李鳳華

題 已知正四面體ABCD的棱長為a，求其外接球的半徑R和內(nèi)切球的半徑r.

分析 如圖1，因?yàn)檎拿骟wABCD的外接球的球心O到點(diǎn)B，C，D的距離相等，所以O(shè)在平面BCD內(nèi)的射影O₁到點(diǎn)B，C，D的距離也相等. 又因?yàn)樵谡拿骟wABCD中△BCD是正三角形，所以O(shè)₁是△BCD的中心，進(jìn)而在正四面體ABCD中,有AO₁⊥平面BCD，所以球心O在高線AO₁上;同理:球心O也在其它面的高線上. 又正四面體ABCD中各面上的高都相等，所以，由OA=OB=OC=OD,得:點(diǎn)O到正四面體各面的距離相等，所以點(diǎn)O也是正四面體ABCD的內(nèi)切球的球心. 這樣，正四面體的內(nèi)切球的球心與外接球的球心重合. 記正四面體ABCD的高為h，則 . 因此，只要求出r和R中的一個，便可求出另一個.

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