冪的運(yùn)算中的轉(zhuǎn)化和模型

數(shù)學(xué)思想是解決數(shù)學(xué)問題的重要工具。在初中數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常運(yùn)用轉(zhuǎn)化、模型等數(shù)學(xué)思想方法去分析和求解問題。轉(zhuǎn)化是指將未知的、陌生的、復(fù)雜的問題轉(zhuǎn)化為已知的、熟悉的、簡(jiǎn)單的問題，這樣我們就能更容易找到解決問題的方法。模型則是指用數(shù)學(xué)符號(hào)抽象和表達(dá)問題中所蘊(yùn)含的數(shù)量關(guān)系或變化規(guī)律，比如數(shù)學(xué)概念、公式、法則等，它們都可以視作一種數(shù)學(xué)模型。

當(dāng)面對(duì)具體的數(shù)學(xué)問題時(shí)，我們首先要思考為什么要轉(zhuǎn)化、怎樣轉(zhuǎn)化、轉(zhuǎn)化到哪里，還要識(shí)別模型、應(yīng)用模型。在“冪的運(yùn)算”中，我們會(huì)遇到同底數(shù)冪的乘法、冪的乘方、積的乘方、同底數(shù)冪的除法等運(yùn)算性質(zhì)。在探究這些運(yùn)算方法時(shí)，我們都是將其轉(zhuǎn)化到冪的概念上，借助冪的概念、乘方的意義、乘法運(yùn)算律等歸納出相應(yīng)的運(yùn)算性質(zhì)。接下來，我們通過幾個(gè)例子來看看如何在冪的運(yùn)算中進(jìn)行轉(zhuǎn)化和應(yīng)用模型。

同底數(shù)的轉(zhuǎn)化

例1 化簡(jiǎn)a4·（-a）3的結(jié)果是（ ）。

A.a12 B.-a12 C.a7 D.-a7

【解析】初看之下，這個(gè)問題屬于冪的運(yùn)算問題，但是從形式上看，沒有相應(yīng)的原理模型與之相匹配，導(dǎo)致我們無法運(yùn)算。為什么無法計(jì)算呢？是因?yàn)閮蓚€(gè)冪的底數(shù)不一樣，不符合同底數(shù)冪的特征。這時(shí)，我們就需要將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪相乘的形式。根據(jù)冪的概念，先把（-a）3轉(zhuǎn)化為-a3，從而將a4·（-a）3轉(zhuǎn)化為a4·（-a3），再變形為-a4·a3，最后根據(jù)同底數(shù)冪的運(yùn)算模型，求得結(jié)果為-a7。在分析和求解問題的過程中，我們要注意兩個(gè)重要過程，一是非同底數(shù)相乘轉(zhuǎn)化為同底數(shù)相乘，二是運(yùn)用am·an=am+n（m、n是整數(shù)）的原理模型進(jìn)行計(jì)算。

同指數(shù)的轉(zhuǎn)化

例2 計(jì)算32024×（[-19]）1012。

【解析】這是一道冪的乘法計(jì)算題。從底數(shù)上看，沒有相應(yīng)的冪的運(yùn)算的原理模型與之相匹配，所以要進(jìn)行轉(zhuǎn)化。那么怎樣轉(zhuǎn)化呢？通過觀察我們發(fā)現(xiàn)，它們的指數(shù)存在2倍的數(shù)量關(guān)系。這時(shí)，我們可以根據(jù)冪的概念模型和原理模型，先把32024整理為32×1012，再根據(jù)（am）n=amn的原理模型將其轉(zhuǎn)化為（32）1012，即91012，最后根據(jù)（ab）n=an·bn的原理模型，計(jì)算32024×（[-19]）1012=91012×（[-19]）1012=［9×（[-19]）］1012

=（-1）1012=1。當(dāng)然，在計(jì)算的過程中，我們也可以先將（[-19]）1012化簡(jiǎn)為（[19]）1012，即先處理好符號(hào)，再進(jìn)行計(jì)算。

從指數(shù)到底數(shù)的轉(zhuǎn)化

例3 已知am=8，an=32（m、n是整數(shù)），求am-2n的值。

【解析】該題的已知條件是am=8和an=32，根據(jù)條件無法求得冪的底數(shù)或指數(shù)的值，由此可以判斷出該題有可能采用的是整體代入求值的方法，即將am=8和an=32整體代入求值。但是，從要求的冪的形式看，其指數(shù)為m-2n，而已知條件中冪的指數(shù)分別為m和n，從表面上看，它們之間沒有明顯的關(guān)系。那么，怎么探索它們之間的關(guān)系呢？根據(jù)am÷an=am-n的原理模型，我們先將am-2n轉(zhuǎn)化為am÷a2n，再根據(jù)（am）n=amn的原理模型將a2n轉(zhuǎn)化為（an）2，由此可以將am-2n轉(zhuǎn)化為am÷（an）2，這樣就可以將條件直接代入并計(jì)算求值了。

從底數(shù)到指數(shù)的轉(zhuǎn)化

例4 已知2x+5y-3=0，試求4x×32y的值。

【解析】該題已知條件為2x+5y-3=0，由此可得2x+5y=3。如何從4x×32y中構(gòu)造出2x+5y的代數(shù)式是解題的關(guān)鍵。4x×32y中的兩個(gè)冪的底數(shù)是不同的，我們需要將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)冪的形式。先把4和32分別表示為22和25，再根據(jù)冪運(yùn)算的原理模型，將4x×32y轉(zhuǎn)化為22x×25y。這樣，我們就可以運(yùn)用同底數(shù)冪的乘法模型求解，即22x×25y=22x+5y=23=8。通過以上分析我們不難發(fā)現(xiàn)，根據(jù)所給條件的特點(diǎn)，將不同底數(shù)的冪的乘法轉(zhuǎn)化為同底數(shù)的冪的乘法，以指數(shù)為主線，可以實(shí)現(xiàn)從底數(shù)到指數(shù)的轉(zhuǎn)化，最終借助指數(shù)的值解決運(yùn)算問題。

通過以上幾個(gè)例子的分析和求解，我們對(duì)冪的運(yùn)算中的轉(zhuǎn)化和模型有了初步的認(rèn)識(shí)，知道了轉(zhuǎn)化的重要性和模型的普適性，在解決冪的運(yùn)算問題時(shí)，往往需要將其轉(zhuǎn)化為同底數(shù)或同指數(shù)的形式才能進(jìn)行計(jì)算。這回答了為什么要轉(zhuǎn)化的問題。同時(shí)，我們根據(jù)具體問題中的條件特點(diǎn)和運(yùn)算目標(biāo)，依據(jù)冪的概念模型、冪的運(yùn)算的原理模型、乘方的意義、乘法分配律等進(jìn)行有針對(duì)性的轉(zhuǎn)化，這回答了怎樣轉(zhuǎn)化的問題。當(dāng)把冪的形式轉(zhuǎn)化至可以直接使用冪的運(yùn)算的原理模型時(shí)，就達(dá)到了轉(zhuǎn)化的目的。

（作者單位：江蘇省蘇州市相城區(qū)漕湖學(xué)校）