基于滑?？刂频母呱璞蕊w行器協(xié)同制導(dǎo)方法

摘 要：針對(duì)多個(gè)高升阻比飛行器在飛行中間段的時(shí)間協(xié)同問(wèn)題，提出一種基于滑模控制的高升阻比飛行器協(xié)同制導(dǎo)方法，建立多個(gè)高升阻比飛行器協(xié)同飛行力學(xué)模型，設(shè)計(jì)規(guī)劃飛行器在中間段制導(dǎo)過(guò)程中的飛行程序與針對(duì)飛行器側(cè)向機(jī)動(dòng)的滑?？刂撇呗浴Ｍㄟ^(guò)設(shè)計(jì)標(biāo)稱軌跡，對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行優(yōu)化，進(jìn)而生成各個(gè)飛行器不同初始條件所需的側(cè)向過(guò)載并通過(guò)側(cè)向過(guò)載得到所需的傾側(cè)角指令，以實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器飛行時(shí)間的控制，從而使多飛行器能夠同時(shí)到達(dá)目標(biāo)點(diǎn)上方設(shè)定范圍;考慮飛行器始末條件和狀態(tài)約束，使飛行器能夠滿足協(xié)同任務(wù)需求。利用李雅普諾夫穩(wěn)定性判據(jù)證明系統(tǒng)的穩(wěn)定性以及滑模面非奇異性，仿真結(jié)果表明，該協(xié)同制導(dǎo)策略具備一定抗干擾性，能夠滿足異地非同步發(fā)射的多個(gè)飛行器協(xié)同制導(dǎo)需求。

關(guān)鍵詞： 高升阻比飛行器; 協(xié)同制導(dǎo); 滑?？刂? 參數(shù)優(yōu)化; 穩(wěn)定性

中圖分類號(hào)： V 448.232

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： ADOI：10.12305/j.issn.1001 506X.2025.02.24

Cooperative guidance method of high lift to drag ratio aircraft

based on sliding mode control

GUO Bo1， TIE Ming^1，*， FAN Wenhui2， LI Chuanxu1

（1. Science and Technology on Space Physics Laboratory， Beijing 100076， China;

2. Department of Automation， Tsinghua University， Beijing 100084， China）

Abstract：Aiming at the problem of time coordination of multiple high lift to drag ratio aircrafts in mid flight， a cooperative guidance method of high lift to drag ratio aircraft based on sliding mode control is proposed. A cooperative flight mechanics model of multiple lift to drag ratio aircrafts is established， and the flight program of the aircraft in mid flight guidance and the sliding mode control strategy for lateral maneuvering of the aircraft are designed and planned. By designing nominal trajectories， the control parameters are optimized to generate the lateral overload required by different initial conditions of each aircraft and obtain the required tilt angle command through the lateral overload， so as to control the flight time of the aircraft， so that multiple aircrafts can reach the set range above the target point at the same time， and consider the starting and ending conditions and state constraints of the aircraft， enabling the aircraft to meet collaborative mission requirements. Lyapunov stability criterion is used to prove the stability of the system and the non singularity of the sliding mode surface. Simulation results show that the cooperative guidance strategy has a certain anti interference property， and can meet the requirements of the cooperative guidance of multiple aircrafts launched asynchronously.

Keywords：high lift to drag ratio aircraft; cooperative guidance; sliding mode control; parameter optimization; stability

0 引 言

高升阻比飛行器能夠在20～100 km的高層大氣飛行，相比一般的飛行器，該類飛行器飛行速度更快、飛行航程更遠(yuǎn)、飛行空域更廣，在一定時(shí)間內(nèi)改變飛行速度和飛行方向的能力更強(qiáng)，因此研究該類飛行器具有重大意義^［1-2］。然而，隨著工程需要，在實(shí)際場(chǎng)景中單個(gè)飛行器需逐漸勝任難度更高的任務(wù)，多飛行器協(xié)同工作能力更強(qiáng)，能夠勝任更高難度的任務(wù)。因此，多飛行器協(xié)同任務(wù)規(guī)劃在近些年來(lái)愈發(fā)受到關(guān)注^［3］，需要考慮研究多飛行器協(xié)同的相關(guān)技術(shù)。

對(duì)比單飛行器的任務(wù)規(guī)劃，多飛行器的協(xié)同規(guī)劃難度更高，需要考慮的約束更復(fù)雜，除了需要同時(shí)考慮多個(gè)飛行器的過(guò)載、動(dòng)壓、熱約束外^［4］，還需要同時(shí)考慮在不同始末條件下多飛行器飛行時(shí)間的控制^［5］。

實(shí)現(xiàn)多個(gè)飛行器針對(duì)同一目標(biāo)點(diǎn)的協(xié)同制導(dǎo)方式主要分為基于到達(dá)時(shí)間約束的飛行器獨(dú)立控制制導(dǎo)和基于信息交互的飛行器在線協(xié)同制導(dǎo)^［6-7］。飛行器獨(dú)立時(shí)間控制制導(dǎo)，即預(yù)先設(shè)定每個(gè)飛行器的飛行時(shí)間，在飛行過(guò)程中不進(jìn)行多個(gè)飛行器間的信息交互;基于信息交互的在線協(xié)同制導(dǎo)則利用多飛行器在飛行過(guò)程中的互相通信，實(shí)現(xiàn)時(shí)間協(xié)同^［8-9］。而當(dāng)飛行器在大氣層高速飛行時(shí)，飛行器周?chē)鷷?huì)形成等離子體鞘層，干擾通信^［10］。因此，本文研究多飛行器的協(xié)同制導(dǎo)，并采用更符合實(shí)際的獨(dú)立時(shí)間控制。

針對(duì)多飛行器協(xié)同制導(dǎo)方面的研究，早期有些學(xué)者專門(mén)研究針對(duì)單個(gè)飛行器到達(dá)靜止目標(biāo)點(diǎn)的時(shí)間控制^［11-12］。在此基礎(chǔ)上，又有更多協(xié)同制導(dǎo)方案被提出。文獻(xiàn)［13］首次將攻擊時(shí)間誤差反饋引入比例導(dǎo)引律，提出撞擊時(shí)間控制制導(dǎo)（impact time control guidance，ITCG），實(shí)現(xiàn)飛行器針對(duì)靜止目標(biāo)的協(xié)同。文獻(xiàn)［14］提出一種關(guān)于剩余時(shí)間和剩余距離的計(jì)算公式，通過(guò)預(yù)測(cè)剩余時(shí)間、剩余距離和末速度之間的關(guān)系建立能滿足到達(dá)時(shí)間約束的再入制導(dǎo)律。文獻(xiàn)［15］通過(guò)在橫向剖面使用預(yù)測(cè)校正制導(dǎo)調(diào)節(jié)時(shí)間以通過(guò)牛頓迭代法調(diào)節(jié)該剖面以滿足剩余距離和剩余時(shí)間的約束。王肖等人研究通過(guò)在高度-速度剖面內(nèi)設(shè)計(jì)參考軌跡，結(jié)合側(cè)向航向角走廊，通過(guò)在線數(shù)值預(yù)測(cè)剩余飛行航程和時(shí)間校正實(shí)現(xiàn)飛行器的時(shí)間協(xié)同制導(dǎo)^［16］。周宏宇等人提出一種基于改進(jìn)粒子群優(yōu)化算法的多飛行器協(xié)同規(guī)劃算法，將強(qiáng)化學(xué)習(xí)方法同粒子群優(yōu)化算法結(jié)合，通過(guò)多次重構(gòu)飛行剖面最終完成協(xié)同制導(dǎo)^［17］。You等人提出一種可以針對(duì)三維空間中多個(gè)飛行器的領(lǐng)航跟隨固定時(shí)間協(xié)同算法，使跟隨飛行器能夠通過(guò)算法，利用視線角度由領(lǐng)航飛行器帶領(lǐng)實(shí)現(xiàn)協(xié)同制導(dǎo)^［18］。

針對(duì)多飛行器協(xié)同控制，本文選取控制方式為滑?？刂?。滑?？刂苿?dòng)態(tài)響應(yīng)快，對(duì)參數(shù)攝動(dòng)不敏感，對(duì)外部的干擾具有較好的魯棒性，常被用來(lái)解決帶有碰撞角度約束的飛行器制導(dǎo)問(wèn)題^［19-20］。文獻(xiàn)［21］提出一種考慮落角約束的滑模制導(dǎo)律，該方法通過(guò)改變分?jǐn)?shù)階參數(shù)實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行器軌跡以及飛行時(shí)間的調(diào)節(jié)。文獻(xiàn)［22］和文獻(xiàn)［23］均為通過(guò)對(duì)法向過(guò)載使用滑?？刂品椒ú⒃O(shè)定期望時(shí)間和期望角度，實(shí)現(xiàn)針對(duì)靜止目標(biāo)的協(xié)同制導(dǎo)。文獻(xiàn)［24］提出一種協(xié)同多個(gè)飛行器飛行時(shí)間和角度的三維自適應(yīng)滑模制導(dǎo)律，實(shí)現(xiàn)多飛行器在期望時(shí)刻的分布式協(xié)同制導(dǎo)，并保證閉環(huán)系統(tǒng)的全局固定時(shí)間收斂特性。

對(duì)于高升阻比飛行器來(lái)說(shuō)，飛行器的動(dòng)力學(xué)模型都具有強(qiáng)非線性、強(qiáng)不確定性，其速度和加速度都是實(shí)時(shí)變化的。而且，相比末制導(dǎo)段，飛行器在中間段的飛行時(shí)間更長(zhǎng)，距離更遠(yuǎn)，有更足夠的空間來(lái)調(diào)節(jié)飛行時(shí)間^［25］。因此，本文研究?jī)?nèi)容將進(jìn)一步考慮在氣動(dòng)力加速度隨大氣密度變化的情況下，多個(gè)飛行器在中間段的協(xié)同制導(dǎo)，即多個(gè)飛行器從不同初始點(diǎn)開(kāi)始，依靠氣動(dòng)力通過(guò)滑模控制使飛行器在飛行時(shí)間相同的情況下到達(dá)同一目標(biāo)點(diǎn)上空，為末端制導(dǎo)做準(zhǔn)備。

最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證該方法的正確性和有效性。

1 飛行器動(dòng)力學(xué)模型

1.1 動(dòng)力學(xué)方程

本文主要研究多飛行器在經(jīng)歷火箭助推段、自由段以及拉起段后在大氣層中無(wú)動(dòng)力飛行的中間段制導(dǎo)過(guò)程，假設(shè)第i枚飛行器的的動(dòng)力學(xué)模型可以表示如下：

dvidt=－Dimi－gisin γi（1）

dridt=visin γi（2）

dNidt=vicos γisin iricos i（3）

didt=vicos γicos iri（4）

didt=Lisin σimivicos γi+Viricos γisinitan i（5）

dγidt=Licos σimivi－givi－viricos γi（6）

式中：下標(biāo)i代表第i枚飛行器;v為飛行器飛行速度;r為飛行器的地心距;N為飛行器所處經(jīng)度;為飛行器所處緯度;為飛行器航向角;γ為飛行器彈道傾角;D為飛行器受到的氣動(dòng)阻力;L為飛行器受到的氣動(dòng)升力;m為飛行器質(zhì)量;g為重力加速度大小;σ為飛行器傾側(cè)角。

氣動(dòng)升力和氣動(dòng)阻力可表示如下：

L=12ρv2SrefCL

D=12ρv2SrefCD（7）

式中：Sref為特征面積;CL和CD分別為升力系數(shù)和阻力系數(shù)，可以分別由飛行器的攻角和馬赫數(shù)通過(guò)擬合計(jì)算得到^［26］。

h和ρ分別為飛行器所在高度和所在高度處的大氣密度：

ρ=ρ0e^－βh（8）

h=r－R0（9）

式中：ρ0為標(biāo)準(zhǔn)大氣密度;β為一常數(shù);R0為地球的平均半徑。

取ρ0=1.225 kg/m3;β=1.406 4×10^－4;R0=6 374.4 km。

1.2 飛行約束條件

每一枚飛行器在大氣層高速飛行的過(guò)程中，首先需要滿足氣動(dòng)熱約束、過(guò)載約束和動(dòng)壓約束：

Qi=KQρiv^3.15i≤Qmax（10）

qi=0.5ρiv2i≤qmax（11）

ni=L2i+D2imigi≤nmax（12）

KQ=C1Rdρ0（g0R0）^3.15（13）

式中：Q為熱流密度;q為動(dòng)壓;n為總過(guò)載;KQ為熱流常數(shù);C1為形狀因子;Rd為前緣駐點(diǎn)處半徑;g0為地球表面加速度;Qmax為最大熱流密度;qmax為最大動(dòng)壓;nmax為最大過(guò)載。

除此之外，還要求飛行器在滿足到達(dá)終端位置約束、終端高度約束、總航程約束的同時(shí)，還需要保證多個(gè)飛行器到達(dá)的時(shí)間相同。

設(shè)Srest，i為第i枚飛行器的剩余待飛航程，有以下關(guān)系式^［27］：

Srest，i=R0·arccos［cos icos ′cos（θi－θ′）+

sin isin ′］（14）

式中：i，θi分別表示第i枚飛行器當(dāng)前位置的緯度和經(jīng)度;′，θ′分別表示終點(diǎn)位置的緯度和經(jīng)度。

設(shè)tf，i表示第i枚飛行器的到達(dá)時(shí)間，tdf為各個(gè)飛行器的期望到達(dá)時(shí)間，需要滿足關(guān)系：

tf，1=tf，2=…=tf，i=tdf（15）

2 多飛行器協(xié)同制導(dǎo)設(shè)計(jì)

2.1 滑模面設(shè)計(jì)

針對(duì)靜止目標(biāo)的制導(dǎo)幾何可以繪制在如圖1所示的參考系中。λ為飛行器相對(duì)目標(biāo)的視線角;γ為飛行器的航向角;θ表示航向角和視線角的差值，即飛行器前置角，前置角可以描述飛行器飛行方位角與目標(biāo)點(diǎn)的偏差，由此可以寫(xiě)成如下關(guān)系式：

θ=λ－γ（16）

vr=vcos θ（17）

vλ=vsin θ（18）

還可以由此得到視線角和航向角和速度分量vλ以及側(cè)向過(guò)載aM之間的關(guān)系：

λ·=vλr（19）

γ·=aMv（20）

對(duì)于飛行器無(wú)動(dòng)力飛行的中段制導(dǎo)過(guò)程，飛行器的目標(biāo)是到達(dá)預(yù)定位置并與末制導(dǎo)段進(jìn)行交班。交班區(qū)域位置設(shè)計(jì)為在以目標(biāo)點(diǎn)經(jīng)緯度為圓心的圓形范圍內(nèi)，當(dāng)飛行器到達(dá)該圓形范圍內(nèi)即完成任務(wù)，飛行器還需在飛行末時(shí)刻滿足高度約束。

針對(duì)多飛行器協(xié)同制導(dǎo)，還需滿足多飛行器到達(dá)交班點(diǎn)的時(shí)間相同。因此，本文采用的是預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)方法，通過(guò)剩余飛行距離預(yù)估時(shí)間對(duì)飛行控制指令進(jìn)行實(shí)時(shí)校正以實(shí)現(xiàn)對(duì)飛行時(shí)間的控制^［28］。

假設(shè)交班點(diǎn)與終點(diǎn)的所剩距離為S;飛行器當(dāng)前位置距終點(diǎn)位置為S;飛行器到交班點(diǎn)所需的預(yù)估剩余時(shí)間為tgo;預(yù)估到達(dá)時(shí)刻為tf;當(dāng)前時(shí)刻為t;則可以得到如下關(guān)系式^［29］：

tf=t+tgo（21）

Srest=S－S（22）

tgo=Srestv1+0.52N－1θ2（23）

式中：N為比例導(dǎo)引系數(shù)，一般設(shè)N=3?？梢杂纱嗽O(shè)計(jì)滑模面為

s=tf－tdf=t+tgo－tdf=tgo－tdgo（24）

式中：tdf表示期望到達(dá)時(shí)間;tdgo表示期望剩余時(shí)間?；Ｃ鎠最終趨于穩(wěn)定。

2.2 滑模制導(dǎo)律設(shè)計(jì)

令r=Srest，通過(guò)對(duì)滑模面求導(dǎo)，設(shè)計(jì)滑模制導(dǎo)律函數(shù)^［30］：

s·=tgo·－tdgo·=r·v1+0.52N－1θ2－rθv（2N－1）λ·+

1+rθv2（2N－1）am（25）

基于式（25），可以利用李雅普諾夫非線性控制理論設(shè)計(jì)滑模控制的趨近律。

aM=a^eqM+a^MconM+a^swM（26）

式中：aM為控制飛行器所需要的側(cè)向過(guò)載;a^eqM為利用s·=0設(shè)計(jì)的等效控制分量，a^eqM可以表示為

a^eqM=v2（2N－1）r·cos θ－1θ+0.5v2rθcos θ+VMλ·（27）

同時(shí)，為了使滑模面最終趨于零并保證系統(tǒng)滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性條件，設(shè)計(jì)a^swM和a^MconM，可以寫(xiě)成如下關(guān)系式：

a^swM=－M（psgn（θ）+1）sgn（s）（28）

a^MconM=－h(huán)（θ）θks（29）

在這里，可以引入一連續(xù)正函數(shù)：

h（θ）=sgn（θ）θ，|θ|lt;ε1

1－ε1ε2－ε1|θ|+ε1（ε2－1）ε2－ε1， ε1≤|θ|≤ε2

1， 其他（30）

式中：k，s，M，p，ε1，ε2均為正常數(shù)且需要滿足pgt;1。

接下來(lái)，對(duì)系統(tǒng)的穩(wěn)定性進(jìn)行證明，證明過(guò)程可參考文獻(xiàn)［30］，考慮李雅普諾夫函數(shù)為

V=12s2（31）

上述滑模面和趨近律的設(shè)計(jì)，可以保證李雅普諾夫函數(shù)是正定的，接下來(lái)只需要證明其導(dǎo)數(shù)是負(fù)定，即可保證系統(tǒng)是穩(wěn)定的。

對(duì)李雅普諾夫函數(shù)求導(dǎo)可得

V·=ss·=－rh（θ）v2（2N－1）ks2－Mrv2（2N－1）（p|θ|+θ）|s|（32）

分別取式（32）中兩項(xiàng)單獨(dú)討論，令

A=rh（θ）v2（2N－1）（33）

B=Mrv2（2N－1）（p|θ|+θ）|s|（34）

由于h（θ）的函數(shù)值域均為正，k，M，p為正常數(shù)且pgt;1，所以當(dāng)θ≠0時(shí)，A和B都是正定的。這意味著當(dāng)θ=0時(shí)不能滿足趨近律s=0，因此需要證明θ=0不是一個(gè)穩(wěn)定吸引子。

下面考慮θ=0的情況，由式（16）求導(dǎo)得到：

θ·=λ·－γ·（35）

由式（18）～式（20）和式（26）可知，當(dāng)θ=0時(shí)，能夠滿足λ·=0，a^eqM=0，a^MconM=0，由此可以得到：

γ·=a^swMv=－Mvsgn（s）（36）

將式（36）和式（35）聯(lián)立得到：

θ·=a^swMv=Mvsgn（s）（37）

因此，當(dāng)θ=0且s≠0時(shí)，θ·≠0，系統(tǒng)并沒(méi)有趨于穩(wěn)定，所以θ=0并非一個(gè)穩(wěn)定性因子。僅當(dāng)s=0時(shí)，θ=0才是一個(gè)吸引子。因此，由式（32）可以證明系統(tǒng)滿足李雅普諾夫穩(wěn)定性條件，接下來(lái)討論制導(dǎo)指令產(chǎn)生奇異性的問(wèn)題。理論上，當(dāng)r為零或無(wú)限接近于零時(shí)制導(dǎo)指令會(huì)產(chǎn)生奇異性現(xiàn)象，然而在實(shí)際飛行過(guò)程中，一般會(huì)將飛行結(jié)束條件設(shè)置為進(jìn)入S*范圍內(nèi)。此時(shí)，Srest負(fù)定，Srest為零的狀態(tài)只是到達(dá)結(jié)束條件下的某一個(gè)短暫時(shí)刻，即不會(huì)在滑模面趨于穩(wěn)態(tài)時(shí)連續(xù)為零。因此，在式（26）中的滑模制導(dǎo)律不會(huì)導(dǎo)致奇異產(chǎn)生。同時(shí)，另一個(gè)奇異條件是θ等于零或無(wú)限接近于零，而在式（27）中，令：

T=cos θ－1θ（38）

依據(jù)洛必達(dá)法則，當(dāng)θ無(wú)限趨于零的時(shí)候，T也是趨于零的，而不會(huì)變成無(wú)窮大項(xiàng)，所以θ不會(huì)導(dǎo)致奇異情況產(chǎn)生。

同樣，可以證明所需過(guò)載aM的另外兩個(gè)分量a^MconM和a^swM不會(huì)出現(xiàn)奇異，本文設(shè)計(jì)的滑模制導(dǎo)律不會(huì)出現(xiàn)奇異問(wèn)題。

另外，為了抑制控制系統(tǒng)在運(yùn)行過(guò)程中產(chǎn)生的抖振現(xiàn)象，現(xiàn)將不連續(xù)函數(shù)sgn（x）改寫(xiě)為一連續(xù)函數(shù)sgmf（x）：

sgmf（x）=211+e^－αz－12， αgt;0（39）

2.3 參數(shù)優(yōu)化求解

由于飛行器飛行速度、加速度都是實(shí)時(shí)變化的，所以為了防止飛行過(guò)程中傾側(cè)角變化出現(xiàn)抖振、能量不足等原因?qū)е聼o(wú)法在限定時(shí)間到達(dá)終端位置，可以對(duì)參數(shù)M進(jìn)行尋優(yōu)計(jì)算?，F(xiàn)采用提前規(guī)劃標(biāo)稱軌跡的方式，利用遞推最小二乘法對(duì)合適的M值進(jìn)行計(jì)算，其最小二乘指標(biāo)為

J=min（tdf－tf，i）（40）

本文采用遞推最小二乘法迭代求解合適的M值，利用飛行時(shí)間反向計(jì)算所需要的M值，以下給出使用該方法的計(jì)算過(guò)程。

設(shè)計(jì)變量：

ξ=M（41）

建立如下殘差方程：

g（ξ）=tdf－tf（42）

由最小二乘法的極值原理，可以得到如下的迭代算法：

ξk+1=ξk－A^－1kBk（43）

式中：

Ak=∑Ni=1gTiξkgiξk（44）

Bk=∑Ni=1gTiξkgi（ξk）（45）

當(dāng)估計(jì)值與上一步的差的范數(shù)滿足一定精度時(shí)就停止迭代。

2.4 縱向與側(cè)向軌跡規(guī)劃

得到側(cè)向過(guò)載指令aM后，再由aM求得所需的程序角指令，由于飛行器采用傾側(cè)轉(zhuǎn)彎（bank to turn，BTT）控制方法，側(cè)向控制指令均由傾側(cè)角σ產(chǎn)生，根據(jù)側(cè)向過(guò)載aM，升力L和飛行器質(zhì)量m得到傾側(cè)角指令為

σ=arcsin（aMmL）（46）

由傾側(cè)角指令產(chǎn)生的側(cè)向過(guò)載是有限的，所以側(cè)向過(guò)載aM不能無(wú)限制地施加。另外，飛行器需要維持穩(wěn)定，因此需要對(duì)傾側(cè)角限幅，故限定傾側(cè)角范圍為σ∈［－60°，60°］。

除傾側(cè)角外，飛行器的程序角還包括攻角，為滿足約束條件，還需要對(duì)飛行器的攻角α進(jìn)行規(guī)劃：

α=amax， v≥v1

aL/D max+amax－aL/D maxv1－v2（v－v2）， v2lt;vlt;v1

aL/D max， v≤v2（47）

式中：amax為飛行器攻角的最大值;αL/D max為飛行器最大升阻比情況下的攻角，可由升阻比函數(shù)CL/CD求出;v1為一給定的較大速度值;v2為一給定的較小速度值。

因此，所研究的問(wèn)題可以進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為通過(guò)利用航程-傾側(cè)角剖面以及速度-攻角剖面設(shè)計(jì)的飛行走廊。

飛行器的軌跡通過(guò)四階五步龍格庫(kù)塔法積分得到，每0.1 s進(jìn)行一次積分，當(dāng)滿足終端位置約束時(shí)結(jié)束積分，假設(shè)終端位置為進(jìn)入距離目標(biāo)點(diǎn)半徑為S的圓區(qū)域內(nèi)時(shí)即為飛行器完成任務(wù)，最優(yōu)指標(biāo)為每一枚飛行器的到達(dá)時(shí)間一致且均為期望到達(dá)時(shí)間tfd，即

J=min（tfd－tf，i）， i=1，2，…，N（48）

式中：k為飛行器的數(shù)量。

3 仿真分析

3.1 仿真背景及參數(shù)設(shè)定

假設(shè)共有3枚飛行器且該3枚飛行器均為同種類的飛行器，各個(gè)飛行器的質(zhì)量均為1 000 kg，特征面積均設(shè)計(jì)為0.51 m2，氣動(dòng)參數(shù)參考使用CAV H（common aero vehicle high）飛行器的氣動(dòng)參數(shù)，該類飛行器的過(guò)程約束可以參考文獻(xiàn)［31］并設(shè)置熱流上限為Qmax=1 200 kw/m2，過(guò)載上限為Nmax=4 g，動(dòng)壓上限為q=400 kPa。

假設(shè)3枚飛行器（i=1，2，3）在經(jīng)過(guò)前面階段的飛行后于同一時(shí)刻開(kāi)始中間段飛行，分別由不同初始位置出發(fā)，其初始條件分別如表1所示，而飛行器的目標(biāo)點(diǎn)與終端約束情況如表2所示。

由表1可知，設(shè)定的3枚飛行器初始條件不同，因此其剩余航程均不相同。3枚飛行器剩余航程分別為4 939.4 km，5 062.0 km，5 005.2 km。飛行器初始前置角均為零，因此在初速度、初始高度、初始航跡傾角都相近的情況下，如果不通過(guò)合適側(cè)向機(jī)動(dòng)改變飛行時(shí)間，3枚飛行器最終到達(dá)終點(diǎn)的時(shí)間必不相同。

3.2 多飛行器協(xié)同制導(dǎo)仿真分析

對(duì)飛行器制導(dǎo)律的參數(shù)指標(biāo)進(jìn)行設(shè)計(jì)，設(shè)k=0.001，p=1.3，ε1=0.001，ε2=0.015。

對(duì)于期望到達(dá)時(shí)間tdf的設(shè)定有一定局限范圍，既不能過(guò)大也不能過(guò)小。因?yàn)榧纫ＷC其大于剩余航程最長(zhǎng)的飛行器在無(wú)側(cè)向機(jī)動(dòng)情況下的飛行時(shí)間，還要保證不能因飛行時(shí)間過(guò)長(zhǎng)導(dǎo)致能量提前消耗殆盡以致其無(wú)法到達(dá)終點(diǎn)。經(jīng)計(jì)算，能夠滿足3枚飛行器均可到達(dá)的期望時(shí)間可取范圍為tdf∈［1 366，1 404］s，因此設(shè)置tdf=1 386 s。通過(guò)第2節(jié)的最小二乘法計(jì)算出3枚飛行器的控制參數(shù)M值分別如表3所示。

利用所設(shè)計(jì)的指標(biāo)進(jìn)行仿真，得到3枚飛行器在不同初始條件下的協(xié)同制導(dǎo)仿真結(jié)果。圖2展示了規(guī)劃出3枚飛行器的航程-高度飛行剖面，3枚飛行器在經(jīng)過(guò)不斷的跳躍飛行最終能夠完成所需的全部航程。圖3展示了3枚飛行器經(jīng)緯度變化的軌跡，可以看出飛行器由不同初始位置出發(fā)，在經(jīng)過(guò)不斷側(cè)向機(jī)動(dòng)后最終能夠到達(dá)終點(diǎn)區(qū)域。

圖4和圖5展示的是3枚飛行器飛行過(guò)程中高度和速度的變化。飛行器高度在不斷的來(lái)回波動(dòng)中緩慢下降至終端約束的高度范圍內(nèi)，而飛行器速度隨著能量的消耗不斷減小。

圖6展示了3枚飛行器飛行過(guò)程中動(dòng)壓、過(guò)載、熱流的變化情況，這些變化量在飛行過(guò)程中始終符合過(guò)程約束，不會(huì)超過(guò)限定值。

圖7展示了3枚飛行器由制導(dǎo)指令產(chǎn)生的傾側(cè)角變化過(guò)程，為了改變飛行時(shí)間而調(diào)整飛行方向，傾側(cè)角需要根據(jù)制導(dǎo)指令在限定范圍內(nèi)實(shí)時(shí)調(diào)整。

圖8展示了3枚飛行器在飛行過(guò)程中攻角的變化情況，為維持飛行高度以及實(shí)現(xiàn)更大航程，飛行器在飛行的過(guò)程中需要調(diào)整攻角，使攻角隨速度的衰減不斷增大。

圖9和圖10分別展示了3枚飛行器的航向角變化和前置角變化，航向角和前置角在不斷地側(cè)向調(diào)整中，逐漸恢復(fù)到初始時(shí)的角度。

3枚飛行器初始的航向角就是初始點(diǎn)與目標(biāo)點(diǎn)之間的方位角，因此在飛行器不進(jìn)行任何側(cè)向飛行的情況下，飛行器剛好能以最短時(shí)間準(zhǔn)確飛達(dá)目標(biāo)點(diǎn)上空。同理，初始前置角均接近于零，這意味著飛行器初始飛行方向是準(zhǔn)確朝著目標(biāo)點(diǎn)的，但是由于飛行器需要依靠側(cè)向機(jī)動(dòng)調(diào)整飛行時(shí)間，所以要進(jìn)行飛行方向的調(diào)整，而側(cè)向機(jī)動(dòng)的指令則由計(jì)算得到的傾側(cè)角實(shí)現(xiàn)。在完成對(duì)時(shí)間的調(diào)整后，前置角最終會(huì)逐漸恢復(fù)到零。航向角同樣如此，在完成對(duì)飛行時(shí)間的調(diào)整后也會(huì)逐漸恢復(fù)到初始航向角大小，進(jìn)而繼續(xù)準(zhǔn)確朝著目標(biāo)點(diǎn)進(jìn)發(fā)。

最終，3枚飛行器均能在設(shè)定時(shí)間到達(dá)指定目標(biāo)區(qū)域內(nèi)，其終端狀態(tài)如表4所示?？梢?jiàn)，飛行器均到達(dá)了距離目標(biāo)點(diǎn)140 km范圍處，3枚飛行器與期望到達(dá)時(shí)間的偏差分別為0.5 s、0.5 s、1 s?？梢哉J(rèn)為在誤差范圍內(nèi)，飛行器協(xié)同制導(dǎo)的任務(wù)是成功的。

3.3 對(duì)比分析

本文研究方法的思路主要是通過(guò)側(cè)向機(jī)動(dòng)以達(dá)到改變飛行器飛行時(shí)間的目的。而文獻(xiàn)［21］提出的方法主要針對(duì)基于縱向落角約束的預(yù)測(cè)-校正制導(dǎo)研究。因此，對(duì)比該方法的仿真如圖11～圖16所示。

從結(jié)果看，文獻(xiàn)［21］方法通過(guò)預(yù)估的末時(shí)刻落角反饋制導(dǎo)指令，改變縱向飛行剖面。使用該方法同樣能夠達(dá)到協(xié)同制導(dǎo)的目的，并使飛行器在約束范圍內(nèi)到達(dá)距離目標(biāo)點(diǎn)140 km范圍內(nèi)，完成交班任務(wù)，最終的到達(dá)時(shí)間與期望到達(dá)時(shí)間的偏差分別為0.7 s、0.1 s、0.5 s，可以認(rèn)為在誤差范圍內(nèi)。

但是，該方法通過(guò)改變制導(dǎo)律中的分?jǐn)?shù)階參數(shù)，僅僅只改變飛行器的縱向軌跡，沒(méi)有通過(guò)橫側(cè)向制導(dǎo)改變飛行器的橫側(cè)向軌跡，因此飛行器只可始終沿初始航向角飛行。而飛行器在實(shí)際飛行中難免受到干擾，不能在無(wú)側(cè)向機(jī)動(dòng)控制的情況下始終保持初始方位角，最終可能造成飛行方向的偏差。

相比文獻(xiàn)［21］中的方法，本文研究方法更優(yōu)異的方面在于能夠通過(guò)直接對(duì)飛行器的橫側(cè)向軌跡進(jìn)行控制約束，使飛行器在飛行過(guò)程中糾正到達(dá)時(shí)間偏差的同時(shí)，還可以對(duì)飛行方向進(jìn)行修正，最終令飛行器始終能夠在制導(dǎo)指令下向目標(biāo)位置飛行。

除此之外，利用與本文研究方法同樣的思路，使用傳統(tǒng)的比例-積分-微分（proportion integration differentiation，PID）控制器法設(shè)置一組對(duì)照實(shí)驗(yàn)。該方法與本文研究思路類似，同樣利用預(yù)估剩余時(shí)間tgo和期望剩余時(shí)間tdgo設(shè)計(jì)關(guān)于側(cè)向過(guò)載的PID制導(dǎo)律：

aM=KP（tgo－tdgo）+KI∫^tf0（tgo－tdgo）dt+

KD（tgo·－tdgo·）（49）

式中：KP、KI、KD分別為PID控制參數(shù)。利用與前面所述處理滑?？刂茀?shù)相同的方法，固定KI、KD，通過(guò)最小二乘迭代計(jì)算調(diào)節(jié)參數(shù)KP。

圖17～圖19分別展示了在傳統(tǒng)PID控制方法下的3枚飛行器航程-高度飛行剖面、過(guò)程約束以及傾側(cè)角指令的變化。由圖17可以看出，3枚飛行器最終在飛行終點(diǎn)處均能夠到達(dá)指定范圍內(nèi)的高度。由圖18可以看出，3枚飛行器均能在過(guò)程約束范圍內(nèi)飛行。但是，通過(guò)圖19得到，3枚飛行器的傾側(cè)角指令在飛行最后時(shí)段發(fā)生了在上下幅值之間的高頻率來(lái)回抖振，這意味著需要控制傾側(cè)角變化的飛行器舵發(fā)生高頻率來(lái)回?cái)[動(dòng)，顯然是不符合實(shí)際的。另外，在使用該傳統(tǒng)PID控制方法得到的結(jié)果中，3枚飛行器到達(dá)時(shí)刻分別為1 388.2 s、1 387.4 s、1 386.0 s，與期望到達(dá)時(shí)間的最大偏差達(dá)到了2.2 s，結(jié)果指標(biāo)略遜于本文所述方法。因此，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)可知，本文使用方法相比于傳統(tǒng)PID控制方法要更優(yōu)。

3.4 蒙特卡羅仿真分析

在實(shí)際飛行過(guò)程中，飛行器會(huì)受到各種不確定性因素的干擾，所以需要對(duì)飛行器在受到外界擾動(dòng)情況下的飛行條件進(jìn)行仿真驗(yàn)證。因此，為了進(jìn)一步驗(yàn)證該方法的抗干擾性，選取一組數(shù)據(jù)利用蒙特卡羅打靶法進(jìn)行仿真。該組數(shù)據(jù)為滿足正態(tài)分布條件的初始偏差和外界擾動(dòng)，如表5所示，偏差限為3σ。

接下來(lái)以飛行器3為例，驗(yàn)證本文研究方法中飛行器在微小擾動(dòng)情況下的實(shí)際效果。通過(guò)100次蒙特卡羅打靶仿真，得到如下結(jié)果。

圖20為飛行器在擾動(dòng)條件下高度隨時(shí)間變化情況，飛行器飛行過(guò)程中高度受到影響，產(chǎn)生微小變化，但是在終點(diǎn)仍能符合預(yù)定高度約束范圍。圖21為飛行器到達(dá)時(shí)間與目標(biāo)到達(dá)時(shí)間tdf偏差的密度分布，在滿足正態(tài)分布的偏差條件下，飛行器到達(dá)時(shí)間偏差同樣符合正態(tài)分布，與預(yù)期情況一致。但是正態(tài)分布的均值不為零，原因是最初由最小二乘法得到的最優(yōu)控制參數(shù)M計(jì)算出的飛行器到達(dá)時(shí)間本就有微小偏差，而此正態(tài)分布的均值即為最初到達(dá)時(shí)間與目標(biāo)到達(dá)時(shí)間tdf的差。但是，該正態(tài)分布的時(shí)間偏差的最大值為1.7 s，仍然在可以接受的誤差范圍內(nèi)。因此，可以認(rèn)為該多飛行器協(xié)同制導(dǎo)方法能克服干擾因素的影響。

圖22展示了飛行器到達(dá)時(shí)間偏差與其對(duì)應(yīng)的末速度，直觀展示了飛行器末速度隨時(shí)間偏差的變化，這些偏差均在可接受范圍內(nèi)。

4 結(jié) 論

針對(duì)多高升阻比飛行器的協(xié)同制導(dǎo)技術(shù)是未來(lái)復(fù)雜環(huán)境與任務(wù)亟需發(fā)展的重點(diǎn)研究方向。本文提出一種通過(guò)預(yù)估剩余時(shí)間和預(yù)估剩余航程的多飛行器協(xié)同制導(dǎo)方法，該方法可以在保證制導(dǎo)準(zhǔn)確的同時(shí)調(diào)節(jié)飛行時(shí)間，實(shí)現(xiàn)多飛行器協(xié)同制導(dǎo)。

通過(guò)設(shè)計(jì)基于滑模制導(dǎo)律并利用最小二乘迭代法計(jì)算控制參數(shù)，規(guī)劃了飛行器飛行所需攻角和傾側(cè)角指令。通過(guò)攻角指令維持飛行高度，使飛行器能在到達(dá)終端狀態(tài)時(shí)滿足高度約束，通過(guò)傾側(cè)角指令使飛行器能有效調(diào)節(jié)飛行時(shí)間，解決復(fù)雜條件下對(duì)飛行器飛行時(shí)間控制的問(wèn)題，使飛行器能在多約束條件下實(shí)現(xiàn)協(xié)同制導(dǎo)。最后，通過(guò)仿真實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證了該方法的可行性。仿真結(jié)果表明，多個(gè)飛行器的到達(dá)時(shí)間與預(yù)期到達(dá)時(shí)間的差距均能控制在1 s內(nèi)。對(duì)比其他方法和思路，本文研究方法具有更優(yōu)異的表現(xiàn)。并且，通過(guò)蒙特卡羅仿真實(shí)驗(yàn)可得，即使在有初始條件偏差和過(guò)程擾動(dòng)的情況下，飛行器的時(shí)間偏差仍然不超過(guò)2 s，說(shuō)明本方法具有一定抗干擾性，為高升阻比飛行器協(xié)同制導(dǎo)問(wèn)題的解決提供了一種有效的技術(shù)手段。

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作者簡(jiǎn)介

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