【按】“估算”應(yīng)該算是數(shù)學(xué)新課程里出現(xiàn)的一個嶄新的內(nèi)容。由此，教師的“陌生感”不言而喻。六七年來，估算教學(xué)出現(xiàn)了不少問題。例如，學(xué)生一看到“大約”就估算；更習(xí)慣于精算而不是估算；教師不知該如何評價估算結(jié)果的優(yōu)劣，等等。這些問題甚至讓人懷疑，是否有必要引入這樣一個內(nèi)容？學(xué)生學(xué)習(xí)估算的價值到底在哪里？

本期刊登兩篇文章，一篇探討估算教學(xué)中存在的突出問題；另一篇探討教師在估算方面本體性知識的缺失，希望引起讀者的關(guān)注。

一、問題的提出。

【案例1】“尷尬”的估算

背景：學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算基礎(chǔ)，在具體情境中讓學(xué)生用估算解決問題時，出現(xiàn)了以下兩種情況。

情境一：

某校期末考試卷上有這樣一道估算題：

每個足球78元，要買2個足球，請你估計150元夠嗎？

閱卷時發(fā)現(xiàn)，學(xué)生幾乎全是用精算算出結(jié)果的，即78×2=156（元），156﹥150，所以不夠。

學(xué)生這樣解答算不算對？給不給分？

對此，教師的意見不一，有人認(rèn)為，雖然學(xué)生采用了精確計算的方法，只要結(jié)果是正確的，就應(yīng)該給予肯定；也有人認(rèn)為，學(xué)生沒有認(rèn)真審題，不能給分。

情境二：

（1）課上通過一個實際問題引入估算。

（2）教師抽象地談在一個算式中，每個數(shù)可以怎么進行估計。

———“388”可以怎么估？

（380，390，400，300）

———在388+120，388+110中，你打算分別怎樣估“388”才能做到不僅計算速度快，而且與實際結(jié)果相差最??？

生1：388+110中，388估成390，因為10+90=100，結(jié)果湊成整百。

師：用這個方法計算的結(jié)果是不是最接近實際結(jié)果呢？

生1：是，因為390離388最近。

生2：用四舍五入法。

（教師再次強調(diào)題目要求：又快又與實際結(jié)果相差最小。）

生3：388+120，388估成380最方便，因為相加為整百數(shù)。

師：用這種方法計算的結(jié)果不是離實際結(jié)果最近。388可以估成390。

（3）最后解決一個實際問題：一班學(xué)生238人，二班學(xué)生158人，399個座位夠嗎？

學(xué)生分6個小組進行討論后，有5個小組用了前面所強調(diào)的“不僅計算速度快，而且與實際結(jié)果相差最小”的思路，將238估計為240，158估計為160，240+160=400，所以399個座位不夠；有1個小組進行了精確計算，發(fā)現(xiàn)399個座位夠。面對學(xué)生不同的答案，教師說道：“確實，有些問題是不能用估算解決的，必須進行精確計算?！?/p>

學(xué)生在上完課后，對教師說道：“好像只有在您的課堂中才用到估算?！苯處熛萑肓藢擂沃小?/p>

對此，部分教師認(rèn)為：（1）教師面向全體強調(diào)“好”的估算標(biāo)準(zhǔn)，這拔高要求了。（2）習(xí)題的設(shè)計欠妥，學(xué)生感受不到估算的價值。

由以上案例，可以引出以下幾個問題：

（1）在實際教學(xué)中，學(xué)生常常習(xí)慣于精確計算，而不愿意進行估算，學(xué)生為什么會缺乏估算意識？

（2）估算的價值體現(xiàn)在哪些方面？如何培養(yǎng)學(xué)生的估算意識？

（3）在情境二中，教師一直強調(diào)“好”的估算標(biāo)準(zhǔn)是“不僅計算速度快，而且與實際結(jié)果相差最小”，這個標(biāo)準(zhǔn)是否合理？估算是否有“統(tǒng)一”標(biāo)準(zhǔn)？

下面，我們就來討論這幾個問題。

二、估算到底有什么價值？

估算到底有什么價值？這也是許多教師在教學(xué)當(dāng)中不斷遭遇的困惑。如果教師都不能深刻地體會到，那么可想而知教學(xué)如何能到位。在此我們做一個簡單的描述。

1.估算在日常生活中有著廣泛的應(yīng)用。

估算是對運算過程和運算結(jié)果進行粗略估計的一種能力。在現(xiàn)實生活中，很多事實際上不可能也不需要都進行準(zhǔn)確計算。曾經(jīng)有一個學(xué)者做過一個統(tǒng)計，將一個人在日常生活當(dāng)中精確計算的機會和粗略估計的機會進行比較發(fā)現(xiàn)，后者多得多。例如，我們每個家庭都要計劃收入和支出，這就需要估計；一個商場，它的營業(yè)額是多少，它的利潤如何，要進行大致的預(yù)測，這也是估計；再比如，現(xiàn)在大城市流動人口很多，到底流動人口是多少，我們在做統(tǒng)計時也要做一些估計，一般來講尾數(shù)就省略不計了。由此可見，生活中離不開估算。因此，估算作為數(shù)學(xué)計算教學(xué)方面的一個新內(nèi)容提出來，是有道理的。

2.估算為判斷計算器、口算和筆算結(jié)果是否合理提供了依據(jù)。

估算為判斷計算器計算得是否準(zhǔn)確，包括孩子們口算、筆算的結(jié)果是否合理，提供了重要的依據(jù)。小學(xué)生開始使用計算器，算出來的結(jié)果一般都是準(zhǔn)確的，但有時候由于操作失誤也可能會出現(xiàn)問題，如果學(xué)生有了估算的意識和能力，就能很快發(fā)現(xiàn)計算器計算的結(jié)果其取值范圍是否合理。過去我們要用加減法的互逆關(guān)系和乘除法的互逆關(guān)系來驗算，現(xiàn)在用估算的方法就可以解決了，這也是估算的重要應(yīng)用。

3.估算有利于人們事先把握運算結(jié)果的范圍，是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的重要途徑。

《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗稿）》在發(fā)展學(xué)生的數(shù)感方面明確指出：能估計運算的結(jié)果，并對結(jié)果的合理性作出解釋。估算是發(fā)展學(xué)生數(shù)感的有效途徑之一，也是保證計算正確的重要環(huán)節(jié)，尤其對提高學(xué)生的計算能力很有益處。計算前進行估算，可以估計出大致結(jié)果，為計算的準(zhǔn)確性創(chuàng)設(shè)條件；計算后進行估算，能判斷計算有無錯誤并找出錯誤的原因，及時糾正。在學(xué)生的日常口算和筆算過程中，無論是計算前估算還是計算后估算，都有一定的價值。另外，對培養(yǎng)孩子的快速判斷和推理能力也有一定的好處。

4.估算對學(xué)生后續(xù)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有重要作用。

總之，作為數(shù)學(xué)教師，我們只有更加深刻地感受估算在生活、工作中的價值，我們才能在教學(xué)中自覺地、適時、適度地培養(yǎng)學(xué)生的估算意識和估算能力。

三、估算教學(xué)該如何進行？

目前的估算教學(xué)，從學(xué)生角度來講，主要存在兩個問題：一是學(xué)生不知道什么時候用估算，往往一看見有“大約”就開始估了；二是學(xué)生不知道在什么情況下選擇什么樣的估算策略，也就是怎么能夠合理地應(yīng)用估算策略。因此，估算教學(xué)必須從以下幾個方面入手。

1.培養(yǎng)估算意識。

估算教學(xué)，不是單純地教學(xué)生記住一些估算的方法，而是培養(yǎng)學(xué)生近似的估算意識，讓學(xué)生逐步理解估算的意義。在這個過程中，應(yīng)當(dāng)多增加學(xué)生的體驗，不斷豐富學(xué)生這方面的經(jīng)驗。下面提幾條具體的教學(xué)建議。

（1）教師要把估算意識的培養(yǎng)作為重要的教學(xué)目標(biāo)。

如果把教學(xué)目標(biāo)定位在今天就教會往大估，或是見到“大約”就要估算，做一些機械的訓(xùn)練，可能會使學(xué)生形成一種錯誤的思維定式。因此，必須把教學(xué)目標(biāo)拉回到培養(yǎng)估算意識上來。這個意識的培養(yǎng)不是一兩堂課就能解決的顯性目標(biāo)，需要在每一堂估算課及與估算相關(guān)的課堂活動中進行滲透，因而需要教師予以特別的關(guān)注。

（2）設(shè)計出好問題，讓學(xué)生體會到估算的必要性。

只有選好題目、提出好問題，學(xué)生才能體會到估算的價值和必要性，他的估算意識才能不斷增強。這對教師來說，是一個挑戰(zhàn)。比如，一家三口去飯館吃飯，當(dāng)時點了一些飯菜，價錢分別是42元、56元、19元、33元、25元、9元，當(dāng)時就大致地估了估，不夠200元。服務(wù)員收費時卻報出了226元。這顯然是錯誤的。經(jīng)查證，服務(wù)員將42元記了兩次，多收了42元。正是因為有了估算的意識才避免了服務(wù)員的錯收費。這就是一個有估算價值的問題。

（3）鼓勵學(xué)生利用估算來驗證計算結(jié)果，養(yǎng)成好習(xí)慣。

現(xiàn)在學(xué)生們有時用計算器計算，有時用精確的筆算，那么結(jié)果對不對呢，特別是積的位數(shù)、商的位數(shù)是否準(zhǔn)確？可以先用估算的方法來確定一下它大致的取值范圍，幫助學(xué)生驗證計算的結(jié)果。有這樣一個例子，231加上416，有位學(xué)生計算得500多，同桌看見后，說你這肯定不對，200多加400多，肯定得600多，怎么也不能是500多。可見，讓學(xué)生感覺到估算的必要性并養(yǎng)成好的估算習(xí)慣，是很重要的。學(xué)生通過不斷地體會估算給他帶來的幫助，就能逐漸提升其估算意識。

（4）引導(dǎo)學(xué)生在問題情境的對比中選擇估算或精確計算。

作為數(shù)學(xué)教師，要想辦法搜集或者捕捉一些好的素材，在具體的問題情境當(dāng)中讓學(xué)生去感受，什么樣的問題解決需要近似值，哪些問題解決一定要算出精確值，比如像剛才一家三口出去吃飯的例子，只要估算即可。但作為飯店的收銀員就需要精確計算，估算顯然不行。

估算教學(xué)是一個新內(nèi)容，我們沒有更多的經(jīng)驗積累。雖然生活中的例子不少，甚至估算比精算用得還多，可是真正好的例子，能夠搬到課堂上來用的，就很少了。特別是適合兒童的、貼近兒童現(xiàn)實生活的例子就顯得有些匱乏。這給老師們提出了一個新的挑戰(zhàn)，需要不斷地去積累。

2.形成估算策略。

首先來看下面的課例，再結(jié)合課例來談學(xué)生估算策略的培養(yǎng)。

【案例2】估算

片段一：創(chuàng)設(shè)情境，使學(xué)生感受估算的價值。

（1）師：老師在海報上看中了幾樣商品，準(zhǔn)備去超市購買，請同學(xué)們幫我想一想：帶100元錢夠不夠？（保溫杯：9.80元，巧克力：23.60元，牛奶：16.60元，清潔劑：9.70元，面粉：14.00元，餅干：25.20元。）

（2）學(xué)生用湊整的方法進行估算。教師引導(dǎo)學(xué)生分別站在顧客和收銀員的角度來選擇不同的計算方法（估算還是精確計算）。而后，請學(xué)生回想生活中用到過估算的例子。

片段二：展示不同的估算方法。

（1）師：大家對估算都有一定的經(jīng)驗，下面我們就來試一試：

某校五年級6個班的人數(shù)統(tǒng)計如下：

你能估算出五年級大約有多少名學(xué)生嗎？

（2）反饋。

生1：把這6個數(shù)都看成30，30×6=180（人），我估算的結(jié)果大約是180人。

生2：把這6個數(shù)都看成40，40×6=240（人）。

生3：我把37、35、38和36看成40，把33和32看成30，40×4+30×2=220（人）。

生4：這6個數(shù)都在35上下，如果把這6個數(shù)平均一下大約就是35，所以可以把35看作中間數(shù)，35×6=210（人）。

（3）教師評價：同學(xué)們的估算方法都有一定的道理。老師在同學(xué)們估算的同時悄悄算出了精確結(jié)果，你們想不想看一看？

（4）公布年級實際的總?cè)藬?shù)：211人。師：看到這個結(jié)果你們有什么新的想法？

（5）學(xué)生開始將精確結(jié)果和自己的估算結(jié)果進行比較，并對自己的估算方法進行反思。

生1：我都看成30，所以就估少了，用中間數(shù)的方法最接近。

生2：我都看成40，就估高了，要比240少。

生3：都看成30，每個數(shù)都少了，所以估算結(jié)果就比實際結(jié)果少；都看成40，每個數(shù)都多了，所以估算結(jié)果就比實際結(jié)果多。用“四舍五入”和取中間數(shù)的方法要好一些。

（6）教師小結(jié)：同學(xué)們都發(fā)現(xiàn)了用“四舍五入”和取中間數(shù)的方法得到的估算結(jié)果和準(zhǔn)確結(jié)果比較接近。但都看成30或都看成40的方法也有它的價值。我們可以看到實際的結(jié)果一定比180大，同時它要比240少，也就是在180和240之間，這兩種方法就為我們劃定了準(zhǔn)確值的范圍。

這個課例中，教師給學(xué)生出示的問題情境很巧妙，使學(xué)生產(chǎn)生了估算需要。更為可貴的是，教師能在課堂教學(xué)過程中追問學(xué)生：生活當(dāng)中哪兒還用到估算？這就是對學(xué)生估算意識的培養(yǎng)，久而久之學(xué)生的估算意識就會慢慢形成。

這節(jié)課的后半段，學(xué)生用了那么多種不同的策略來進行估算，可謂精彩紛呈。特別是，教師又拋出了一個精確值，讓學(xué)生用自己估算的結(jié)果和這個精確值去比較，學(xué)生有了第二次交流和反思，在這個過程中，學(xué)生所獲得的不僅僅是一種估算的策略，同時也積累了一些估算的方法或者能力，如盡量地逼近精確值、合理地調(diào)整、把握取值范圍等。

本節(jié)課，教師是將估算意識的培養(yǎng)作為一個重要的目標(biāo)來開展教學(xué)的，所以在好幾個環(huán)節(jié)都在用心地去發(fā)展學(xué)生這種估算的意識，包括問題的引入、結(jié)合生活實際舉例等，另外教師還很注重估算策略的調(diào)整。下面就估算策略教學(xué)提出一些建議。

（1）鼓勵學(xué)生解釋估算的思路和理由。

教師應(yīng)鼓勵每個學(xué)生盡可能清晰地表述自己的思路和理由，適當(dāng)?shù)毓膭顚W(xué)生總結(jié)估算的策略，因為這確實是一個經(jīng)驗積累的過程。經(jīng)驗積累是重要的，但需要學(xué)生自己不斷反思和調(diào)整原有的認(rèn)識。凡是合理的估算策略，我們都應(yīng)當(dāng)給予肯定。

（2）讓學(xué)生在對估算和精確計算結(jié)果的比較中不斷提高估算能力。

以上面“估算”這節(jié)課為例，一般教師看到學(xué)生用多樣的方法、策略來進行估算，可能就很高興了，往往就在這兒要收尾了。而此時授課教師卻提出了一個很有價值的問題：“老師在同學(xué)們估算的同時悄悄算出了精確結(jié)果，你們想不想看一看？”又一次引起了學(xué)生熱烈的討論，當(dāng)把自己的估算結(jié)果和精確值進行比較，同時也和其他同學(xué)的估算結(jié)果進行比較的時候，學(xué)生就發(fā)現(xiàn)了有的取值范圍可能更加合理，有的估計得遠了些。怎樣使估算結(jié)果更接近準(zhǔn)確值呢，學(xué)生開始了反思，自覺地進行二次估算方法的選擇，這種經(jīng)驗的積累，對不斷提高判斷能力、選擇能力乃至估算能力會有重要的幫助。

（3）讓學(xué)生掌握具體的估算策略。

這些策略主要有：①湊整的方法。②取一個中間數(shù)。比如32，37，30，39這四個數(shù)求和，這些數(shù)都很接近35，有的比35多一點，有的比35少一點，就取一個中間數(shù)35，直接用35×4就大約地計算出了這幾個數(shù)相加的結(jié)果。③用特殊的數(shù)據(jù)特點進行估數(shù)。如126×8，就可以想到125×8，得1000。④尋找區(qū)間。也就是說尋找它的范圍，也叫做“去尾進一”，“去尾”就是只看首位，估得的結(jié)果就是它至少是多少，“進一”就是首位加一，假如說278，我們就將其看成300，首位加一，也就是它最多可能是多少，這樣得到一個范圍，就是它的區(qū)間范圍。⑤兩個數(shù)，一個數(shù)往大里估，一個數(shù)往小里估，或者一個數(shù)估，一個數(shù)不估。⑥先估后調(diào)。

四、如何評價估算？

關(guān)于估算的評價，我們先來看一個案例。

【案例3】TIMSS測試

TIMSS（為“國際數(shù)學(xué)和科學(xué)評測趨勢”的縮寫）測試是由國際教育成就評價協(xié)會發(fā)起和組織的國際教育評價研究和評測活動，也是有史以來最大、最全面、最嚴(yán)格的國際比較研究項目。曾于1995年、1999年、2003年做過3次測試。這3次測試是當(dāng)代青少年數(shù)學(xué)教育和科學(xué)教育的重要的國際比較研究，對我國的數(shù)學(xué)教育和科學(xué)教育有一定的啟發(fā)和借鑒意義。

在TIMSS測試中，也有考查學(xué)生估算能力的題目，下面是其中的一些：

1.史密斯家每星期的用水量是6000升，他家每年的用水量大約是多少升？

A.30000B.240000

C.300000D.2400000

E.3000000

2.約翰想在磁帶上錄5首歌，每首歌所用的時間如下表所示：

估計一下他錄完這5首歌需要多少時間，并解釋你的結(jié)果。

（正確答案：①將每段時間正確地按分鐘取整。如：3+3+3+3+4或3+3+3+3+3；②將每段時間正確地近似到5秒，10秒，15秒或30秒，然后相加；③沒有顯示計算過程，但有類似于“四舍五入”或“化為整分鐘”的表述；④將各段時間都按3分鐘相加，然后用15分鐘加上14秒；⑤其他合理的答案。錯誤答案：①每段時間都進行四舍五入，但其中出現(xiàn)了一些錯誤；②將13分134秒改寫成14分34秒；③其他錯誤答案。）

3.保羅用$5去購買牛奶、面包和雞蛋。當(dāng)他到達商店時，發(fā)現(xiàn)這三種食品的價格如下圖所示：

在下列哪種情況下使用估算比精算有意義？

A.當(dāng)保羅試圖確認(rèn)$5是否夠用時；

B.當(dāng)售貨員將每種食品的價錢輸入收銀機時；

C.當(dāng)保羅被告知應(yīng)付多少錢時；

D.當(dāng)售貨員數(shù)保羅所付的費用時。

這些題目究竟能給我們什么重要的啟示呢？

在估算或估測過程中，由于每個學(xué)生都有自己的想法，面對同一問題所采取的策略不盡相同，因而估算結(jié)果往往不是唯一的，是不是估算的值離精確值越接近越好呢？如何評價估算？上述第2題的評價標(biāo)準(zhǔn)是很寬松的，只要學(xué)生的想法合理就可以了，這與我們平時對于估算的評價有些不同，我們對于估算結(jié)果的接受范圍過窄。

保羅購物的題目更是讓人耳目一新。我們平常見到的估算題目模式比較單一，大多都是估一估價錢夠不夠，而這道題的問法卻是“在下列哪種情況下使用估算比精算有意義”。這樣的提法使我們很受啟發(fā)。這樣的問題可以測量出學(xué)生的估算意識和估算能力。

那么我們在實際教學(xué)中該如何對估算進行評價呢？

首先把估算分為兩種：一種是根據(jù)實際問題進行的估算；一種是脫離實際問題的情境、純算式的估算。

1.根據(jù)實際問題選擇合理的估算策略，結(jié)果合理方為正確。也就是說，學(xué)生只要能夠解決實際問題，那這個估算結(jié)果就應(yīng)該是合理的。

2.純算式的估算，結(jié)果落在區(qū)間內(nèi)方為正確；但要根據(jù)不同年齡學(xué)生的認(rèn)知水平，給予有針對性的評價。有一些題目，脫離了實際問題情境，屬于純算式的估算，在這種情況下，我們提出：不能簡單地把估算結(jié)果是否與精確值最接近作為唯一的標(biāo)準(zhǔn)，只要落在區(qū)間內(nèi)，就視為是合理的。這個區(qū)間也就是它的取值范圍。

同時，對不同年齡的學(xué)生要有不同的評價標(biāo)準(zhǔn)。如低年級學(xué)生剛剛接觸估算，它的估算結(jié)果落在區(qū)間內(nèi)，但是范圍比較大，我們覺得也是可以的。高年級的學(xué)生已經(jīng)有了一定的估算經(jīng)驗，就要引導(dǎo)他們不斷地進行反思、調(diào)整，使估算的結(jié)果能落在更合理的位置上。舉個例子來說：78×365的結(jié)果大約是多少，剛開始學(xué)習(xí)的時候，學(xué)生可能這樣估：70×300，80×300或者80×400，我們都可以視其為合理的。等有了一定的計算技能以后，老師要引導(dǎo)學(xué)生不斷地進行反思，例如，可以估成80×350，這時候的范圍就比原來要小多了。

另外，從命題的角度來看，能不能讓題目更適合學(xué)生用估算的方法來解答？這樣有利于學(xué)生估算意識的培養(yǎng)，提升估算策略的選擇能力。

3.只要估算結(jié)果落在合適的數(shù)量級中，視為合理。如上述TIMSS測試的第1題，就是在考查學(xué)生的數(shù)量級概念掌握情況。只要學(xué)生的估算結(jié)果落在合適的數(shù)量級中就可以視為合理。

總之，關(guān)于評價的問題還有待于進一步研究。但我們認(rèn)為，學(xué)生們估算的策略不同，只要是合理的，就應(yīng)當(dāng)鼓勵他們大膽地嘗試，積極解釋自己的觀點。在這個過程當(dāng)中，肯定會有很多有價值的東西涌現(xiàn)出來，教師要小心翼翼地去呵護這種探究精神，不要輕易地用一兩句話否定一種方法，而應(yīng)給他們一種寬松的氛圍，讓他們不斷地學(xué)會調(diào)整，學(xué)會反思，提升判斷能力。教師要不斷地站在學(xué)生的角度去思考、挖掘這些方法的思維價值，利用這種近似的意識來發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。

（參與本文撰寫的有：吳正憲、張秋爽；參與本文討論的有：張丹、周玉仁、許淑一、姚建、張嶺、王彥偉。本文由教育部基礎(chǔ)教育課程教材發(fā)展中心新課程遠程研修小學(xué)數(shù)學(xué)課程團隊提供的講稿改編而成。）