曲梁動(dòng)態(tài)失穩(wěn)力學(xué)特性研究

摘 要：研究了塑性曲梁的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)和強(qiáng)度驟降隨曲梁初始構(gòu)型、側(cè)向脈沖速度等參數(shù)的非線性變化。研究發(fā)現(xiàn)，曲梁的動(dòng)態(tài)跳變失穩(wěn)會(huì)導(dǎo)致顯著的強(qiáng)度損失，初始構(gòu)型中最大高度對(duì)其屈曲失穩(wěn)的影響至關(guān)重要。側(cè)向脈沖速度是引起曲梁動(dòng)態(tài)失穩(wěn)和強(qiáng)度退化的主要因素之一。黏滯阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)的最大強(qiáng)度和整體失穩(wěn)所用的時(shí)間基本沒(méi)有影響，但較小的黏滯阻尼系數(shù)會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的極度不穩(wěn)定。這些發(fā)現(xiàn)對(duì)曲梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和優(yōu)化具有重要意義，揭示了曲梁結(jié)構(gòu)的屈曲失穩(wěn)機(jī)理及其與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的重要關(guān)系。

關(guān)鍵詞：曲梁；動(dòng)態(tài)失穩(wěn)；Kirchhoff理論；幾何非線性

中圖分類號(hào)：O343" 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A

文章編號(hào)：1000-4939（2025）01-0157-07

Dynamic instability in curved beams

WANG Yafei1，2，ZHAO Wei3，ZHANG Yunce4，DU Yangkun5，TAO Qiang6，WANG Changguo4

（1.Department of Mechanical and Energy Engineering，Southern University of Science and Technology，518055 Shenzhen，China；

2.Department of Aeronautics and Astronautics，F(xiàn)udan University，200433 Shanghai，China;

3.Department of Astronautic

Science and Mechanics，Harbin Institute of Technology，150080 Harbin，China;

4.Institute of Composite Materials and Structures，Harbin Institute of Technology，150080 Harbin，China;

5.School of Mathematics and Statistics，University of Glasgow，G128QQ Glasgow，UK;

6.College of Mechanical and Electrical Engineering，Qingdao University，266071 Qingdao，China）

Abstract：This study investigates the nonlinear variation of dynamic instability and strength drop in plastic curved beams with initial configurations and lateral pulse velocity parameters.It is found that the dynamic jump instability of curved beams leads to significant strength loss，where the maximum height in the initial configuration plays a crucial role in its buckling instability.Lateral pulse velocity is one of the main factors causing dynamic instability and strength degradation in curved beams.The viscous damping coefficient has minimal impact on the system’s maximum strength and the overall time for instability，but a smaller viscous damping coefficient can lead to extreme instability of the system.These findings are significant for the design and optimization of curved beam structures，revealing the buckling instability mechanism of curved beams and their important relationship with structural parameters.

Key words：curved beam；dynamic instability；Kirchhoff theory；geometric nonlinearity

近年來(lái)，隨著新材料和新結(jié)構(gòu)的不斷涌現(xiàn)，高端制造裝備的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)正朝著輕薄、集成、復(fù)合、功能、智能和柔性化等多個(gè)方向迅猛發(fā)展。在這一背景下，傳統(tǒng)的材料和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)范式以及設(shè)計(jì)理念已經(jīng)不能滿足人們對(duì)先進(jìn)材料和結(jié)構(gòu)應(yīng)用不斷增長(zhǎng)的需求。另一方面，柔性電子、軟材料與軟機(jī)器、仿生學(xué)、微納米器件等學(xué)科也在高速發(fā)展，迫切需要先進(jìn)結(jié)構(gòu)力學(xué)的支持和應(yīng)用。這些領(lǐng)域的迅速進(jìn)展為創(chuàng)新的結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和制造提供了新的機(jī)遇和可能性。

當(dāng)前在先進(jìn)固體力學(xué)領(lǐng)域，一個(gè)重要的發(fā)展趨勢(shì)和研究熱點(diǎn)是將不同尺度的基本構(gòu)筑單元引入先進(jìn)材料，以實(shí)現(xiàn)一種“自下而上”的設(shè)計(jì)范式。這種方法的核心思想是通過(guò)借鑒多個(gè)學(xué)科，包括生物學(xué)、物理學(xué)（如聲學(xué)、光學(xué)、電學(xué)、磁學(xué)、熱學(xué)）、化學(xué)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)等，實(shí)現(xiàn)跨學(xué)科的交叉融合。這有助于識(shí)別多樣化和多層級(jí)的結(jié)構(gòu)特征，并尋找不同學(xué)科之間的映射關(guān)系，以實(shí)現(xiàn)先進(jìn)結(jié)構(gòu)的超常規(guī)力學(xué)行為。特別值得關(guān)注的是，這種跨學(xué)科融合的方法可以用于研究先進(jìn)材料與結(jié)構(gòu)的強(qiáng)非線性力學(xué)行為，這是一個(gè)重要的發(fā)展趨勢(shì)。通過(guò)將多學(xué)科的思想和方法應(yīng)用于材料和結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中，有望實(shí)現(xiàn)更高級(jí)別的性能和功能，推動(dòng)先進(jìn)材料與結(jié)構(gòu)領(lǐng)域的進(jìn)一步創(chuàng)新。

曲梁因其獨(dú)特的力學(xué)特性，千百年來(lái)一直在人類工程中扮演著重要的基礎(chǔ)角色。如圖1（a）所示，

曲梁（模型）的應(yīng)用領(lǐng)域廣泛，包括生物形態(tài)、軟超構(gòu)材料［1-5］、大跨度可展機(jī)構(gòu)以及航空航天組件［6-10］等，其作用不可低估。

近年來(lái)，相關(guān)研究試圖從更廣泛、更本質(zhì)的角度來(lái)構(gòu)建曲梁，特別是利用其在靜態(tài)和動(dòng)態(tài)變形下展現(xiàn)的多樣非線性屈曲失穩(wěn)模式和相互轉(zhuǎn)化等特性［11-18］。

這些研究領(lǐng)域包括空天變形系統(tǒng)［19］、微電子機(jī)械系統(tǒng)［20-21］、具有被動(dòng)黏性流動(dòng)控制的流體系統(tǒng)［22］、能量捕獲器件［23］、微致動(dòng)器［24］以及用于操縱彈性孤子傳播的超材料［25-26］等。

曲梁的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)非線性力學(xué)表現(xiàn)出多種特性，如變比、飽和、非單調(diào)、振蕩、多值、循環(huán)、間斷、滯后等。拓?fù)淙毕荨?nèi)稟曲率、本征材料屬性和能壘等因素對(duì)曲梁的非線性后屈曲失穩(wěn)產(chǎn)生顯著影響。

由于非線性因果關(guān)系不滿足（線性）疊加原理，與演化順序、路徑、過(guò)程等高度相關(guān)，因此，在以非線性曲梁為基本構(gòu)筑單元的先進(jìn)材料設(shè)計(jì)中，力學(xué)描述變得非常復(fù)雜和具有挑戰(zhàn)性。

目前，實(shí)現(xiàn)曲梁的動(dòng)態(tài)非線性失穩(wěn)激發(fā)通常依賴于引入恒定的橫向位移，這是一個(gè)廣泛采用的方法［27-30］。然而，如圖1（b）所示，曲梁在側(cè)向脈沖作用下的非線性失穩(wěn)問(wèn)題卻是一個(gè)具有挑戰(zhàn)性、重要性和復(fù)雜性的研究方向。在這一問(wèn)題領(lǐng)域，需要更進(jìn)一步地探索曲梁結(jié)構(gòu)的動(dòng)態(tài)響應(yīng)，并深入研究其非線性屈曲模式的發(fā)生和相互轉(zhuǎn)化等力學(xué)特性。本研究采用了理論和數(shù)值仿真相結(jié)合的方法，旨在揭示系統(tǒng)在動(dòng)態(tài)變形條件下的多樣性響應(yīng)，并在不同參數(shù)和條件下研究曲梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)特性。這些深入的研究成果對(duì)于更全面地理解曲梁結(jié)構(gòu)的非線性失穩(wěn)機(jī)制、進(jìn)行優(yōu)化設(shè)計(jì)，并將其應(yīng)用于實(shí)際工程中具有重要意義。它們?yōu)榍航Y(jié)構(gòu)及其相關(guān)器件的設(shè)計(jì)和應(yīng)用提供了更為深刻和全面的理論支持。

1 非線性力學(xué)模型

1.1 控制方程

Kirchhoff理論是研究柔性結(jié)構(gòu)（特別是所謂的Slender結(jié)構(gòu)）非線性大變形和振動(dòng)的經(jīng)典理論，其在許多領(lǐng)域得到廣泛應(yīng)用，包括機(jī)械工程、土木工程、航空航天工程和材料科學(xué)等［12-13，28-31］。為了刻畫曲梁的塑性動(dòng)態(tài)失穩(wěn)與強(qiáng)度退化現(xiàn)象，基于非線性Kirchhoff理論，建立如下控制方程

最后，將式（8）和式（10）代入到式（7）中，就可以得到原微分方程組的標(biāo)準(zhǔn)型。需要注意的是，在數(shù)值求解該微分方程組初值問(wèn)題的過(guò)程中，需要引入極其微小的量來(lái)幫助計(jì)算收斂，一般來(lái)說(shuō)，可以指定y（0）=［10-30，10-30，10-30，10-30］T。

2 結(jié) 果

本研究采用自適應(yīng)Runge-Kutta法對(duì)非線性常微分方程組的標(biāo)準(zhǔn)型及其初值問(wèn)題進(jìn)行求解。通過(guò)研究塑性曲梁的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)和強(qiáng)度驟降隨曲梁Wmax、V和β的變化情況，得到了如下結(jié)果（圖2～圖4）。

結(jié)果顯示，曲梁的動(dòng)態(tài)跳變失穩(wěn)會(huì)導(dǎo)致顯著的強(qiáng)度損失，如圖2所示。同時(shí)，隨著初始構(gòu)型最大高度Wmax的增加，曲梁的自由跳變失穩(wěn)時(shí)間和強(qiáng)度損失水平（Y3＞Y2＞Y1）也不斷增加。此外，曲梁的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)點(diǎn)會(huì)隨著初始構(gòu)型最大高度的增加而后移（X3＞X2＞X1）。因此，曲梁初始構(gòu)型中最大高度對(duì)其屈曲失穩(wěn)的影響至關(guān)重要。另外，研究還發(fā)現(xiàn)，隨著曲梁初始最大高度的增加，失穩(wěn)載荷也會(huì)隨之增加（180＞160＞140）。但是，失穩(wěn)載荷與曲梁最大高度的關(guān)系并不是線性的，而是呈現(xiàn)出一種非線性的行為。在某些情況下，增加曲梁的最大高度可能會(huì)導(dǎo)致失穩(wěn)類型的轉(zhuǎn)變。這些發(fā)現(xiàn)對(duì)于設(shè)計(jì)和優(yōu)化曲梁結(jié)構(gòu)具有重要意義，揭示了曲梁結(jié)構(gòu)的屈曲失穩(wěn)機(jī)理及其與結(jié)構(gòu)參數(shù)之間的重要關(guān)系。

曲梁的動(dòng)態(tài)失穩(wěn)和強(qiáng)度退化是由于復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)引起的。側(cè)向脈沖速度是引起這種應(yīng)力狀態(tài)變化的主要因素之一，它可以導(dǎo)致曲梁在加載過(guò)程中發(fā)生不穩(wěn)定的跳變。具體來(lái)說(shuō)，如圖3所示，隨著側(cè)向脈沖速度的增加，可以導(dǎo)致曲梁在較小的位移下發(fā)生失穩(wěn)。這種失穩(wěn)現(xiàn)象會(huì)進(jìn)一步加速曲梁的強(qiáng)度退化。另外，側(cè)向脈沖速度的作用時(shí)間和位移也對(duì)曲梁的屈曲失穩(wěn)和強(qiáng)度退化產(chǎn)生影響。隨著側(cè)向脈沖速度的增加，曲梁的作用時(shí)間和位移也會(huì)相應(yīng)增加。這意味著在跳變失穩(wěn)過(guò)程中，曲梁受到的載荷會(huì)更加劇烈和不均勻，從而加速了曲梁的強(qiáng)度退化。當(dāng)然，為了更好地理解曲梁的屈曲失穩(wěn)和強(qiáng)度退化，需要考慮曲梁的材料性質(zhì)、幾何形態(tài)以及加載條件等因素，并采用適當(dāng)?shù)臄?shù)值模擬方法和實(shí)驗(yàn)手段進(jìn)行研究。這樣可以更好地理解曲梁在實(shí)際應(yīng)用過(guò)程中的動(dòng)態(tài)非線性力學(xué)行為，為工程設(shè)計(jì)和安全評(píng)估提供科學(xué)依據(jù)。

圖4中展示了無(wú)量綱反作用力與黏滯阻尼系數(shù)β之間的相互作用。研究表明，黏滯阻尼系數(shù)的大小對(duì)系統(tǒng)的最大強(qiáng)度和整體動(dòng)態(tài)失穩(wěn)所用的時(shí)間基本沒(méi)有影響。更大的黏滯阻尼系數(shù)并不能顯著改變這些參數(shù)。相反，更小的黏滯阻尼系數(shù)對(duì)失穩(wěn)點(diǎn)臨近區(qū)域的反作用力振蕩作用有著顯著的影響。具體來(lái)說(shuō)，當(dāng)黏滯阻尼系數(shù)較小時(shí)，失穩(wěn)點(diǎn)附近的反作用力會(huì)出現(xiàn)劇烈振蕩現(xiàn)象，這會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的極度不穩(wěn)定。此外，在動(dòng)態(tài)失穩(wěn)過(guò)程中，較小的黏滯阻尼系數(shù)β也會(huì)使得振蕩時(shí)間有所增加，那么由于整體動(dòng)態(tài)失穩(wěn)所用時(shí)間保持不變，則曲梁自發(fā)跳變的時(shí)間將會(huì)縮短。

3 結(jié) 論

在本研究中，發(fā)現(xiàn)曲梁系統(tǒng)的動(dòng)態(tài)力學(xué)響應(yīng)非常多樣。

1）在一定高度范圍內(nèi)，該系統(tǒng)表現(xiàn)出動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)變，這種動(dòng)態(tài)轉(zhuǎn)變?cè)谕惶Х€(wěn)之前便會(huì)發(fā)生。其力學(xué)表現(xiàn)為反作用力的斷崖式下滑，這是曲梁結(jié)構(gòu)的瞬時(shí)非對(duì)稱特性決定的。

2）對(duì)于能產(chǎn)生塑性變形的曲梁結(jié)構(gòu)，發(fā)現(xiàn)其響應(yīng)與側(cè)向脈沖等物理參數(shù)有關(guān)。當(dāng)施加的側(cè)向脈沖的瞬時(shí)速度改變時(shí)，最大反作用力和突跳失穩(wěn)時(shí)間也有顯著不同。這表明，在一定條件下，可以通過(guò)調(diào)整側(cè)向脈沖的物理參數(shù)來(lái)控制曲梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)行為，從而實(shí)現(xiàn)對(duì)其功能性能的調(diào)控。

3）曲梁結(jié)構(gòu)的黏滯阻尼系數(shù)對(duì)系統(tǒng)的最大強(qiáng)度和整體動(dòng)態(tài)失穩(wěn)所用的時(shí)間基本沒(méi)有影響。這一結(jié)果進(jìn)一步揭示了黏滯阻尼在曲梁瞬態(tài)失穩(wěn)過(guò)程中的作用，為工程實(shí)踐中阻尼控制策略的制定提供了參考。

4）本研究還考察了曲梁結(jié)構(gòu)在不同初始條件和材料性質(zhì)下的失穩(wěn)特性。發(fā)現(xiàn)初始彎曲程度（幾何缺陷）、材料的彈性模量等因素均對(duì)曲梁結(jié)構(gòu)的失穩(wěn)行為產(chǎn)生顯著影響。這些結(jié)果為優(yōu)化曲梁結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)提供了有益的啟示，有助于在實(shí)際應(yīng)用中實(shí)現(xiàn)更高的性能和穩(wěn)定性。

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（編輯 呂茵）