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      妙證明 巧解題

      2008-08-26 11:26:16劉曉玲
      關(guān)鍵詞:截線折線平分線

      劉曉玲

      不少同學(xué)對(duì)證明題比較頭疼,總感覺無(wú)從下手.其實(shí),證明需要嚴(yán)密的思維.只要你掌握了其中的解題技巧,問(wèn)題就會(huì)迎刃而解了.

      一、添加輔助線,構(gòu)造基本圖形

      例1 如圖1,AB∥CD,EOF是直線AB、CD間的一條折線.(1) 求證:∠O=∠BEO+∠DFO.(2) 如果將折一次改為折二次,如圖2,則∠BEO、∠O、∠P、∠PFC將滿足怎樣的關(guān)系?證明你的結(jié)論.(3)若將折線繼續(xù)折下去,折三次,折四次,…,折n次,又會(huì)得到怎樣的結(jié)論?請(qǐng)你用自己的語(yǔ)言來(lái)描述所得到的結(jié)論.

      解析:(1) 此題可以有多種解法.

      方法一:條件中存在平行線,要證明的是角之間的關(guān)系,可考慮應(yīng)用平行線的性質(zhì).要應(yīng)用平行線的性質(zhì),需構(gòu)造平行線的基本圖形:兩平行線被第三條直線所截.所以過(guò)拐點(diǎn)O構(gòu)造平行線,使折線的每一段都成為平行線間的截線. 過(guò)點(diǎn)O作OG∥AB,如圖3,由于AB∥CD,所以O(shè)G∥CD,所以∠BEO=∠EOG,∠DFO=∠GOF,所以∠O=∠EOG+∠GOF=∠BEO+∠DFO.

      方法二:連接EF,如圖4,構(gòu)造平行線間的截線,同時(shí)也構(gòu)造了三角形,從而可利用平行線的性質(zhì)及三角形內(nèi)角和定理解決問(wèn)題. 由于AB∥CD,所以∠BEF+∠EFD=180°,即∠BEO+∠OEF+∠EFO+∠DFO=180°.又因?yàn)椤螼EF+∠EFO+∠O=180°,所以∠O=∠BEO+∠DFO.

      方法三:延長(zhǎng)EO交CD于點(diǎn)G,如圖5,這樣既構(gòu)造了平行線間的截線,又構(gòu)造了三角形,還構(gòu)造了三角形的外角,可謂一舉多得,從而可利用多個(gè)性質(zhì),使解題過(guò)程更為簡(jiǎn)單.因?yàn)锳B∥CD,所以∠BEO=∠OGF.因?yàn)椤螮OF=∠OGF+∠DFO,所以∠O=∠BEO+∠DFO.

      (2) 可按(1)中的方法一添加輔助線,如圖6,過(guò)兩拐點(diǎn)O、P作AB和CD的平行線OM、PN,易證得添加的兩直線及AB、CD互相平行.由于每一對(duì)相鄰的兩平行線間的內(nèi)錯(cuò)角相等,即∠BEO=∠EOM,∠OPN=∠MOP,∠NPF=∠PFC,因此可得∠BEO+∠OPF=∠EOP+∠PFC.

      (3) 由(2)可得結(jié)論:如果兩平行線間存在一條折線,則所有同向角的和相等.

      評(píng)注:解決此類問(wèn)題的關(guān)鍵是構(gòu)造基本圖形,利用其性質(zhì)解決問(wèn)題.構(gòu)造的方法常常不唯一.

      二、尋找相等關(guān)系,列方程證明問(wèn)題

      例2 如圖7,已知△ABC的角平分線BD、CE相交于點(diǎn)O,OF⊥BC于點(diǎn)F.求證:∠BOF=∠BEC-∠A.

      解析:此題要證的是角之間的等量關(guān)系,可利用三角形內(nèi)角和定理及其推論列出方程,然后消去中間角,得到所要證的等量關(guān)系. 注意要讓涉及的中間角盡量少.本題中∠BOF與∠BEC都可用△ABC的內(nèi)角表示出來(lái), 因此可把△ABC的內(nèi)角作為中間角.

      ∵ OF⊥BC,∴ ∠OFB=90°. ∠BOF=90°-∠OBF.

      ∵ BD、CE是△ABC的角平分線,

      ∴ ∠OBF=∠ABC,∠ACE=∠ACB.∠BOF=90°-∠ABC.

      ∵ ∠BEC=∠A+∠ACE,∴ ∠BEC=∠A+∠ACB.

      ∴ ∠BEC-∠A =∠A+∠ACB=(∠A+∠ACB).

      ∴ ∠BEC-∠A=(180°-∠ABC )=90°-∠ABC.

      ∴ ∠BOF=∠BEC-∠A.

      評(píng)注:解決此類問(wèn)題,關(guān)鍵是用盡量少的中間角將結(jié)論中的角進(jìn)行轉(zhuǎn)化,然后消去多余的中間角.

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