1 課例解析

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，是中學(xué)數(shù)學(xué)知識的重要組成部分.它在整個中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，處于一個知識匯合點的地位，很多知識都與數(shù)列有著密切聯(lián)系，過去學(xué)過的數(shù)、式、方程、函數(shù)、簡易邏輯等知識在這一章均得到了較為充分的應(yīng)用，尤其是加深了學(xué)生對函數(shù)概念的認識，使他們了解到不僅可以有自變量連續(xù)變化的函數(shù)，還可以有自變量離散變化的函數(shù).而學(xué)習(xí)數(shù)列又為后面學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)歸納法等內(nèi)容作了鋪墊.同時數(shù)列還有著非常廣泛的實際應(yīng)用，是反映自然規(guī)律的基本數(shù)學(xué)模型.如堆放物品總數(shù)的計算，產(chǎn)品規(guī)格設(shè)計的某些問題，儲蓄、分期付款的有關(guān)計算也要用到數(shù)列知識，從而有助于培養(yǎng)學(xué)生的建模能力，發(fā)展應(yīng)用意識.數(shù)列還是培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力的好題材，自始至終貫穿著觀察、分析、歸納、類比、遞推、運算、概括、猜想應(yīng)用等能力的培養(yǎng)，不僅如此，數(shù)列還是對學(xué)生進行計算、推理等基本訓(xùn)練、綜合訓(xùn)練的重要題材.因此學(xué)好數(shù)列有助于學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的提高.本節(jié)課是《數(shù)列》這一章的第一節(jié)，是這一章學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)，因此非常重要.

2 目標(biāo)定位

2.1 教學(xué)目標(biāo)

2.1.1 知識與技能目標(biāo)：形成并掌握數(shù)列的概念、表示法、分類；體會數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，能用函數(shù)觀點理解數(shù)列相關(guān)知識；理解數(shù)列的通項公式,會根據(jù)數(shù)列的前幾項寫出某些簡單數(shù)列的通項公式；

2.1.2 過程與方法目標(biāo)：通過對實際問題探索，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、類比、歸納、概括能力，提高學(xué)生直覺思維能力；滲透從特殊到一般、類比與轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想

2.1.3 情感與價值觀目標(biāo)：培養(yǎng)學(xué)生積極參與、大膽探索、敢于創(chuàng)新的思維品質(zhì)以及合作意識.通過讓學(xué)生體驗成功，培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心和熱愛生活的情感

2.2 教學(xué)重點、難點：

2.2.1 重點：數(shù)列的概念，數(shù)列的通項公式；

2.2.2 難點：根據(jù)數(shù)列的前幾項，寫出數(shù)列的通項公式.關(guān)鍵是學(xué)會觀察前幾項的特點，揭示數(shù)列的變化規(guī)律.

3 方法闡釋

課程標(biāo)準(zhǔn)指出數(shù)列作為一種特殊的函數(shù)，是反映自然規(guī)律的基本的數(shù)學(xué)模型.對數(shù)列的概念，要求學(xué)生通過日常生活中的實例，了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法（列表、圖像、通項公式），了解數(shù)列是一種特殊的函數(shù).

3.1 教學(xué)方法

學(xué)習(xí)是人對知識的內(nèi)化過程，只有學(xué)生通過自己去發(fā)現(xiàn)、思考、揭示數(shù)學(xué)規(guī)律，才能更有效地促進素質(zhì)和能力的提高.所以我主要采用“問題導(dǎo)引，自主探究”式教學(xué)方法：首先創(chuàng)設(shè)情景，抓住知識的切入點，學(xué)生情感和思維的興奮點；再通過探究性問題的設(shè)置來啟發(fā)學(xué)生思考，掌握知識鏈，并在思考中體會數(shù)學(xué)概念形成過程中所蘊涵的數(shù)學(xué)方法；繼而通過層層深入的例題配置，鞏固加深學(xué)生對知識的理解.

3.2 學(xué)法指導(dǎo)

高二學(xué)生已經(jīng)具有了一定的觀察、歸納能力，因此本節(jié)課以問題為載體，以學(xué)生活動為主線，有意識地留給學(xué)生適度的思考空間，讓學(xué)生在觀察中分析，在類比中發(fā)現(xiàn)，在思索中概括，在探究中獲取新知，幫助學(xué)生逐步形成積極探索、合作交流的學(xué)習(xí)方式.

4 課堂設(shè)計

4.1 創(chuàng)設(shè)情境，引入概念

上課伊始，老師借助多媒體講述故事：有一個叫杰米的人，有一天他碰到一件奇怪的事，一個叫韋伯的人對他說：我想和你訂個合同，我將在整整一個月內(nèi)每天給你十萬元，而你第一天只需給我一分錢，以后每天給我的錢是前一天的兩倍.杰米說：真的？你說話算數(shù)！合同生效了，第一天杰米支出1分錢，收入10萬元；第二天，杰米支出2分錢，收入10萬元；第三天，杰米支出4分錢，收入10萬元，到了第十天，杰米共支出10元2角3分，收入100萬元，到了第二十天，杰米共支出1048575元，收入200萬元，杰米想要是合同定兩個月、三個月該多好?。】蓮牡?1天開始，情況發(fā)生了變化：第21天杰米支出1萬多，收入10萬元. 到第28天，杰米支出134萬多，收入10萬元，結(jié)果杰米在31天得到310萬元的同時，共付給韋伯2147483647分，也就是2000多萬元，杰米破產(chǎn)了！

為什么杰米會破產(chǎn)？很顯然的原因：沒有學(xué)好數(shù)學(xué)，尤其沒有學(xué)好我們即將學(xué)習(xí)的在實際生活中有著廣泛應(yīng)用的這一章——《數(shù)列》

(通過多媒體動態(tài)演示故事，使學(xué)生注意力迅速集中到所學(xué)內(nèi)容上來，并設(shè)置懸念，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)列的愿望)

4.2 觀察歸納，形成概念

教師提出問題1：什么是數(shù)列？

①100 000，100 000，100 000，100 000，...,10 000

②1，2，4，8，...230

為了方便學(xué)生的理解，再借助多媒體進行幾項活動：

切一刀可將一個比薩餅分成2部分；切兩刀最多可將比薩餅分成4部分；切三刀最多可將比薩餅分成7部分；… 繼續(xù)切下去，比薩餅最多被分成的部分可得到一列數(shù)

③2，4，7，11，…

④從1984年到2004年我國體育健兒參加6次奧運會獲得的金牌數(shù)：15，5，16，16，28，32.

⑤場地上堆放了一批鋼管，從上往下數(shù)有4，5，6，7，8，9，10

⑥場地上堆放了一批鋼管，從下往上數(shù)有10，9，8，7，6，5，4.

⑦寫出π精確到1，0.1，0.01，0.001,…的不足近似值排成一列數(shù)：3，3.1，3.14，3.141，…

（培養(yǎng)學(xué)生觀察、思考的能力.借助多媒體增強學(xué)生感性認識.）

教師提出：以上7列數(shù)有些什么特征？學(xué)生會很快發(fā)現(xiàn)：有一定的規(guī)律.緊接著教師提出：是有一定規(guī)律，這些規(guī)律具體的應(yīng)該怎么說？引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)：次序！

請學(xué)生完整說出數(shù)列定義：按照一定的次序排列起來的一列數(shù)叫數(shù)列.

再讓學(xué)生每一個人舉出一個數(shù)列的例子，寫在草稿紙上.而后教師指出：為研究方便，我們把數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項，各項依次叫做第1項（首項），第2項，第3項，…（總之，這一項排在數(shù)列中第幾位就叫做數(shù)列的第幾項）

再讓學(xué)生每一個人舉出一個數(shù)列的例子，寫在草稿紙上，同桌交流.（概念是邏輯分析的對象，具有豐富意義和內(nèi)涵，同時又具有直觀生動的背景，因此概念課應(yīng)讓學(xué)生從概念的原型或?qū)嵗霭l(fā)，經(jīng)歷概念的抽象過程，領(lǐng)悟直觀和嚴謹?shù)年P(guān)系.讓學(xué)生的學(xué)習(xí)由感性升華到理性.）

4.3 問題導(dǎo)引，深化概念

問題2： 數(shù)列⑤和⑥是否為同一個數(shù)列？

在問題2的解決過程中，強調(diào)了“次序”，即只有項和次序完全相同的數(shù)列才是同一數(shù)列.讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)：數(shù)列和數(shù)集的不同：數(shù)列中的數(shù)有序，而數(shù)集中的數(shù)無序；數(shù)列中的數(shù)可以相同，而集合中的數(shù)具備互異性.

（在形成概念時，也許會有學(xué)生認為數(shù)列是有一定規(guī)律的數(shù)的集合，通過問題2的分析，加深對概念理解，為下面學(xué)習(xí)排除障礙.）

數(shù)列的一般形式可寫成：a1,a2,a3,…,a璶,…其中a璶是數(shù)列中的第n項，叫做數(shù)列的通項，我們常把一般形式的數(shù)列記作{a璶}.讓學(xué)生思考討論下面兩個問題：

問題3：a璶與{a璶}一樣嗎？

問題4：數(shù)列的項與序號之間有無關(guān)系？這說明了什么？

學(xué)生分組交流，推選一人匯報成果，其他人補充：

由于n是任意正整數(shù)，a璶也代表{a璶}的任意項，具有任意性.

根據(jù)對a璶的理解，觀察數(shù)列發(fā)現(xiàn)：

每一項的序號n對應(yīng)著一個項，如數(shù)列⑤

項45678910↑↑↑↑↑↑↑序號1234567以前函數(shù)也存在著這種對應(yīng)，即序號集合到另一個數(shù)集的映射.從映射、函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看作是一個定義域為正整數(shù)集N*（或他的有限子集{1，2，3，…，n}）的函數(shù)，當(dāng)自變量從小到大依次取值時對應(yīng)的一列函數(shù)值.

（數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系是本節(jié)課的重點，在問題的導(dǎo)引下，讓學(xué)生在思考交流中領(lǐng)悟知識，突出重點，并讓學(xué)生注意到數(shù)列與函數(shù)的特殊與一般的關(guān)系.）

教師強調(diào)：用函數(shù)的觀點看數(shù)列，其內(nèi)容會更加豐富多彩.請一位學(xué)生回憶函數(shù)的研究內(nèi)容——函數(shù)的定義及性質(zhì)，而后學(xué)習(xí)了幾個特殊的函數(shù)，以及函數(shù)的應(yīng)用，

類比函數(shù)，你能說出數(shù)列的研究歷程？數(shù)列也是這樣：在掌握了數(shù)列的概念之后，我們會去研究兩個特殊數(shù)列，而后應(yīng)用所學(xué)習(xí)的數(shù)列知識解決問題.

（嘗試著讓學(xué)生運用類比，自己發(fā)現(xiàn)將要研究的內(nèi)容，提高學(xué)生的問題意識.）

問題5：類比函數(shù)的表示方法，你認為數(shù)列常見的表示方法有哪些？

讓學(xué)生思考、討論后回答：

1. 列表法（有時也稱為列舉法）：函數(shù)是兩行，數(shù)列一行即可. 前面的數(shù)列，數(shù)列的一般形式給出的都是列舉法.

2. 圖象法；

3. 解析法.

問題6：數(shù)列的圖象是什么樣子？

讓學(xué)生先在筆記本上畫出數(shù)列④⑤⑥的圖象，并在投影儀展示，讓學(xué)生觀察得出：

由于數(shù)列是定義在正整數(shù)集或它的有限子集上的函數(shù)，因此，它的圖象是相應(yīng)的曲線或直線上的橫坐標(biāo)為正整數(shù)的一群孤立的點(n,a璶).

而后再讓學(xué)生觀察三個圖象去發(fā)現(xiàn)問題，有的學(xué)生發(fā)現(xiàn)：數(shù)列有增有減，由此引出數(shù)列的分類：根據(jù)a璶+1與a璶的大小關(guān)系，我們可以把數(shù)列分為：單調(diào)遞增數(shù)列（a璶+1>a璶）、單調(diào)遞減數(shù)列（a璶+1

（自己畫圖，使學(xué)生對數(shù)列圖象迅速理解，而且所選的三個圖象恰好引出數(shù)列分類知識，使課堂前后連貫，知識過渡自然.）

數(shù)列是特殊的函數(shù)，而函數(shù)最常見的表示方法是解析法，本節(jié)課先研究解析法中的一種：如果數(shù)列的第n項a璶與n之間的關(guān)系可以用一個函數(shù)式a璶=f(n)來表示，這個公式也就是相應(yīng)的函數(shù)的解析式，我們把它叫做這個數(shù)列的通項公式.需注意的是：通項公式是解析法表示數(shù)列中的一種，下節(jié)課還要學(xué)習(xí)其他的解析法.

（通過設(shè)置問題2-6，使學(xué)生在思考、討論、交流中深化了數(shù)列概念.）

4.4 典例剖析，應(yīng)用概念

在研究函數(shù)的時候，函數(shù)的很多性質(zhì)常常是通過解析式來研究，那么數(shù)列的很多問題自然是通過通項公式來研究，也就是說通項公式在數(shù)列中有著非常重要的作用.

例1 根據(jù)下面數(shù)列{a璶}的通項公式，寫出它的前5項：

（1）a璶=nn+1;（2）a璶=(-1)琻·n.

解（1）12，23，34，45，56（2）-1，2-3，4，-5

變式 數(shù)列{a璶}，a璶=nn+1，0.96是不是數(shù)列中的項，若是，是第幾項？0.86呢？

讓學(xué)生總結(jié)例1代表的題型：已知通項公式，可求數(shù)列中的任一項，也可以判斷某一個數(shù)是否是數(shù)列中的項，是的話是第幾項？提出：數(shù)列（2）中項的符號正負相間，是誰起了作用？ 提醒學(xué)生注意(-1)琻有調(diào)節(jié)符號的功能.

（注意解題后反思，從而深化對知識的理解，促進知識結(jié)構(gòu)的不斷分解組合，使思維有一個正確可靠的基礎(chǔ)．）

已知通項公式給數(shù)列問題的求解帶來很大方便，那么反過來，如何寫出數(shù)列的一個通項公式，使其前幾項剛好是給出的數(shù)呢？

例2 寫出下列數(shù)列的一個通項公式，數(shù)列的前五項分別是下列各數(shù)：

（1）1,2,3,4,5;

（2）1,3,5,7,9;

（3）1,4,9,16,25;

（4）1,2,4,8,16;

（5）-1,1,-1,1,-1;

（6）9,99,999,9999,99999.

讓學(xué)生先做，再回答，互相補充.教師提出：你是怎么做的？反思能收獲什么？

學(xué)生紛紛回答：①通項公式a璶是項與序號n的關(guān)系式，因此要寫出通項公式我們得觀察每一項與序號的關(guān)系.教師強調(diào)：這種方法就是觀察法；②根據(jù)前幾項寫出數(shù)列的通項公式，通項公式可能不唯一；③數(shù)列的項是有限個還是無限個；④教師強調(diào)：以上是基本數(shù)列，大家一定要熟知，因為只有知道了它們，我們才能寫出較復(fù)雜的數(shù)列的通項公式，比如：

（7）-11×2,12×3,-13×4,14×5,-15×6,

變式：-12,16,-112,120，-130； -02 ,56,-1112,1920,-2930

讓學(xué)生說答案，總結(jié)方法：有時需要變形，再找項與序號的關(guān)系.項為分數(shù)時，往往觀察項的三個特征：符號特征；分子的獨立特征，分母的獨立特征，有的題還要借助分子和分母之間的關(guān)系

教師提出：已知數(shù)列的前幾項，用觀察法寫出數(shù)列的一個通項公式應(yīng)該怎樣思考？讓學(xué)生討論回答：概括一下主要有2個方面：1.要注意觀察數(shù)列中項與序號的關(guān)系；2.要注意觀察數(shù)列中項的幾大特征如：符號特征；相鄰項之間的關(guān)系；分子分母的獨立特征以及相互關(guān)系，然后在此基礎(chǔ)上化歸一下，聯(lián)想一下轉(zhuǎn)化為我們已知的，熟悉的數(shù)列，而后寫出來.

（為了使學(xué)生能熟練應(yīng)用剛學(xué)知識，達到鞏固提高的效果，設(shè)計以上兩道例題，用議一議、試一試、做一做、變式訓(xùn)練的形式，通過學(xué)生的觀察嘗試，討論研究，教師引導(dǎo)來鞏固新知識.并通過及時總結(jié)，使學(xué)生從會做一個題到會做一類題.）

4.5 歸納反思，提高認識

讓學(xué)生從知識和方法上總結(jié)一下本節(jié)課的收獲：

1、知識要點：數(shù)列的定義；數(shù)列的項；數(shù)列的通項公式；數(shù)列的三種表示方法；數(shù)列的分類.

2、數(shù)學(xué)思想：從特殊到一般以及分類、轉(zhuǎn)化的思想.

3、寫出一個通項公式的常用技巧：

（對教學(xué)內(nèi)容歸納、疏理，小結(jié)本節(jié)課滲透的數(shù)學(xué)思想方法，便于學(xué)生課后復(fù)習(xí) .使學(xué)生更深刻地理解數(shù)學(xué)思想方法在解題中的地位和應(yīng)用，并且逐漸培養(yǎng)學(xué)生的良好的個性品質(zhì).）

4.6 布置作業(yè)，延伸課堂

1.必做：課本第34頁，習(xí)題2-1A1—7題

2. 嘗試寫出本節(jié)課引例中的7個數(shù)列的通項公式，你又發(fā)現(xiàn)了什么？

3. 選作：（1）課本第31頁，練習(xí)B第3題；

（2）已知函數(shù)f(x)=x-1x,設(shè)a璶=f(n)(n∈N+)

①求證a璶<1；②數(shù)列{a璶}是遞增數(shù)列還是遞減數(shù)列？為什么？

4. 查閱有關(guān)數(shù)列的資料，制作展板.

（學(xué)生已經(jīng)初步掌握了探究數(shù)列規(guī)律的一般方法，有待進一步提高認知水平，針對學(xué)生素質(zhì)的差異設(shè)計了有層次的訓(xùn)練題，留給學(xué)生課后自主探究，這樣既使學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識，又使學(xué)有余力的學(xué)生有所提高.）

5 教有所思

本堂課的教學(xué)，在提出問題與解決問題、獨立思考與合作交流等的有機結(jié)合中，有序和諧、民主平等地展開.在教學(xué)設(shè)計中通過豐富的實例引入概念，鼓勵學(xué)生動腦、動手、動口，經(jīng)歷觀察歸納、探索交流、分析問題解決問題的過程，收獲新知和方法，提高數(shù)學(xué)素養(yǎng).教學(xué)過程中通過環(huán)環(huán)相扣、設(shè)置得當(dāng)?shù)膯栴}鏈，激活學(xué)生的思維、喚起學(xué)生的熱情、完善學(xué)生的知識結(jié)構(gòu)，使學(xué)生整堂課始終處在一種積極的學(xué)習(xí)狀態(tài)中：看得專心、聽得認真、做得投入、說得流暢、合作得愉快.

另外，本節(jié)課在指導(dǎo)學(xué)生進行反思上也做了一定工作，反思可以說是學(xué)生認知水平從低級到高級發(fā)展的一個主要環(huán)節(jié)，反思也是解決問題后自問幾個為什么，為下次解決問題獲得有用的經(jīng)驗和教訓(xùn).通過反思可以引導(dǎo)學(xué)生不斷總結(jié)經(jīng)驗教訓(xùn)，真正領(lǐng)悟到數(shù)學(xué)思想方法，從而優(yōu)化認知結(jié)構(gòu)，促使學(xué)生思維升華，由此達到提高學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)能力之目的.

本節(jié)課設(shè)計在實施過程中要避免用問題牽著學(xué)生走，而是設(shè)置情境，讓問題呼之欲出，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)問題，提出問題進而解決問題.這一點在采用“問題導(dǎo)引，自主探究”這一方式的教學(xué)中都應(yīng)注意.

作者簡介韓相河，山東省實驗中學(xué)數(shù)學(xué)高級教師，山東省特級教師，山東省首屆“齊魯名師”工程人選.中國數(shù)學(xué)奧林匹克高級教練員，全國數(shù)學(xué)競賽優(yōu)秀教練員.山東省新長征突擊手，山東省骨干教師，山東省優(yōu)秀青年知識分子，濟南專家協(xié)會會員，山東省名師研究會常務(wù)理事，山東省初等數(shù)學(xué)研究理事會常務(wù)理事，濟南市數(shù)學(xué)會理事.山東省高考閱卷省檢查員.濟南市青年技術(shù)學(xué)術(shù)帶頭人，濟南十大杰出青年，濟南市優(yōu)秀教師.先后出版著作20余本，并多次擔(dān)任主編或副主編；有三篇論文在全國或山東省獲獎，有兩篇論文在國家及刊物上發(fā)表，兩次獲得教育部"中學(xué)數(shù)學(xué)實驗教材"領(lǐng)導(dǎo)小組組織的教學(xué)優(yōu)秀獎.

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