張明文
談到幾何則離不開幾何圖形的研究,在初等幾何中,所接觸到的問題一般可以分為兩類:一類是先假設(shè)給出符合一定條件的圖形,然后研究這個(gè)圖形有哪些性質(zhì),如證明題、計(jì)算題等;另一類是預(yù)先給出一些條件,要求作出具備這些條件的圖形,這便是作圖題.
平面幾何中的所謂基本作圖,就是作圖工具習(xí)慣上限用直尺和圓規(guī)兩種,也稱尺規(guī)作圖.其中,直尺假定直而且長(zhǎng),但上面無任何刻度,圓規(guī)則假定其兩腿足夠長(zhǎng)并能開閉自如.在現(xiàn)代中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中,各種常見幾何圖形的尺規(guī)作圖是重中之重.
根據(jù)我長(zhǎng)期的初中數(shù)學(xué)教學(xué)經(jīng)驗(yàn),在正三角形、正四邊形、正五邊形、正六邊形等常見正多邊形的尺規(guī)作圖中,最難學(xué)習(xí)掌握的就是正五邊形.正五邊形與它自己的外接圓或內(nèi)切圓的聯(lián)系關(guān)系比較難找,在此,我把自己在長(zhǎng)期的教學(xué)過程中總結(jié)的幾種常用正五邊形畫法介紹給大家,以供參考.
1.已知正五邊形外接圓半徑R作正五邊形
方法1:“徑分三等份,一垂兩連弦,連接五個(gè)點(diǎn)”,是每個(gè)中學(xué)生受益匪淺的正五邊形近似畫法的口訣.“徑分三等份”是指把正五邊形的任一條外接圓直徑(一般選用豎直的一條直徑)分成相等的三等份;“一垂兩連弦”是指過任意一個(gè)三等份點(diǎn)作三等份直徑的垂線與外接圓有兩個(gè)交點(diǎn),再分別將這兩個(gè)交點(diǎn)與直徑的另一個(gè)三等份點(diǎn)連接與圓相交得到兩條弦;“連接五個(gè)點(diǎn)”是指順次連接圓上的五個(gè)交點(diǎn)就得到近似正五邊形.作圖步驟如下.
(1)作已知半徑為R的正五邊形外接圓O,再作一條豎直的直徑FD,利用尺規(guī)作圖法把直徑FD分為相等的三等份,三等份點(diǎn)分別為P、Q;(2)過Q點(diǎn)作垂直于直徑FD的弦CE,連接CP交圓O于A,連接EP交圓O于B;(3)順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn),則五邊形ABCDE為所求正五邊形.如圖1.
這種作圖方法得到的邊BC=CD=DE=AE,而AB比其它四邊略長(zhǎng),經(jīng)計(jì)算,AB所對(duì)應(yīng)的圓心角為77.885°,而BC,CD,DE,AE對(duì)應(yīng)的圓心角為70.529°,與標(biāo)準(zhǔn)的正五邊形每條邊所對(duì)應(yīng)的圓心角都為72°略有差距,所以說此種方法為近似畫法,它對(duì)于精度要求不高的作圖非常實(shí)用.
方法2:(1)作已知半徑為R的正五邊形外接圓O,并作互相垂直的直徑MN和BF;(2)平分半徑ON于P,使OP=PN;(3)以P為圓心,PB為半徑畫弧與OM交于Q,BQ即為正五邊形的邊長(zhǎng);(4)以BQ為弦長(zhǎng),在圓周上截得A、B、C、D、E各點(diǎn),順次連接這些點(diǎn),五邊形ABCDE即為所求正五邊形.如圖2.
方法3:(1)作已知半徑為R的正五邊形外接圓O,任選一半徑OA(一般選水平方向),過點(diǎn)O作OA的垂線OP交圓O于P;(2)平分半徑OP于M,使OM=MP;(3)作∠OMA的角平分線MN交OA于點(diǎn)N;(4)過N作OA的垂線NB交圓O于點(diǎn)B,AB即為正五邊形的邊長(zhǎng);(5)以AB為弦長(zhǎng),在圓周上截得C、D、E各點(diǎn),順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn),五邊形ABCDE即為所求正五邊形.如圖3.
2.已知正五邊形的邊長(zhǎng)為l作正五邊形
方法1:(1)作線段AB等于1,并分別以A、B為圓心,1為半徑畫弧與AB的中垂線交于P;(2)以P為圓心,取AB的2/3長(zhǎng)度為半徑在AB的中垂線上向外側(cè)取點(diǎn)D,使DP=2/3AB;(3)以D為圓心,已知邊長(zhǎng)AB為半徑畫弧,分別與前兩弧相交于C、E;(4)順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn),即近似作得所求正五邊形ABCDE.如圖4.
方法2:(1)作線段AB等于1,過B作AB的垂線BM,使BM=1/2AB;(2)以M為圓心,MB為半徑畫弧交AM的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F;(3)分別以A、B為圓心,AF為半徑畫弧相交于點(diǎn)D;(4)分別以A、B為圓心,AB為半徑畫弧與步驟3的圓弧相交于點(diǎn)E、C;(5)順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn),五邊形ABCDE即為所求正五邊形.如圖5.
方法3:(1)作線段AB等于1,作AB的垂直平分線MN交AB于點(diǎn)O,并且截取ON=3AO,連接NA、NB;(2)以A、B為圓心,AB為半徑作弧分別交NA、NB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E、C;(3)以E為圓心,AB為半徑作弧交MN于點(diǎn)D;(4)順次連接A、B、C、D、E各點(diǎn),則ABCDE為近似正五邊形.如圖6.