125]≤m≤4。

綜上，m的取值范圍為0≤m≤[85]或[125]≤m≤4。

通過以上的學習，我發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與我們之前學的二元一次方程（組）息息相關。在解決問題時，我們可以借助圖形幫助理解，并轉化為方程或不等式進行計算。在解題過程中，我深刻體會到了數(shù)形結合的魅力。

教師點評

小作者從二元一次方程的角度探究一次函數(shù)，得出對應一次函數(shù)的圖象，再將幾何問題轉化為代數(shù)問題進行解決，很好地呈現(xiàn)了數(shù)形結合的妙用。在這個過程中，小作者能更直接地得到一次函數(shù)的圖象，更好地理解一次函數(shù)的表達式，且能發(fā)現(xiàn)一次函數(shù)與方程、不等式之間的內在聯(lián)系，從而構建起更完整的數(shù)學知識體系。

（指導教師：陳亞楠）