馬希文

一個(gè)問題的解法由于有繁簡之別，思路、技巧也不同，因此解法往往不止一種。如果把這些解法加以分類整理，仔細(xì)品味，可以使我們對(duì)問題的本質(zhì)有更深的認(rèn)識(shí)，而且可以舉一反三，利于解答類似的問題。

以選擇題的18題為例。這個(gè)題目是說:設(shè)不超過1983的全體正奇數(shù)的乘積是n，n的最后三位數(shù)是__。供選擇的答案是125，625，875。

武漢紡織器材廠的劉佑仁同志提出了如下的解法:他先把n寫成

n=(1×3×5×7)×(9×11×13×15)×…×(1977×1979×1981×1983)

每個(gè)括號(hào)中的四個(gè)數(shù)的乘積是(8k十1)(8k十3)(8k+5)(8k十7)，這個(gè)數(shù)是8的倍數(shù)加1，于是他就可以斷定n被8除余1。另外，1000是8的倍數(shù)，所以n的末三位數(shù)被8除也應(yīng)該余1。于是他就檢查答案中的各數(shù)，發(fā)現(xiàn)被8除余1的只有625。想必這就是答案了。

這個(gè)方法充分利用了題目中的信息——三個(gè)答案中一定有一個(gè)是正確的。所以他不用求出答案，只用找到答案的某一個(gè)特征(被8除余1)，就足以分辨出正確的答案了。不用說，對(duì)于解答選擇題來說，這是一個(gè)高明的辦法。

其實(shí)，既使沒有這三個(gè)供選擇的答案，也不難把它求出來。因?yàn)閚是125的奇數(shù)倍，所以它的末三位數(shù)只可能是125，375，625，875。這四個(gè)數(shù)中只有625被8除余1，所以n≡625。

總之，這個(gè)辦法歸根結(jié)底是利用了(1)1000是8與125的最小公倍數(shù)，(2)8與125是互素的。由此可以證明，一個(gè)數(shù)的末三位數(shù)總可以根據(jù)它被8除的余數(shù)和被125除的余數(shù)確定出來。

四川省江北縣仙桃公社小學(xué)白時(shí)峙，大連工學(xué)院力學(xué)系研究生羅季年等同志提出的解法與此大同小異。他們先從n中抽出125來，成為m=1×3×…×123×127×…×1983，n=125m，把m象n一樣地分組，使其中出現(xiàn)一個(gè)只有三個(gè)數(shù)的括號(hào)(121×123×127)，這三個(gè)數(shù)的乘積除以8余數(shù)是5。這樣就可以知道m(xù)除以8余數(shù)也是5。所以n=125m=125(8p十5)=1000p十625≡625。

(這里“≡”表示末三位數(shù)相同)。

根據(jù)以上的討論，不難想到，如果逐個(gè)計(jì)算1×3，1×3×5，1×8×5×7，…那末乘到若干次之后(只要乘到25)，就開始出現(xiàn)625，875，375，625這樣的循環(huán)，這樣就不難求出解答來了。可能有不少讀者是這樣解題的(特別是使用計(jì)算器的讀者)，因?yàn)榇_實(shí)收到了這樣的建議。

要想使這個(gè)解法言之成理，應(yīng)該補(bǔ)充說明為什么一定會(huì)這樣循環(huán)下去。這是不成問題的，因?yàn)?/p>

625(8p+1)≡625

625(8p+3)≡875

875(8p+5)≡375

375(8p+7)≡625

北京航空學(xué)院圖書館潘洪亮同志提出的解法獨(dú)具一格。他把n分成這樣三組數(shù)的乘積:

n=(1×3×…×983)×(1001×1003×…

×1983)×(985×987×…×999)前兩個(gè)括號(hào)的乘積末位數(shù)相同，都是 100p+10q+5，所以

(1×3×…×983)×(1001×1003×…×1983)

≡(100p+10q+5)2

≡100q(q+1)+25

另一方面:

985×987×…×999

=(10000-15)×(1000-13)×…×(1000-1)

≡15×13×…×1≡025

可見n≡25〔100q(q+1)+25〕

≡2500q(q+1)+625

這里，q與(q+1)一定有一個(gè)是偶數(shù)，所以2500q(q+1)一定是5000的倍數(shù)，因此n≡625。這個(gè)解法在想象力和技巧兩方面都令人嘆觀止矣，可說是以上各種解法之冠了。