諾維科夫：莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派的中流砥柱

謝爾蓋·彼得羅維奇·諾維科夫（СергейПетрович Новиков）是俄羅斯著名數(shù)學(xué)家，曾獲數(shù)學(xué)界最高獎(jiǎng)菲爾茲獎(jiǎng)、沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。他早期主要研究興趣是拓?fù)鋵W(xué)，后將注意力轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)物理學(xué)。他對(duì)于莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)派的復(fù)興與發(fā)展起到了至關(guān)重要的作用，是莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派的中流砥柱。

諾維科夫簡(jiǎn)介

193 8年3月2 0日，諾維科夫出生于蘇聯(lián)的高爾基市（現(xiàn)為俄羅斯的下諾夫哥羅德市，因著名文豪高爾基出生于此，故1 9 32—19 90年間被稱(chēng)為高爾基市）。

其父彼得·謝爾蓋維奇·諾維科夫（П. С.Новиков）是一位數(shù)學(xué)家，在數(shù)理邏輯、集合論方面都做出了重要貢獻(xiàn)。其母柳德米拉·弗謝沃洛多夫娜·克爾德什（Л. В. Келдыш）也是一位數(shù)學(xué)家，是幾何拓?fù)浜图险摲矫娴慕艹鰧?zhuān)家[1]。諾維科夫的舅舅姆斯季斯拉夫·弗謝沃洛多維奇·克爾德什（М.В. Келдыш）是蘇聯(lián)杰出的數(shù)學(xué)家和工程師，對(duì)復(fù)變函數(shù)理論、微分方程和空氣動(dòng)力學(xué)的應(yīng)用做出了重大貢獻(xiàn)，被譽(yù)為蘇聯(lián)“航天學(xué)的首席理論家”，是蘇聯(lián)太空計(jì)劃工作的領(lǐng)導(dǎo)人之一[2]。

諾維科夫的哥哥列昂尼德·韋尼阿米諾維奇·克爾德什（Л. В. Келдыш）是國(guó)際知名的固體物理學(xué)和凝聚態(tài)物理學(xué)理論專(zhuān)家。他的另一個(gè)哥哥安德烈·諾維科夫（A. Новиков）是代數(shù)數(shù)論領(lǐng)域的專(zhuān)家，但不幸早夭。他的兩個(gè)妹妹則從事數(shù)學(xué)以外的其他工作。

可以想見(jiàn)，諾維科夫在一個(gè)數(shù)學(xué)氛圍濃厚的家庭環(huán)境中長(zhǎng)大，從小就在他父親的學(xué)生李雅普諾夫（А. А. Ляпунов）組織的兒童科學(xué)學(xué)會(huì)學(xué)習(xí)科學(xué)知識(shí)。1945—1955年，他在莫斯科第330中學(xué)接受教育，開(kāi)始學(xué)習(xí)英語(yǔ)和拉丁語(yǔ)，同時(shí)他還一直在家學(xué)習(xí)德語(yǔ)。

諾維科夫在數(shù)學(xué)方面具有很高的天賦，13—14歲時(shí)就參加了數(shù)學(xué)奧林匹克競(jìng)賽并取得了卓越的成績(jī)。盡管如此他也不確定自己是否要從事數(shù)學(xué)研究，因?yàn)樵谒磥?lái)家中已經(jīng)有了許多數(shù)學(xué)家。直至17歲諾維科夫才決定從事數(shù)學(xué)研究，并于1955年考入莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)與力學(xué)系。本科期間，諾維科夫并沒(méi)有跟隨當(dāng)時(shí)莫斯科大學(xué)研究實(shí)變函數(shù)論的熱潮，而是選擇當(dāng)時(shí)國(guó)際上熱門(mén)的拓?fù)鋵W(xué)，此后在老師波斯尼科夫（М. М. Постников）指導(dǎo)下掌握了大量現(xiàn)代拓?fù)渌枷搿?960年諾維科夫順利獲得學(xué)士學(xué)位，同年考入斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所成為一名研究生，并于1964年獲副博士學(xué)位。

1965年，諾維科夫因?yàn)樽C明了微分流形有理龐特里亞金示性類(lèi)的拓?fù)洳蛔冃远暣笤耄@理學(xué)博士學(xué)位。隨后他在莫斯科大學(xué)微分幾何系任教，同年被選為蘇聯(lián)科學(xué)院通訊院士。

1968年，蘇聯(lián)著名數(shù)理邏輯專(zhuān)家亞歷山大·謝爾蓋耶維奇·葉賽寧-沃爾平（А. С. Есéнин-Вóльпин）因政治問(wèn)題在未經(jīng)親屬知情和同意的情況下，被強(qiáng)行安置在精神病院。這一舉動(dòng)引起蘇聯(lián)科學(xué)界不滿(mǎn)，包括數(shù)學(xué)家蓋爾范德（И. М. Гельфанд）、諾維科夫在內(nèi)的99名科學(xué)家聯(lián)名簽署公開(kāi)信，要求釋放葉賽寧-沃爾平。這封公開(kāi)信在英國(guó)廣播電臺(tái)和美國(guó)之聲廣播播出后，全世界的輿論壓力迫使蘇聯(lián)領(lǐng)導(dǎo)人立即釋放了葉賽寧-沃爾平，但這也激怒了當(dāng)局，為此蓋爾范德被迫辭去在莫斯科大學(xué)數(shù)學(xué)力學(xué)系的教學(xué)工作。諾維科夫也受到了影響，在1970年法國(guó)尼斯舉辦的國(guó)際數(shù)學(xué)家大會(huì)上諾維科夫被授予菲爾茲獎(jiǎng)，然而卻被禁止參加頒獎(jiǎng)典禮。

1971年，諾維科夫加入蘇聯(lián)科學(xué)院朗道理論物理研究所，將注意力轉(zhuǎn)向數(shù)學(xué)物理，緊密地同物理學(xué)家合作，為數(shù)學(xué)及理論物理之間架設(shè)橋梁。他研究的起點(diǎn)是1960年代后期發(fā)現(xiàn)非線性淺水波方程的孤立子解，諾維科夫出乎意料地把這類(lèi)可積系統(tǒng)同代數(shù)幾何學(xué)聯(lián)系起來(lái)，其后推廣到更為高階的KdV方程。他的研究對(duì)象不僅限于經(jīng)典物理學(xué)，還有量子力學(xué)及場(chǎng)論等。

諾維科夫還致力于把拓?fù)渑c代數(shù)幾何思想滲透到物理學(xué)方面，為此他系統(tǒng)學(xué)習(xí)了物理教材上的全部理論，深入研究力學(xué)與理論物理學(xué)。其間諾維科夫相繼發(fā)表了多篇文章，并參與撰寫(xiě)《現(xiàn)代幾何學(xué)——方法和應(yīng)用》系列叢書(shū)。整套書(shū)內(nèi)容包括張量分析、曲線和曲面幾何、一維和高維變分法（第1卷），微分流形的拓?fù)浜蛶缀危ǖ?卷），以及同調(diào)與上同調(diào)理論（第3卷），力求以直觀的語(yǔ)言從物理的視角闡述數(shù)學(xué)問(wèn)題。

1981年，諾維科夫被選為蘇聯(lián)科學(xué)院院士。1985—1996年擔(dān)任莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主席。1986—1990年擔(dān)任國(guó)際數(shù)學(xué)物理協(xié)會(huì)副主席。直到戈?duì)柊蛦谭驁?zhí)政時(shí)期，諾維科夫才被允許出國(guó)進(jìn)行國(guó)際學(xué)術(shù)交流。自1996年起，他一直在美國(guó)馬里蘭大學(xué)擔(dān)任教學(xué)工作，但與俄羅斯保持著密切的聯(lián)系，仍在莫斯科大學(xué)、斯捷克洛夫數(shù)學(xué)研究所、朗道理論物理研究所擔(dān)任研究職務(wù)。

諾維科夫興趣廣泛，他也是一位敏銳而博學(xué)的歷史愛(ài)好者。曾有人在希臘的克里特島目睹了一件有趣的事：一位年輕的高素質(zhì)專(zhuān)業(yè)導(dǎo)游因?yàn)橹Z維科夫在希臘歷史方面出眾的知識(shí)而感到非常尷尬[3]。

2024年6月6日，諾維科夫去世，享年86歲。

對(duì)拓?fù)鋵W(xué)的貢獻(xiàn)

1950年左右是蘇聯(lián)拓?fù)鋵W(xué)蓬勃發(fā)展的時(shí)期，特別是龐特里亞金（Л. С. Понтрягин）引進(jìn)以他名字命名的示性類(lèi)，將蘇聯(lián)的拓?fù)鋵W(xué)研究推到一個(gè)新的高度。然而1952年，龐特里亞金徹底改變了他的研究方向，開(kāi)始研究應(yīng)用數(shù)學(xué)，特別是研究微分方程和控制理論。這就導(dǎo)致蘇聯(lián)拓?fù)鋵W(xué)在龐特里亞金之后出現(xiàn)了一個(gè)較長(zhǎng)時(shí)期的中斷。偏偏在這時(shí)，法國(guó)數(shù)學(xué)家特別是塞爾（J. P. Serre）和托姆（R. Thom）以及當(dāng)時(shí)在法留學(xué)的吳文俊等人把拓?fù)鋵W(xué)推向一個(gè)新高峰。

正值大學(xué)讀書(shū)的諾維科夫看出蘇聯(lián)數(shù)學(xué)研究中的這項(xiàng)空白，開(kāi)始跟隨波斯尼科夫研究拓?fù)鋵W(xué)。通過(guò)研究亞當(dāng)斯（J. F. Adams）和托姆的作品，諾維科夫于1959年發(fā)表了第一篇文章《斯廷羅德代數(shù)的上同調(diào)》[4]，對(duì)于p>2的情況進(jìn)一步發(fā)展了亞當(dāng)斯計(jì)算穩(wěn)定同倫群的方法——“亞當(dāng)斯譜序列”，找到球面的“長(zhǎng)迭代”，并在有限域上霍普夫代數(shù)的同調(diào)中創(chuàng)造性地引入了斯廷羅德代數(shù)的類(lèi)比概念，從而完備了霍普夫代數(shù)的計(jì)算。

諾維科夫隨后將其應(yīng)用于計(jì)算定向復(fù)配邊環(huán)。1960年，諾維科夫發(fā)表在蘇聯(lián)科學(xué)院院刊上的《與托姆空間理論有關(guān)的流形拓?fù)渲械囊恍﹩?wèn)題》[5]，宣布了定向配邊環(huán)2-撓模乘法結(jié)構(gòu)的計(jì)算，此外他還將某些斯廷羅德代數(shù)上的上同調(diào)模所具有的霍普夫性質(zhì)加以形式化，稱(chēng)之為“余代數(shù)”，并利用萬(wàn)有托姆空間亞當(dāng)斯譜序列的乘法性質(zhì)，從而作為代數(shù)推導(dǎo)的一個(gè)初等推論計(jì)算出了復(fù)配邊環(huán)的結(jié)構(gòu)[6]，這使得配邊思想得到了極大的發(fā)展。

拓?fù)鋵W(xué)在1950年代進(jìn)入了一個(gè)嶄新的時(shí)期，其標(biāo)志是1956年米爾諾（J. W. Milnor）發(fā)現(xiàn)一個(gè)7維微分流形，它拓?fù)渫哂?維球面S7，但不微分同胚于帶有微分結(jié)構(gòu)的7維球面S7。隨后研究拓?fù)淞餍紊系奈⒎纸Y(jié)構(gòu)與組合結(jié)構(gòu)的存在性和唯一性、微分結(jié)構(gòu)與組合結(jié)構(gòu)間關(guān)系、拓?fù)淞餍卧诟鞣N意義下的分類(lèi)等問(wèn)題，成為當(dāng)時(shí)拓?fù)鋵W(xué)界的中心議題，包括諾維科夫在內(nèi)的許多拓?fù)鋵W(xué)家都做出了重要貢獻(xiàn)，使這一課題得到了迅速發(fā)展，人們對(duì)微分流形和分片線性流形之間的區(qū)別以及它們的分類(lèi)有了深刻的理解。

1961年，諾維科夫進(jìn)一步推廣米爾諾的做法，成功將與給定流形同倫等價(jià)的維數(shù)不小于5的單連通流形在微分同胚下加以分類(lèi)。1962年，美國(guó)數(shù)學(xué)家布勞德（W. Browder）在所有單連通復(fù)形中指出了具有閉流形的同倫型。二人最初的工作是為了解決不同的問(wèn)題，并且是完全獨(dú)立進(jìn)行的，但后來(lái)發(fā)現(xiàn)二人的方法極其相似，最終發(fā)展為現(xiàn)在所謂的諾維科夫-布勞德理論，可對(duì)給定的同倫類(lèi)進(jìn)行分類(lèi)，也可以用來(lái)對(duì)組合流形與帶邊流形進(jìn)行分類(lèi)。

1965年，諾維科夫在蘇聯(lián)科學(xué)院院刊上發(fā)表的文章《有理龐特里亞金類(lèi)的拓?fù)洳蛔冃浴?，分四個(gè)步驟使用具有自由阿貝爾基本群的非單連通緊流形及其非緊致泛覆蓋，證明了有理龐特里亞金類(lèi)是拓?fù)洳蛔兊?，也就是說(shuō)，對(duì)光滑流形與分片線性流形作純粹的連續(xù)同胚之后它們保持不變。

事實(shí)上，這得益于諾維科夫在研究連續(xù)同胚時(shí)發(fā)現(xiàn)的一種新方法，這種方法基于龐特里亞金-希策布魯赫積分在流形某些特殊的“環(huán)體”區(qū)域上做局部化，在概念上同格羅滕迪克的“平展拓?fù)洹保èale topology）相似，后者起源于1850年代末，目的是對(duì)有限特征域上的代數(shù)簇定義合適的同調(diào)理論，它是利用扎里斯基拓?fù)渲虚_(kāi)集上覆蓋的范疇來(lái)組成平展拓?fù)鋄7]。著名數(shù)學(xué)家阿蒂亞評(píng)價(jià)諾維科夫的構(gòu)造方法：“這是一個(gè)真正的神來(lái)之筆，完全是史無(wú)前例的！[8] ”

諾維科夫在證明過(guò)程中使用了具有自由阿貝爾基群的流形，同時(shí)他也研究了其他特征類(lèi)的同倫不變性。他觀察到，若基本群是非平凡的，則存在具有以下性質(zhì)的非平凡上同調(diào)類(lèi)：如果將這個(gè)類(lèi)乘以龐特里亞金-希策布魯赫多項(xiàng)式，并在整個(gè)流形上積分，那么得到的結(jié)果是同構(gòu)不變量。并初步推測(cè)一維上同調(diào)類(lèi)的乘積就具有這種性質(zhì)（諾維科夫猜想，或稱(chēng)高維符號(hào)差猜想）。1967年左右，他關(guān)于一維上同調(diào)類(lèi)乘積的猜測(cè)，被許多數(shù)學(xué)家完全證明。

諾維科夫因?qū)ξ⒎滞負(fù)鋵W(xué)配邊理論、微分流形理論、有理龐特里亞金示性類(lèi)拓?fù)洳蛔冃缘闹卮筘暙I(xiàn)，使得他于1970年被授予菲爾茲獎(jiǎng)。

在拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展史方面，諾維科夫也發(fā)表了許多總結(jié)性著作供后人參考，如《二十世紀(jì)的拓?fù)鋵W(xué)》重點(diǎn)介紹了20世紀(jì)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展，總結(jié)了托姆、米爾諾、布勞德等拓?fù)鋵W(xué)家的工作；《拓?fù)鋵W(xué)Ⅰ》和《拓?fù)鋵W(xué)Ⅱ》是拓?fù)鋵W(xué)基本教科書(shū)，也是拓?fù)鋵W(xué)的百科全書(shū)，對(duì)后續(xù)拓?fù)鋵W(xué)研究者來(lái)說(shuō)具有重要的學(xué)習(xí)價(jià)值。

對(duì)數(shù)學(xué)物理的貢獻(xiàn)

諾維科夫獲得博士學(xué)位后進(jìn)行拓?fù)鋵W(xué)研究時(shí)，他就開(kāi)始思考：純數(shù)學(xué)工作的意義何在？純數(shù)學(xué)何時(shí)何地能夠應(yīng)用？這種想法使他開(kāi)始走上從數(shù)學(xué)到自然科學(xué)的研究道路，首先開(kāi)始研究數(shù)學(xué)的相鄰領(lǐng)域——力學(xué)，然后是理論物理學(xué)[9]。1965—1970年諾維科夫通過(guò)朗道與利夫希茨（Е. М. Ли？фшиц）撰寫(xiě)的教材，系統(tǒng)地學(xué)習(xí)理論物理。1971年，諾維科夫加入朗道理論物理研究所之后，開(kāi)始致力于在現(xiàn)代數(shù)學(xué)和理論物理學(xué)的交界處做出貢獻(xiàn)。

初步接觸理論物理這一領(lǐng)域時(shí)，諾維科夫就被愛(ài)因斯坦的廣義相對(duì)論所吸引，并與學(xué)生撰寫(xiě)了一系列關(guān)于宇宙標(biāo)準(zhǔn)模型各向異性擾動(dòng)的論文，但后來(lái)他們發(fā)現(xiàn)，如果物質(zhì)處于現(xiàn)代物理學(xué)所能理解的某種狀態(tài)，在任何具有初始數(shù)據(jù)的自然統(tǒng)計(jì)環(huán)境中，膨脹宇宙的可觀測(cè)各向同性并不明確地遵循愛(ài)因斯坦經(jīng)典廣義相對(duì)論的定律。然而，現(xiàn)代天文觀測(cè)表明宇宙在非常早期的“暴脹”階段就已經(jīng)變成了各向同性。這無(wú)疑降低了致力于非各向同性宇宙學(xué)模型的工作的價(jià)值，諾維科夫不相信愛(ài)因斯坦引力的量化是有必要的，因此停止了這一領(lǐng)域的工作[10]。

較之廣義相對(duì)論，諾維科夫在數(shù)學(xué)物理方面最重要的成就來(lái)自將代數(shù)幾何方法引入完全可積系統(tǒng)的研究。在與物理學(xué)家合作期間，諾維科夫了解到孤立子理論中的重要數(shù)學(xué)思想——逆散射問(wèn)題的方法，這種方法可以用于研究KdV方程的孤立子解問(wèn)題。1974年，諾維科夫在研究KdV方程的一類(lèi)周期解和概周期解的方法時(shí)首次使用代數(shù)幾何方法，創(chuàng)立了KdV方程及其類(lèi)似問(wèn)題的代數(shù)幾何解法。

隨后諾維科夫與學(xué)生一直在發(fā)展孤立子理論，代數(shù)幾何的方法在其中得到了廣泛的應(yīng)用：1976年研究二維固定能量薛定諤算子的逆問(wèn)題；1978—1980年研究秩大于1交換算子的分類(lèi)問(wèn)題及代數(shù)曲線上全純束的變形問(wèn)題；1982—1984年通過(guò)代數(shù)幾何方法——所謂的“代數(shù)幾何泊松括號(hào)”研究可積系統(tǒng)哈密頓形式的通用方法；1986—1990年研究黎曼曲面上洛朗-傅里葉基的類(lèi)似物，以及玻色子弦的算子量子化。

諾維科夫同時(shí)還致力于將拓?fù)鋵W(xué)應(yīng)用于解決物理問(wèn)題。1982年，諾維科夫?qū)M(fèi)米表面上的動(dòng)力系統(tǒng)幾何結(jié)構(gòu)和拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)產(chǎn)生了興趣，并在討論班上進(jìn)行了多年的研究。費(fèi)米面是金屬理論中出現(xiàn)的一個(gè)與對(duì)偶格對(duì)應(yīng)的三維環(huán)面上的莫爾斯函數(shù)的水平面，這個(gè)環(huán)面被稱(chēng)為“準(zhǔn)動(dòng)量空間”。在低溫情況下靠近費(fèi)米表面的自由電子對(duì)金屬導(dǎo)電性有著重要的意義，而在磁場(chǎng)中，電子開(kāi)始沿著費(fèi)米表面運(yùn)動(dòng)，它們?cè)谕ㄓ酶采w上的運(yùn)動(dòng)軌跡看起來(lái)就像費(fèi)米面與垂直于磁場(chǎng)的平面的交點(diǎn)。如果基本群的像覆蓋了整個(gè)晶格，那么費(fèi)米表面上的動(dòng)力系統(tǒng)就會(huì)非常復(fù)雜。

1996年諾維科夫發(fā)表的《在普通金屬電導(dǎo)率的研究中觀察到拓?fù)淞孔犹匦浴分谐晒猛負(fù)涞贸鼋Y(jié)論：在一般位置的開(kāi)放式軌跡的情況下，總是存在一個(gè)與強(qiáng)磁場(chǎng)B正交的方向η，在該方向上，大B的電導(dǎo)率接近零，并且該方向位于某個(gè)積分（即由兩個(gè)倒格矢生成）平面中，該平面對(duì)于B的方向的微小變化保持不變。在強(qiáng)磁場(chǎng)B中研究具有復(fù)雜費(fèi)米表面的普通金屬單晶的電導(dǎo)率，揭示了由開(kāi)放式準(zhǔn)經(jīng)典電子軌道拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)決定的積分拓?fù)涮匦?。此外，他還幫助過(guò)其他物理學(xué)家將拓?fù)鋵W(xué)應(yīng)用于楊-米爾斯場(chǎng)理論和凝聚態(tài)物理學(xué)。

2005年，為表彰對(duì)拓?fù)鋵W(xué)和數(shù)學(xué)物理的基礎(chǔ)性和開(kāi)創(chuàng)性貢獻(xiàn)，諾維科夫被授予沃爾夫數(shù)學(xué)獎(jiǎng)。2005年5月，美國(guó)數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)評(píng)價(jià)諾維科夫：“對(duì)數(shù)學(xué)的兩個(gè)獨(dú)立領(lǐng)域做出了根本性和引人注目的貢獻(xiàn)，而他是為數(shù)不多的數(shù)學(xué)家之一，他以令人驚嘆和信服的方式，將深刻而關(guān)鍵的數(shù)學(xué)思想應(yīng)用于物理學(xué)的關(guān)鍵難題。”

諾維科夫與莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派

進(jìn)入20世紀(jì)以后，莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)派迅速發(fā)展，在函數(shù)論、拓?fù)鋵W(xué)等方面都做出了巨大的貢獻(xiàn)，這些成就在當(dāng)今世紀(jì)有著深遠(yuǎn)的影響。莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派是從函數(shù)論學(xué)派分離出來(lái)的，亞歷山德羅夫和烏雷松（П. С. Урысóн）是莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派的主要奠基人，他們?cè)缙诙紡氖潞瘮?shù)論研究，后轉(zhuǎn)向拓?fù)鋵W(xué)。烏雷松開(kāi)創(chuàng)了維數(shù)理論的研究，為發(fā)展一般拓?fù)鋵W(xué)做出了杰出貢獻(xiàn)。然而1924年8月烏雷松在法國(guó)西部布列塔尼海岸游泳時(shí)遇到暴風(fēng)，不幸去世。烏雷松去世后，作為烏雷松摯友的亞歷山德羅夫整理出版了好友的遺稿，并招賢納士共同研究拓?fù)鋵W(xué)，莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派自此有了雛形。龐特里亞金也深受亞歷山德羅夫的影響，早期一直致力于拓?fù)鋵W(xué)研究，在亞歷山德羅夫的引導(dǎo)下他19歲便發(fā)現(xiàn)了對(duì)偶性的一般規(guī)律，即龐特里亞金對(duì)偶定理，這被認(rèn)為是20世紀(jì)拓?fù)鋵W(xué)最重要的成就之一。1942年，龐特里亞金在研究格拉斯曼流形同調(diào)基的過(guò)程中，發(fā)現(xiàn)了一種新的示性類(lèi)——龐特里亞金類(lèi)。

這些研究成果使得莫斯科拓?fù)鋵W(xué)在20世紀(jì)上半葉處于世界領(lǐng)先地位之一。1935年9月，第一屆國(guó)際拓?fù)鋵W(xué)大會(huì)在莫斯科召開(kāi)，莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派的活動(dòng)更是達(dá)到了頂峰。然而到了1950年代左右卻一度出現(xiàn)了拓?fù)浠?，?dāng)時(shí)亞歷山德羅夫熱衷于點(diǎn)集拓?fù)鋵W(xué)，與世界拓?fù)鋵W(xué)發(fā)展的代數(shù)拓?fù)洌ńM合拓?fù)洌┲髁魍耆撾x，龐特里亞金則從事了最優(yōu)控制理論的研究，這致使蘇聯(lián)拓?fù)鋵W(xué)的發(fā)展每況愈下，莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派岌岌可危。

直至1950年代末，沉寂了將近十年的拓?fù)鋵W(xué)終于出現(xiàn)了扭轉(zhuǎn)的趨勢(shì)，莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派也迎來(lái)了轉(zhuǎn)機(jī)。在這個(gè)時(shí)期，諾維科夫、阿諾德（В. И？.Арнóльд）等人在拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的研究填補(bǔ)了蘇聯(lián)拓?fù)鋵W(xué)上的空缺。他們的研究成果推動(dòng)了莫斯科拓?fù)鋵W(xué)的復(fù)興，同時(shí)也使得莫斯科拓?fù)鋵W(xué)派走向了一個(gè)嶄新的階段。

1965年起，諾維科夫組織了自己的討論班，并一直堅(jiān)持至今，成為國(guó)際聞名的“諾維科夫討論班”。除了諾維科夫的討論班之外，在莫斯科的蓋爾范德討論班、阿諾德討論班、曼寧討論班等，培養(yǎng)了大批優(yōu)秀的人才，在蘇聯(lián)數(shù)學(xué)發(fā)展中發(fā)揮了重要的作用。諾維科夫的討論班早期研究主題為拓?fù)鋵W(xué)，包括研究形式群以及它們?cè)谕瑐惱碚撘约肮饣餍蔚挠邢藓途o變換群不動(dòng)點(diǎn)的研究中的應(yīng)用；多值形式群理論及其在拓?fù)?、代?shù)、分析中的應(yīng)用；來(lái)自復(fù)配邊理論的運(yùn)算代數(shù)及其眾多的拓?fù)鋺?yīng)用和內(nèi)在代數(shù)結(jié)構(gòu)等。培養(yǎng)了許多拓?fù)鋵W(xué)領(lǐng)域的專(zhuān)家，包括V. M. 布赫什塔貝爾、A. S. 米先科、I. N. 伯恩斯坦、I. A. 沃洛丁、S. M. 斯米爾諾夫、S. M.維什克和F. A. 博戈莫洛夫等。

1970—1971年，諾維科夫開(kāi)始在朗道理論物理研究所工作之后，討論班的主題逐漸轉(zhuǎn)向現(xiàn)代理論物理中的數(shù)學(xué)問(wèn)題。討論班參與者的研究興趣也逐漸出現(xiàn)了分歧，于是便組織了新的討論班，其中涉及拓?fù)浜痛鷶?shù)分支包括配邊、形式群、非單連通流形問(wèn)題，厄米特K-理論等問(wèn)題的研究。諾維科夫討論班培養(yǎng)了眾多杰出的人才，他們分布于各個(gè)領(lǐng)域，他們使用拓?fù)鋵W(xué)、黎曼幾何、代數(shù)幾何、動(dòng)力系統(tǒng)和奇異性理論等方法，在幾何和拓?fù)鋵W(xué)以及應(yīng)用數(shù)學(xué)和數(shù)學(xué)物理的各個(gè)領(lǐng)域從事國(guó)際水平的工作。

1985—1996年諾維科夫擔(dān)任莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)主席。莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)是莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)派的重要科學(xué)舞臺(tái)之一。學(xué)會(huì)的發(fā)展見(jiàn)證了蘇聯(lián)69年的風(fēng)風(fēng)雨雨。1991年蘇聯(lián)解體，對(duì)莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)乃至莫斯科整個(gè)數(shù)學(xué)界帶來(lái)了巨大沖擊，許多數(shù)學(xué)家紛紛離開(kāi)，昔日數(shù)學(xué)界的輝煌不再。此時(shí)正值諾維科夫擔(dān)任學(xué)會(huì)主席，憑借其在科學(xué)院和莫斯科大學(xué)的權(quán)威，為數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)獲得了必要的法律地位，同時(shí)加強(qiáng)了學(xué)會(huì)與斯捷克洛夫研究所的聯(lián)系。

此外，為挽救莫斯科數(shù)學(xué)學(xué)會(huì)以及整個(gè)俄羅斯數(shù)學(xué)，諾維科夫與眾多數(shù)學(xué)家包括阿諾德等共同組織創(chuàng)辦了莫斯科獨(dú)立大學(xué)。該大學(xué)加強(qiáng)了與西方俄羅斯僑民的科學(xué)合作，培養(yǎng)了許多精英學(xué)生，為對(duì)抗俄羅斯不可逆轉(zhuǎn)的“人才外流”做出了重要的貢獻(xiàn)。

[本文受?chē)?guó)家自然科學(xué)基金數(shù)學(xué)天元基金資助項(xiàng)目“19—20世紀(jì)的俄羅斯數(shù)學(xué)文化史”（12326512）資助。]

[1]Сергей Петрович Новиков （к пятидесятилетию со днярождения）.Успехи математических наук， 1988， 43（4）： 3-9.

[2]Академик Мстислав Всеволодович Келдыш （некролог）.Успехи математических наук， 1978， 33（5）： 3–5.

[3]Сергей Петрович Новиков （к шестидесятилетию со днярождения）. Успехи математических наук， 1999， 54（1）： 5-10.

[4]Новиков С П. О когомологиях алгебры Стинрода. ДокладыАкадемии наук СССР， 1959， 128（5）： 893-895.

[5]Новиков С П. О некоторых задачах топологии многообразий，связанных с теорией пространств Тома. Доклады Академиинаук СССР， 1960， 132（5）： 1031-1034.

[6]Novikov S P. 二十世紀(jì)的拓?fù)鋵W(xué)（Ⅰ）. 錢(qián)妙云， 譯.數(shù)學(xué)譯林， 2007， 26（2）： 103-114.

[7]Novikov S P. 二十世紀(jì)的拓?fù)鋵W(xué)（Ⅱ）. 李振宇， 譯.數(shù)學(xué)譯林， 2007， 26（3）： 193-202.

[8]Atiyah M F. On the work of Serge Novikov. Fields Medallists’Lectures， 1997， 5： 195-197.

[9]Новиков С П. 二十一世紀(jì)前夕的數(shù)學(xué)（Ⅱ）——二十世紀(jì)下半葉的總結(jié)：俄羅斯與西方物理-數(shù)學(xué)界的危機(jī). 袁鈞，譯.數(shù)學(xué)譯林， 2005， 24（3）： 265-272.

[10]Buchstaber M. Interview with Sergy P. Novikov. European Mathematical Society Newsletter， 2001， 42： 17-20.

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