基于XGboost和線性回歸的軍隊體系建設(shè) “成本-能力”組合優(yōu)化模型

摘 要：不確定性條件下的體系能力評估和優(yōu)化是提升軍事體系建設(shè)效能的重要方式和手段。著眼軍隊體系建設(shè)中多種“成本-能力”方案優(yōu)選問題，借鑒投資組合優(yōu)化理論，采用極端梯度提升（eXtreme gradient boosting， XGboost）二分類模型、線性回歸、三點估計等方法，構(gòu)建“成本-能力”組合優(yōu)化模型，匯總多個評估標(biāo)準(zhǔn)，得出備選方案的經(jīng)濟(jì)價值和對備選方案不確定性的敏感程度，綜合分析，得到最優(yōu)備選方案，并將模型應(yīng)用于體系建設(shè)案例中進(jìn)行驗證，研究成果為“成本-能力”組合備選方案評估優(yōu)選提供理論依據(jù)及實踐方法。

關(guān)鍵詞： 組合優(yōu)化; XGboost二分類; 線性回歸; 三點估計; 體系能力

中圖分類號： TP 202

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ADOI：10.12305/j.issn.1001 506X.2025.02.15

A cost capability combination optimization model for military system

construction based on XGboost and linear regression

ZHANG Yuting^1.2，*， YANG Jingyu3

（1. Graduate School， National Defense University， Beijing 100091; 2.Naval Staff， Beijing 100841， China;

3. Joint Operations College， National Defense University， Beijing 100091， China）

Abstract：Evaluating and optimizing system of system （SoS） capabilities under uncertain conditions is an important way and means to enhance the efficiency of military system construction. This paper focuses on the optimization problem of multiple “cost capability” options in the construction of the military system. Drawing on the theory of portfolio optimization， eXtreme gradient boosting （XGboost） binary classification model， linear regression， three point estimation and other methods are used to construct a “cost capability” combination optimization model. Multiple evaluation criteria are summarized to determine the economic value and sensitivity to the uncertainty of the alternative options. The optimal alternative solution is comprehensively analyzed and applied to a system construction cases for verification. The research results provide theoretical basis and practical methods for the evaluation and optimization of “cost capability” combination alternative options.

Keywords：combination optimization; eXtreme gradient boosting （XGboost） binary classification; linear regression; three point estimation; system of system （SoS） capability

0 引 言

為了體系化謀劃軍隊建設(shè)發(fā)展，國家戰(zhàn)略競爭力、社會生產(chǎn)力、軍隊?wèi)?zhàn)斗力耦合關(guān)聯(lián)越來越緊密。同時，需要考慮建設(shè)成本和體系能力提升，才能最大限度地實現(xiàn)軍隊建設(shè)實力系統(tǒng)整合，贏得軍事競爭優(yōu)勢。世界各國軍事領(lǐng)域的專家學(xué)者為解決國防和軍隊建設(shè)中的投資和規(guī)劃問題，引入并優(yōu)化投資組合理論，取得了一些研究成果。

國外研究起步較早。1952年，Markowitz^［1］首次提出經(jīng)典投資組合理論，以最大化投資收益、最小化市場風(fēng)險為目標(biāo)，采用“均值-方差”研究架構(gòu)構(gòu)建投資組合方法，為解決金融投資風(fēng)險問題開辟新思路，并進(jìn)一步形成現(xiàn)代投資組合理論。投資組合理論在軍事方面（特別是武器裝備采辦過程）的應(yīng)用主要包含3個方面。一是資源或經(jīng)費約束下的軍隊發(fā)展規(guī)劃問題。Baker等^［2］采用以價值為中心的思想，為美國空軍實驗室設(shè)備采購決策提供一個分析框架。Walmsley等^［3］在滿足預(yù)算、資源和最小供應(yīng)約束的情況下最小化生產(chǎn)和供應(yīng)成本，通過混合整數(shù)規(guī)劃實現(xiàn)裝甲支援車輛的投資分析;Tsaganea^［4］通過將導(dǎo)彈經(jīng)費分配問題建模為一個動態(tài)系統(tǒng)，采用動態(tài)系統(tǒng)理論對模型進(jìn)行解析求解，研究針對導(dǎo)彈能力的經(jīng)費分配問題;Whitacre等^［5］給出了一種基于場景的計算方法，使用穩(wěn)態(tài)多目標(biāo)進(jìn)化算法（multi objective evolutionary algorithm， MOEA）解決資源規(guī)劃問題;Hurley^［6］和Lee等^［7］研究武器系統(tǒng)的最優(yōu)選擇問題;Golany等^［8］考慮對策優(yōu)先級，研究有限資源下的對策優(yōu)化問題;Davendralingam等^［9］通過混合整數(shù)二次規(guī)劃，利用經(jīng)典“均值-方差”方法優(yōu)化投資組合，提出一種軍事能力體系架構(gòu)建模方法;Moallemi等^［10］研究資源受限條件下的潛艇采辦和規(guī)劃問題。二是考慮風(fēng)險因素的投資決策問題。Jones等^［11］以十年規(guī)劃期內(nèi)減少總風(fēng)險、提高成本效益為目標(biāo)，研究美國能源部在核武器綜合體清理方面的優(yōu)先級排序問題;Buckshaw等^［12］采用線性模型匯總多個測量值，設(shè)計一種以價值為中心的風(fēng)險分析方法，并被美國國防部用于信息系統(tǒng)的最佳資源分配問題;Bjorkman等^［13］為減少美國國防部設(shè)備測試過程的不確定性，研究資源的配置和優(yōu)化問題;Hurley等^［14］為減少超支“滑點”，提出兩種風(fēng)險分析方法以實現(xiàn)加拿大國防資金的分配;Davendralingam等^［15］考慮海戰(zhàn)案例研究相關(guān)的條件風(fēng)險價值（conditional value at risk， CVaR）優(yōu)化問題。三是能力牽引下的項目選擇規(guī)劃問題。Chan等^［16］為了求解在預(yù)算、能力、生產(chǎn)和技術(shù)需求約束下，美國陸軍車輛項目選擇問題對時間的依賴特性，開發(fā)一套目標(biāo)設(shè)定模型;Preiss等^［17］給出美國空軍的戰(zhàn)略投資模型，并認(rèn)為價值模型優(yōu)于經(jīng)典能力模型;Bakirli等^［18］利用模糊目標(biāo)規(guī)劃方法研究模糊多目標(biāo)多背包問題在國防項目選擇中的應(yīng)用;Fisher等^［19］提出一種基于近似動態(tài)規(guī)劃的國防項目選擇啟發(fā)式算法。

國內(nèi)研究起步較晚，但跟進(jìn)速度較快，主要針對兩個方面進(jìn)行了深入具體研究。一是針對武器裝備體系的建設(shè)問題。Xin等^［20］提出一種基于規(guī)則的啟發(fā)式算法，以求解不確定性環(huán)境下武器對目標(biāo)的動態(tài)分配及優(yōu)化問題;Zhou等^［21］提出一種差分進(jìn)化算法，以求解體系架構(gòu)下武器系統(tǒng)組合優(yōu)化和選擇問題;Dou等^［22］提出一種武器系統(tǒng)組合選擇的多目標(biāo)整數(shù)規(guī)劃方法，并使用帕累托分析尋找非支配解;Yang等^［23］為了對武器單元進(jìn)行最佳分配，以最大限度地提高對紅方目標(biāo)的預(yù)期傷害，研究動態(tài)的、基于目標(biāo)的武器系統(tǒng)組合優(yōu)化問題;夏博遠(yuǎn)等^［24］基于能力需求的演化模型，定義考慮魯棒性的“系統(tǒng)組合能力-能力需求”的能力風(fēng)險及相關(guān)函數(shù);張驍雄等^［25］針對武器裝備組合規(guī)劃中存在的選擇難、規(guī)劃難問題，以能力差距和發(fā)展風(fēng)險最小為準(zhǔn)則構(gòu)建雙目標(biāo)優(yōu)化模型;Cheng等^［26］通過體系架構(gòu)中的作戰(zhàn)網(wǎng)絡(luò)建模研究武器系統(tǒng)組合優(yōu)化問題，通過求解得到成本效益比和作戰(zhàn)總能力的組合建議;Xiong等^［27］和Wang等^［28］研究動態(tài)環(huán)境及不確定能力需求下的武器裝備選擇與規(guī)劃問題;李清韋^［29］圍繞軍事應(yīng)用背景下體系能力評估問題，考慮能力間的影響依賴關(guān)系，構(gòu)建面向任務(wù)的能力組合模型以實現(xiàn)體系能力整體評估。二是針對戰(zhàn)略規(guī)劃項目的投資組合問題。Yang等^［30］提出一種半方差投資組合選擇模型，實現(xiàn)軍事投資組合選擇領(lǐng)域的風(fēng)險量化研究;Xiong等^［31］將能力規(guī)劃問題建模為多模式資源投資項目調(diào)度模型，為實現(xiàn)完工時間（即總進(jìn)度持續(xù)時間）和成本兩個約束的最小化，提出了一種多目標(biāo)方法;Xiong等^［32］針對項目啟動時間和投資項目調(diào)度問題，提出了一種基于知識的MOEA;Zhou等^［33］利用一種改進(jìn)的差分進(jìn)化方法優(yōu)化國防項目組合的問題;Zhang等^［34］通過場景生成方法對信息不完全情況下的投資組合選擇問題進(jìn)行了研究，重點分析項目依賴性和協(xié)同性;Li等^［35］提出一種基于體系架構(gòu)的投資組合優(yōu)化方法，通過對有效性的定性分析和對績效的定量分析進(jìn)行方案評估;Xia等^［36］對不確定條件下的武器系統(tǒng)項目規(guī)劃問題進(jìn)行了研究，王濤等^［37］從作戰(zhàn)體系能力要求角度開展戰(zhàn)略規(guī)劃項目的定量評估，將體系貢獻(xiàn)率評估引入戰(zhàn)略規(guī)劃評估領(lǐng)域，以戰(zhàn)略規(guī)劃項目對作戰(zhàn)體系能力和戰(zhàn)略目標(biāo)的貢獻(xiàn)為主線，構(gòu)建明確項目體系定位的“項目-能力”關(guān)聯(lián)模型和刻畫作戰(zhàn)體系建設(shè)過程機(jī)理特征的能力生成周期模型，提出戰(zhàn)略規(guī)劃項目體系貢獻(xiàn)率評估方法。

綜上所述，采用投資組合理論求解軍隊體系建設(shè)發(fā)展規(guī)劃問題已有一定的探索。軍隊體系建設(shè)發(fā)展中的能力組合分析問題，涉及許多相互沖突的標(biāo)準(zhǔn)和目標(biāo)，傳統(tǒng)的系統(tǒng)評估方法能對所有評價標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行研究，如多準(zhǔn)則決策分析（multi criteria decision analysis， MCDA）。但MCDA存在一些局限性，一是它的結(jié)果在很大程度上取決于評價標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)重，而這些標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)重通常由分析人員或決策者分配得到，具有相當(dāng)大的主觀性;二是MCDA沒有考慮到評價標(biāo)準(zhǔn)之間潛在的相關(guān)性，導(dǎo)致在處理相關(guān)性高的評價標(biāo)準(zhǔn)時得到的結(jié)果可能存在誤差。由于體系建設(shè)過程中成本投入與體系能力提升存在相互關(guān)系，由此帶來多種“成本-能力”組合方案，本文著眼多組備選方案優(yōu)化選擇，考慮能力、成本、預(yù)算、專家決策值等多個變量，提出了一套“成本-能力”組合優(yōu)化模型。該模型可以在同一框架內(nèi)結(jié)合多個定性和定量標(biāo)準(zhǔn)，通過統(tǒng)計學(xué)的方法推斷評價標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)重，捕獲評價標(biāo)準(zhǔn)間的依賴關(guān)系，并能夠檢驗各指標(biāo)的統(tǒng)計顯著性。因此，該方法能夠在一定程度上彌補(bǔ)MCDA方法的不足，確保能力組合評估和選擇具有更高的靈活性、可靠性及適用性。

1 “成本-能力”組合優(yōu)化模型框架設(shè)計

條件價值評估法（contingent valuation method， CVM）是一種資源與環(huán)境經(jīng)濟(jì)學(xué)領(lǐng)域的經(jīng)典方法。CVM最早由Bowen^［38］和Ciriacy Wantrup^［39］提出，認(rèn)為公開調(diào)研可以對公共物品價值進(jìn)行評估。20世紀(jì)60年代，CVM開始作為價值評估工具用于生態(tài)系統(tǒng)服務(wù)的非使用價值評估，通過評估支付意愿（willingness to pay， WTP）或受償意愿（willingness to accept， WTA）的分布規(guī)律，得到總經(jīng)濟(jì)價值。后來，CVM被廣泛應(yīng)用到生態(tài)系統(tǒng)、資源環(huán)境、公共服務(wù)、軍事能力等方面的經(jīng)濟(jì)價值評估中。

在軍事領(lǐng)域，美國陸軍對CVM的應(yīng)用進(jìn)行了研究^［40-42］，通過將CVM與二元Logistic回歸模型一同使用，實現(xiàn)軍事能力評估。具體地，將二元Logistic回歸的響應(yīng)變量設(shè)置為Y，Y有兩種結(jié)果，即：1（發(fā)生），0（不發(fā)生）。將Y=1的概率設(shè)為P，將P/（1－P）稱為賠率，對賠率取對數(shù)，得到logit（P）=ln（P/（1－P）），Logit（·）指求邏輯值。若影響因子有χ1，χ2，…，χn共n個，則Logistic回歸模型可以表示為

logit（P）=lnP1－P=β0+β1χ1+β2χ2+…+βnχn（1）

式中：βj（j=1，2，…，n）為回歸系數(shù)，表示自變量χj變化一個單位時，相應(yīng)的logit（P）的改變量的比值，可變換為

P=e^β0+β1χ1+β2χ2+…+βnχn1+e^β0+β1χ1+β2χ2+…+βnχn（2）

或

1－P=11+e^β0+β1χ1+β2χ2+…+βnχn（3）

ln（ORj）=lnP1/（1－P1）P0/（1－P0）=

βj（c1－c0）=logit（P1）－logit（P0）（4）

式中：P1，P0為不同情況下變量Y值為1時的概率;ORj表示賠率。

因此有

ORj=e^{βj（c1－c0）}（5）

本文在CVM研究的基礎(chǔ)上進(jìn)行改進(jìn)和完善，構(gòu)建基于極端梯度提升（eXtreme gradient boosting， XGboost）和線性回歸的軍隊體系建設(shè)“成本-能力”組合優(yōu)化模型。建?？蚣芰鞒讨饕?個步驟，建模流程如圖1所示。在此流程步驟基礎(chǔ)上構(gòu)建模型。首先，輸入能力、成本、預(yù)算、專家決策值作為預(yù)測變量，采用XGboost二分類模型求解專家對每一組“成本-能力”組合的決策概率，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)求解所有決策概率的邏輯值，對決策概率邏輯值通過線性回歸做出預(yù)測，分析預(yù)測變量與邏輯值之間的線性關(guān)系，進(jìn)一步求得“成本-能力”組合的概率、賠率及備選方案的平均經(jīng)濟(jì)價值，并根據(jù)經(jīng)濟(jì)價值進(jìn)行備選方案排序;其次，基于三點估計法檢驗備選方案在不確定性條件下的波動情況（即敏感性），實現(xiàn)對“成本-能力”組合備選方案的綜合分析;最后，通過示例分析驗證所提模型能夠改善選擇評估過程中數(shù)據(jù)量大的問題，有效輔助“成本-能力”組合備選方案的優(yōu)選，提高體系建設(shè)的整體價值。因此，所提模型具備理論和實踐層面的合理性。

（1） 選擇主題專家

組合優(yōu)化問題成功的關(guān)鍵在于選擇有經(jīng)驗的主題專家，主題專家應(yīng)來自不同專業(yè)領(lǐng)域，并在分析備選方案屬性方面具備豐富經(jīng)驗。例如，專家應(yīng)熟悉每組備選方案的能力特征（如覆蓋范圍、射程、持久性、響應(yīng)性和互操作性等）。

（2） “成本-能力”組合評估

每位主題專家對每組“成本-能力”組合進(jìn)行綜合評價，決定某組合是否應(yīng)納入體系建設(shè)整體方案中。若是，則將該組合的綜合評價值（即決策值）賦值為1，否則賦值為0。

（3） “成本-能力”組合備選方案線性回歸分析

假定備選方案由“成本-能力”組合構(gòu)成，并可納入體系建設(shè)整體方案中。構(gòu)建線性回歸模型的重點在于確定解釋變量和因變量，解釋變量設(shè)置即為備選方案各類能力值。因變量的確定采用線性回歸分析方法，其值即為根據(jù)決策目標(biāo)得到的賠率的自然對數(shù)。

（4） “成本-能力”組合備選方案經(jīng)濟(jì)價值排序

備選方案的評估與概率、賠率、經(jīng)濟(jì)價值3種預(yù)測值相關(guān)。其中，賠率是概率的增函數(shù)，經(jīng)濟(jì)價值與其呈正相關(guān)，本文根據(jù)經(jīng)濟(jì)價值對“成本-能力”組合備選方案進(jìn)行排序。

（5） “成本-能力”組合備選方案敏感性分析

分析備選方案對不確定因素的敏感性需要用到兩種方法，一是評估每項預(yù)測值的邊際效應(yīng)，二是采用三點估計法對每組備選方案的樂觀值、最可能值和悲觀值進(jìn)行估計。

2 基于XGboost的“成本-能力”組合線性回歸分析

2.1 符號說明

對建模將用到的符號做出如下定義：

aj表示一組“成本-能力”組合（1≤j≤m），其中m表示存在的組合數(shù)量;

S為aj的集合，S={a1，a2，…，am}，表示待選入體系建設(shè)整體方案的“成本-能力”組合備選方案;

Rj=［r1，r2，…，rp］表示一組評價值向量，指aj的各種能力評價指標(biāo)評價值。r1，r2，…，rp的取值范圍為［0，100］;

rjp+1表示aj可用預(yù)算的隨機(jī)變量;

rjp+2表示aj實際成本的隨機(jī)變量（rjp+2lt;rjp+1）;

dj為aj的指標(biāo)函數(shù)，即專家決策值。若選擇aj，則dj的取值為1;否則取值為0。

2.2 “成本-能力”組合概率值

與aj相關(guān)的間接效用函數(shù)Uj可表示為

Uj=Uj（dj，rp+1，Rj）+εd（6）

式中：εd（d=0，1）為誤差項。由于當(dāng)效用收益為正時才存在成本rjp+2，因此有：

Uj（1，rjp+1－rjp+2，Rj）+ε1gt;Uj（0，rjp+1，Rj）+ε0（7）

aj被選擇與否取決于間接效用函數(shù)的差異：

ΔUj=Uj（1，rjp+1－rjp+2，Rj）－Uj（0，rjp+1，Rj）+（ε1－ε0）（8）

可使用線性回歸模型對函數(shù)ΔUj進(jìn)行估計：

ΔUj=w0+w1r1+…+wp+2rjp+2+ε（9）

需要注意的是，由于評價值r1，r2，…，rp的取值范圍設(shè)置為0-100，而rjp+1和rjp+2的值通常較大，是評價值的數(shù)千倍甚至數(shù)百萬倍。因此，對于數(shù)額較大的rjp+1和rjp+2，可對其取自然對數(shù)，進(jìn)行變換處理。

定義 1

若aj可納入體系建設(shè)整體方案中，則指標(biāo)函數(shù)dj的取值為1，否則取值為0，即

dj=1， ΔUjgt;0

0， 其他（10）

aj被納入體系建設(shè)方案的概率為間接效用函數(shù)真實差值超過零的概率，即

P（ΔUjgt;0）

定理 1 將aj納入體系建設(shè)方案的概率由下式給出：

πj=P（dj=1|Rj，rp+1，rp+2）=1－F－w0+∑p+2i=1wiri（11）

式中：F（·）為誤差項ε的累積分布函數(shù)。

證明 aj可納入體系建設(shè)方案中的概率為

πj=P（ΔUjgt;0）（12）

上式也可以表示為

πj=Pw0+∑p+2i=1wiri+εgt;0（13）

或等同于

πj=Pεgt;－w0+∑p+2i=1wiri（14）

πj=1－Pε≤－w0+∑p+2i=1wiri（15）

證畢

需要注意的是，在離散選擇模型中使用了兩個標(biāo)準(zhǔn)模型：誤差項正態(tài)分布的probit模型和誤差項服從Logistic分布的模型。這兩個分布是對稱的，并提供相同的定性結(jié)果，但Logistic分布對離散數(shù)據(jù)不敏感。下文假設(shè)誤差項遵循Logistic分布。

定理 2 若誤差項ε服從Logistic分布，則aj包含于體系建設(shè)方案中的概率可表示為

πj=11+e^{－（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2）（16）

式中：r1，r2，…，rp+2為解釋變量，w1，w2，…，wp+2為相應(yīng)的權(quán)重，即評價標(biāo)準(zhǔn)的相對重要性。

證明 由體系建設(shè)方案中包含aj的概率，可以推出在誤差項ε服從Logistic分布情況下定理的結(jié)果為

1－F－w0+∑p+2i=1wiri=11+e^－w0+∑p+2i=1wiri（17）

證畢

對于數(shù)據(jù)中存在邏輯值的情況，可直接對邏輯值做線性回歸。此處采用XGboost模型根據(jù)數(shù)據(jù)做二分類，分類結(jié)果顯示每個變量對應(yīng)的重要性，在分類后通過決策概率做線性回歸，進(jìn)一步計算aj的決策概率值。采用XGboost模型生成一棵完整的樹，主要步驟如圖2所示。

為了生成一棵良好的決策樹，需要對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行數(shù)學(xué)解析，使目標(biāo)函數(shù)值最小。因此，需要設(shè)置葉子節(jié)點的值并構(gòu)造樹結(jié)構(gòu)。設(shè)第t棵決策樹的目標(biāo)函數(shù)為

L^（t）=∑ni=1l（yi，y^^（t-1）i+ft（xi））+Ω（ft）（18）

式中：l表示與yi，y^^（t-1）i有關(guān)的損失函數(shù);y^^（t-1）i表示前t－1棵決策樹對樣本i的預(yù)測值之和;yi表示樣本i的實際值;ft（xi）表示第t棵決策樹對樣本i的預(yù)測值;Ω（ft）表示第t棵決策樹的模型復(fù)雜度。設(shè)y^^（k）i表示總共k棵決策樹一起預(yù)測的值，有

y^^（0）i=0

y^^（1）i=f1（xi）=y^^（0）i+f1（xi）

y^^（2）i=f1（xi）+f2（xi）=y^^（1）i+f2（xi）

y^^（k）i=f1（xi）+f2（xi）+…+fk-1（xi）+fk（xi）=y^^（k-1）i+fk（xi）（19）

式中：xi是輸入的特征向量。將式（19）代入目標(biāo)函數(shù)，表示為實際值和預(yù)測值的偏差與復(fù)雜項之和：

obj^（k）=∑ni=1l（yi，y^^（k）i）+∑kj=1Ω（fk）=

∑ni=1l（yi，y^^（k-1）i+fk（xi））+∑k-1j=1Ω（fj）+Ω（fk）（20）

為使obj^（k）值達(dá)到最小，使用泰勒展開公式對目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行簡化處理：

obj^（k）=∑ni=1［l（yi，y^^（k-1）i）+gifk（xi）+12hif2k（xi）］+Ω（fk）=

∑ni=1［gifk（xi）+12hif2k（xi）］+Ω（fk）（21）

在XGboost生成決策樹時，利用貪心算法進(jìn)行劃分。通過計算目標(biāo)函數(shù)增益，可提高決策樹的生成效率。貪心算法需要保證每一步均為最優(yōu)解，進(jìn)而得到全局最優(yōu)解。因此，在決策樹生成過程中，需要保證在每一次節(jié)點分裂產(chǎn)生新的樹時，目標(biāo)函數(shù)值均為最小值。類似于傳統(tǒng)決策樹，采用增益來判斷是否應(yīng)該分裂節(jié)點，即分裂后的樹使得目標(biāo)函數(shù)值較分裂前要小，用公式可表示為

Lsplit=12∑i∈ILgi2∑i∈ILhi+λ+∑i∈IRgi2∑i∈IRhi+λ-∑i∈Igi2∑i∈Ihi+λ-γ（22）

式中：Lsplit又叫結(jié)構(gòu)分?jǐn)?shù)，類似信息增益，可對樹的結(jié)構(gòu)進(jìn)行打分;gi表示五階導(dǎo)數(shù);hi表示二階導(dǎo)數(shù);I表示決策樹在葉子節(jié)點上的取值;γ為懲罰項，表示增加模型復(fù)雜度，若增益太小，不建議分裂。若當(dāng)前節(jié)點A要分裂為B和C，則將A節(jié)點的目標(biāo)函數(shù)值減去B和C的目標(biāo)函數(shù)值之和。若差值大于0，則說明分裂有益，可進(jìn)行分裂。決策樹的第2層、第3層均重復(fù)以上步驟，直至整個決策樹所有特征均被使用，或達(dá)到限定層數(shù)。算法1如下所示：

算法 1 精確貪婪算法用于分裂查找

輸入 I為當(dāng)前節(jié)點的實例集;d為特征維度

1 gain←0

2 G←∑i∈Igi， H←∑i∈Ihi

3 for k=1 to m do

4

5

6

7

8

9

10

GL←0， HL←0

for j in sorted （I， by xjk） do

GL←GL+gj， HL←HL+hj

GR←G-GL， HR←H+HL

score←

max

score， G2LHL+λ+G2RHR+λ-G2H+λ

end

end

輸出 具有最大分?jǐn)?shù)的分裂

采用貪心算法高效生成一棵決策樹后，為了得到值得進(jìn)行嘗試的劃分點，XGboost使用加權(quán)分位法對函數(shù)特征值進(jìn)行重要性排序，根據(jù)排序結(jié)果選擇值得嘗試的特征值。對泰勒公式化簡后的目標(biāo)函數(shù)進(jìn)一步進(jìn)行數(shù)學(xué)變換，得到的目標(biāo)函數(shù)為一個平方損失。其中，真實值為gi/hi，權(quán)重為hi，權(quán)重體現(xiàn)樣本對于目標(biāo)函數(shù)F的貢獻(xiàn)。

F=∑ni=112hift（xi）－gihi2+Ω（ft）+constant（23）

根據(jù)hi對特征值重要性進(jìn)行排序，用函數(shù)表示為

rk（z）=1∑（x，h）∈Dkh∑（x，h）∈Dk，xlt;zh（24）

式中：Dk={（x1k，h1），（x2k，h2），…，（xnk，hn）}，是第i個樣本的第k個特征的特征值xik與其相應(yīng)的hi組成的集合?！疲▁，h）∈Dkh表示第k個特征的所有樣本的hi的總和，∑（x，h）∈Dk，xlt;zh表示所有特征值小于z的樣本的hi的總和。

對一個特征的所有特征值排序后，設(shè)置值α，對需要劃分的點進(jìn)行規(guī)范。對于特征k的特征值的劃分點{sk1，sk2，…，skl}，兩個相連劃分點的rk差值的絕對值小于設(shè)置值α。

|rk（sk，j）－rk（sk，j+1）|lt;α（25）

為了提高算法效率，可選擇每個切分點包含的特征值數(shù)量盡可能多，即在根據(jù)特征值rk進(jìn)行排序后，需要選出1/α個點作為切分點。采用加權(quán)分位法得到分裂點后，僅需對分裂點進(jìn)行嘗試，取代之前對所有特征值的嘗試方法，可大大減少算法開銷。算法2描述如下：

算法 2 分裂查找的近似算法

for k=1 to m do

根據(jù)特征k的百分位數(shù)提出

Sk={sk1，sk2，…，skl}

提案可以按樹（全局）或按分裂（局部）進(jìn)行

end

for k=1 to m do

Gkv←=∑j∈{j|sk，v≥xjkgt;sk，v-1}gj

Hkv←=∑j∈{j|sk，v≥xjkgt;sk，v-1}hj

end

按照前一節(jié)中的相同步驟，僅在提出的分裂中找到最大分?jǐn)?shù)

加權(quán)分位法計算分裂點采用局部策略，對于每個節(jié)點的所有樣本，重新計算其所有特征的分裂點，能夠保證準(zhǔn)確性，但策略開銷較大。另外，缺失值的處理算法描述如算法3所示。

算法 3 考慮稀疏性的分裂查找

輸入 I，當(dāng)前節(jié)點的實例集

輸入 Ik={i∈I|xik≠missing}

輸入 d，特征維度

1 也適用于近似設(shè)置，僅將非缺失條目的統(tǒng)計數(shù)據(jù)收集到桶中

2 gain←0

3 G←∑i∈I，gi，H←∑i∈Ihi

4 for k=1 to m do

5

6

7

8

9

10

11

12

13

14

15

16

17

18

19

∥循環(huán)缺失的值全部擺右子節(jié)點

GL←0， HL←0

for j in sorted （Ik， ascent order by xjk）

do

GL←GL+gj， HL←HL+hj

GR←G-GL， HR←H-HL

score←

max

score， G2LHL+λ+G2RHR+λ-G2H+λ

end

∥循環(huán)缺失的值全部擺左子節(jié)點

GR←0， HR←0

for j in sorted （Ik， ascent order by xjk）

do

GR←GR+gj， HR←HR+hj

GL←G-GR， HL←H-HR

score←

max

score， G2LHL+λ+G2RHR+λ-G2H+λ

end

end

輸出 具有最大分?jǐn)?shù)的分裂

對于第k個特征，先將樣本中第k個特征的特征值為缺失值的樣本全部剔除，再正常進(jìn)行樣本劃分。分別假設(shè)缺失值全部擺左子節(jié)點，或擺右子節(jié)點，在得到增益較大時，即為最好的特征劃分。需要注意的是，gblinear將缺失值視為0。當(dāng)加權(quán)分位法中對特征值進(jìn)行排序時，缺失值不參與，即缺失值不作為分裂點出現(xiàn)。

2.3 “成本-能力”組合賠率值

定義2 體系建設(shè)方案中包含aj的賠率Oj為

Oj=πj1－πj（26）

式中：πj為體系建設(shè)方案中包含aj的賠率。由于概率表示備選方案被選擇的可能性，賠率為某方案被選擇的可能性與不被選擇的可能性的比值。估計一種備選方案被納入體系建設(shè)方案的幾率，是概率的增函數(shù)。

定理 3

若誤差項ε遵循Logistic分布，則賠率的自然對數(shù)與所有解釋變量線性相關(guān)：

ln（Oj）=lnπj1－πj=w0+∑p+2i=1wiri（27）

證明 若誤差項ε服從Logistic分布，則可將πj和1－πj分別表示為

πj=11+e^{－（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2）

1－πj=11+e^{（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2）（28）

因此，aj的賠率可表示為

Oj=πj1－πj=e^{（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2）（29）

對賠率取自然對數(shù)，有

lnπj1－πj=w0+w1r1+…+wp+2rp+2 （30）

式中的系數(shù)（w0，w1，…，wp+2）同普通最小二乘中的系數(shù)。證畢

2.4 “成本-能力”組合備選方案經(jīng)濟(jì)價值

定義 3

經(jīng)濟(jì)價值指為了獲得某事物而愿意放棄的最大金額。

定理 4 “成本-能力”組合備選方案S的平均經(jīng)濟(jì)價值可表示為

E（rjp+2）=－1wp+2w0+∑p+1i=1wiE（ri）（31）

式中：wp+2lt;0;E（rjp+2）為數(shù)學(xué)期望，表示“成本-能力”組合備選方案5的平均經(jīng)濟(jì)價值。

證明 由于aj的經(jīng)濟(jì)價值是使兩個效用相等的rp+2的最大值。因此，可以得到：

0=w0+∑p+2i=1wiri+ε（32）

取方程兩邊的期望并求解，得到定理4。式（32）中的參數(shù)ε代表預(yù)測值ri權(quán)重的回歸系數(shù)，該系數(shù)將由統(tǒng)計推斷，而不由分析者主觀給定。證畢

3 基于三點估計法的“成本-能力”組合備選方案敏感性分析

在通過線性回歸模型得到備選方案的概率、賠率、經(jīng)濟(jì)價值估計值后，通過評估模型中每個預(yù)測因子的邊際效應(yīng)來定義主要的不確定性因素，使用三點估計法判斷每組結(jié)果的波動范圍，并通過計算標(biāo)準(zhǔn)差判斷波動率，進(jìn)而得到備選方案敏感性分析結(jié)果。

3.1 預(yù)測因子邊際效應(yīng)評估

在二分類模型中，邊際效應(yīng)隨自變量的值而不斷變化，一般采用自變量的平均值計算邊際效應(yīng)。

定理 5 如果誤差項ε服從Logistic分布，則預(yù)測值rk（k=1，2，…，p+2）對aj概率的邊際效應(yīng)為

πjrk=wkπj（1－πj）（33）

式中：wk是預(yù)測值rk的權(quán)重。

證明 由于指標(biāo)函數(shù)dj的期望值為

E（dj|rjp+1，rjp+2，Rj）=πj=11+e^{－（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2）（34）

該期望值對預(yù)測值rk求導(dǎo)，為

πjrk=wke^{－（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2）（1+e^{－（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2））2（35）

等價于

πjrk=wk11+e^{－（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2）e^{－（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2）（1+e^{－（w0+w1r1+…+wp+2}rp+2））′（36）

于是，導(dǎo)出定理5。證畢

定理 6 如果誤差項ε服從Logistic分布，則預(yù)測值rk（k=1，2，…，p+2）對于aj賠率的邊際效應(yīng)為

ln（Oj）rk=wk（37）

式中：wk是預(yù)測值rk的權(quán)重。

證明 計算lnπj1－πj對預(yù)測值rk的偏導(dǎo)數(shù)，即可得到定理6。其中，系數(shù)wk測量預(yù)測值rk每增加一個單位賠率的平均變化量。證畢

定理 7 若誤差項ε服從Logistic分布，則預(yù)測值rk（k=1，2，…，p+2）對“成本-能力”備選方案S平均經(jīng)濟(jì)價值的邊際效應(yīng)由下式給出：

E（rjp+2）rk=－wkwp+2（38）

式中：wk是預(yù)測值rk的權(quán)重;wp+2是aj的成本系數(shù)。

證明 由于“成本-能力”組合備選方案S的期望經(jīng)濟(jì)價值已給出，計算E（rjp+2）對預(yù)測值rk的偏導(dǎo)數(shù)，可得到定理7。

證畢

3.2 基于三點估計法的敏感性分析

對“成本-能力”組合備選方案S進(jìn)行敏感性分析需要確定方案的波動范圍，不確定性下的敏感性分析可采用對方案的最小值、最可能值和最大值這3個點進(jìn)行。

定理 8 aj賠率自然對數(shù)的最小值和最大值分別由min（ln（Oj））和max（ln（Oj））表示：

min（ln（Oj））=minlnπj1－πj=

w0+∑p+1i=1wimin（ri）+wp+2max（rp+2）（39）

max（ln（Oj））=maxlnπj1－πj=

wo+∑p+1i=1wimax（ri）+wp+2min（rp+2）（40）

證明 由于對于所有wi，均存在wi≥0，對于i=1，2，…，p+1，存在wp+2lt;0。解釋變量的logistic線性關(guān)系，即可得到定理8。證畢

定理 9 aj賠率的最小值和最大值分別由min（Oj）和max（Oj）表示：

min（Oj）=minπj1－πj=e^w0+∑p+1i=1wimin（ri）+wp+2max（rp+2）（41）

max（Oj）=maxπj1－πj=e^wo+∑p+1i=1wimax（ri）+wp+2min（rp+2）（42）

證明 自然對數(shù)函數(shù)ln（Oj）的導(dǎo)數(shù)嚴(yán)格為正，ln（·）對Ojgt;0嚴(yán)格遞增。由此得出：

min（ln（Oj））=ln（min（Oj））=

w0+∑p+1i=1wimin（ri）+wp+2max（rp+2）（43）

對方程兩邊同時取指數(shù)，得到定理9中的最小值。最大值的證明類似。證畢

定理 10 體系建設(shè)方案中包含的aj的概率最小值和最大值分別表示為

min（πj）=11+e^－w0+∑p+1i=1wimin（ri）+wp+2max（rp+2）（44）

max（πj）=11+e^－wo+∑p+1i=1wimax（ri）+wp+2min（rp+2）（45）

證明 體系建設(shè)中包含aj概率的導(dǎo)數(shù)Oj（πj）=πj1－πj對πj嚴(yán)格遞增：

0lt;πjlt;1（46）

由此得出：

min（Oj（πj））=Oj（min（πj））（47）

其中：

Oj（min（πj））=min（πj）1－min（πj）=e^w0+∑p+1i=1wimin（ri）+wp+2max（rp+2）（48）

可直接推導(dǎo)得出定理10中的最小值。最大值的證明類似。證畢

定理 11 “成本-能力”組合備選方案S經(jīng)濟(jì)價值的最小值和最大值分別表示為min（E（rjp+2））和max（E（rjp+2））：

min（E（rjp+2））=－1wp+2w0+∑p+1i=1wimin（ri）（49）

max（E（rjp+2））=－1wp+2w0+∑p+1i=1wimax（ri）（50）

證明 由于對于所有wi均存在wj≥0，對于i=1，2，…，p+1和wp+2lt;0，E（vj）和ri（i=1，2，…，p+1）的線性關(guān)系可得出定理中的結(jié)果。證畢

4 示例驗證

假定某體系建設(shè)過程中，有兩組由“成本-能力”組合構(gòu)成的備選方案S1和S2可供選擇，現(xiàn)根據(jù)經(jīng)濟(jì)價值和敏感性等方面的分析，將備選方案S1和S2進(jìn)行對比排序。

4.1 數(shù)據(jù)預(yù)處理

以S1為例整理收集數(shù)據(jù)。首先，備選方案S1包含20組由能力、成本、預(yù)算、專家決策等構(gòu)成的“成本-能力”組合，其中能力包含6種不同種類的能力值;成本為每組“成本-能力”組合中所有能力對應(yīng)成本值的加和;預(yù)算設(shè)置為9億人民幣;選擇51名主題專家對每組“成本-能力”組合進(jìn)行綜合評價。在專家評價結(jié)束后，對比每組“成本-能力”組合得到的0和1的數(shù)量，將數(shù)量多的結(jié)果作為該組方案的專家決策值。其次，采用XGboost二分類模型求解專家對每組“成本-能力”組合的決策概率，通過數(shù)學(xué)推導(dǎo)求解所有決策概率的邏輯值。最后，對備選方案S2做同樣處理。將備選方案S1和S2的數(shù)據(jù)處理結(jié)果作為建模輸入數(shù)據(jù)，結(jié)果如表1和表2所示。

4.2 線性回歸分析

對決策概率邏輯值通過線性回歸做預(yù)測，分析預(yù)測變量與邏輯值之間的線性關(guān)系。在回歸分析中，對于模型中的每個自變量，觀測值與自變量的最小比值為5?；貧w輸出結(jié)果如表3和表4所示，表3包括每個解釋變量的回歸系數(shù)w、p value以及每個系數(shù)的95%置信區(qū)間。其中，回歸系數(shù)中的負(fù)號表示在體系建設(shè)方案中包含給定備選方案的幾率越低，相應(yīng)的預(yù)測值越高。因此，成本較高的方案被納入整體方案的概率較低，而其他屬性較高的方案被納入的概率較高。若p valuelt;0.1，則對應(yīng)的解釋變量在10%的水平上具有統(tǒng)計學(xué)顯著性;若p valuegt;0.1，則該變量對方案的選擇沒有顯著的邊際效應(yīng)。

將回歸輸出應(yīng)用于預(yù)測因子的平均值，可以得到預(yù)測值的平均對數(shù)或概率的自然對數(shù)，以及相應(yīng)的預(yù)測概率。由于Logistic與解釋變量線性相關(guān)，以備選方案S1為例，其平均邏輯值為E（LogisticA）0.58，其平均預(yù)測概率為E（OA）=exp（E（LogisticA））1.79，對應(yīng)的預(yù)測概率為E（πA）=E（OA）/（1+E（OA））0.64，其平均經(jīng)濟(jì)價值的自然對數(shù)為ln（E（vA））=8.94，其平均經(jīng)濟(jì)價值為E（vA）=exp（18.35）7 633。表5為每組備選方案納入體系建設(shè)方案的概率、賠率、平均經(jīng)濟(jì)價值及兩種備選方案的對比結(jié)果，可根據(jù)經(jīng)濟(jì)價值實現(xiàn)備選方案的排序。

通過XGboost的分類模型嘗試得到概率值，并將其代回線性模型，可獲得較好的識別效果。由于XGboost無常數(shù)項，因此在回歸分析中分別對有常數(shù)項和無常數(shù)項進(jìn)行檢驗，結(jié)果表明有常數(shù)項的回歸結(jié)果中常數(shù)項不能通過檢驗。在回歸分析完成后，根據(jù)p value判斷哪種特征更有效。若p valuegt;0.1，則系數(shù)不穩(wěn)定，該變量有效性較差，無法通過統(tǒng)計檢驗。例如，方案S1的變量“能力1”“能力2”未通過統(tǒng)計檢驗，其余變量均通過統(tǒng)計檢驗。XGboost預(yù)測模型判斷方案S1對應(yīng)的概率和經(jīng)濟(jì)價值均優(yōu)于方案S2，且能有效地分析出方案S2與方案S1的差距。

4.3 敏感性分析

通過計算機(jī)仿真模擬進(jìn)行備選方案S1和方案S2的敏感性分析，每個預(yù)測因子的邊際效應(yīng)和三點估計結(jié)果如表6所示。

從表6可得到敏感性分析相關(guān)的結(jié)論。例如，在體系建設(shè)方案中納入備選方案S1的概率的最小值、最可能值和最大值分別為0%、64%和100%;具有最高邊際效應(yīng)（即預(yù)算變化對其概率和平均經(jīng)濟(jì)價值的影響較大）的預(yù)測因子是“能力6”;三點估計值中，備選方案S2概率的上限更低、下限更高，且對應(yīng)的估計誤差較小，同時概率和經(jīng)濟(jì)價值標(biāo)準(zhǔn)差也較小，因此備選方案S2的敏感性較低。

由上述示例結(jié)果可以得到，本文所提框架基于良好的理論基礎(chǔ)、正確的評估方法、確定的程序推導(dǎo)（非黑箱）以及經(jīng)濟(jì)學(xué)上的合理性，能夠在同一框架內(nèi)結(jié)合多個定性和定量評價指標(biāo)，通過統(tǒng)計學(xué)的方法推斷評價標(biāo)準(zhǔn)的權(quán)重，無需由分析人員或決策者決定評價權(quán)重，減少了求解過程的主觀性;同時，可捕獲評價標(biāo)準(zhǔn)間的依賴關(guān)系，檢驗各指標(biāo)的統(tǒng)計顯著性，減小了系統(tǒng)誤差。因此，相比傳統(tǒng)MCDA，本文所提方法具備更強(qiáng)的優(yōu)越性，能夠為分析人員和決策人員評估和選擇最佳“成本-能力”組合備選方案提供嚴(yán)謹(jǐn)、可靠的理論支撐及決策輔助，更大限度地滿足體系建設(shè)需求。

5 結(jié) 論

本文在預(yù)算有限這個大背景下開展體系建設(shè)成本控制與優(yōu)化的數(shù)學(xué)模型研究。從頂層設(shè)計角度出發(fā)，引入經(jīng)濟(jì)學(xué)方法，結(jié)合線性回歸和統(tǒng)計學(xué)技術(shù)，分別構(gòu)建體系建設(shè)“成本-能力”組合分析模型和敏感性分析模型，推導(dǎo)出每組備選方案納入體系建設(shè)整體方案的平均經(jīng)濟(jì)價值，實現(xiàn)對不確定性條件下的“成本-能力”組合備選方案的評估和排序，檢驗備選方案在不確定性條件下的波動情況;最后，通過示例分析驗證模型能夠在一定程度上輔助體系建設(shè)方案的優(yōu)選，改善選擇評估過程中數(shù)據(jù)量大的問題，具備理論和實踐層面的合理性，能夠在一定程度上提高體系建設(shè)的整體價值。

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作者簡介

張玉婷（1991—），女，工程師，博士研究生，主要研究方向為聯(lián)合作戰(zhàn)體系仿真分析與評估。

楊鏡宇（1971—），男，高級工程師，博士研究生導(dǎo)師，博士，主要研究方向為聯(lián)合作戰(zhàn)體系仿真分析與評估。