因式分解小議

作者簡介：田載今，祖籍山西省崞縣.20世紀(jì)60年代后期至90年代初期，先后在中學(xué)、中等師范學(xué)校和高等師范院校工作二十余年，從事過中學(xué)數(shù)學(xué)、高等數(shù)學(xué)、數(shù)學(xué)教育理論等多門課程的教學(xué)工作.1993年從首都師范大學(xué)數(shù)學(xué)系調(diào)到人民教育出版社中學(xué)數(shù)學(xué)室工作，1999年任編審、課程教材研究所研究員.先后參加了多種數(shù)學(xué)教材的研究、編寫和修訂，這些教材包括《全日制普通高級中學(xué)數(shù)學(xué)教科書》、《九年義務(wù)教育初級中學(xué)數(shù)學(xué)教科書》、《中等師范學(xué)校數(shù)學(xué)教科書》.擔(dān)任《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材》副主編等，曾任《數(shù)學(xué)通報(bào)》編委、北京市數(shù)學(xué)會理事、北京市數(shù)學(xué)教育研究會理事，發(fā)表過數(shù)學(xué)教育研究方面的文章30余篇.

1． 什么是因式分解

我們知道，根據(jù)整式乘法的運(yùn)算法則，單項(xiàng)式乘多項(xiàng)式或者幾個(gè)多項(xiàng)式相乘，所得的積是一個(gè)新的多項(xiàng)式.例如：

2m2（m2+3n）=2m4+6m2n，①

（a+b）（a-b）=a2-b2.②

任何一個(gè)等式都可以概括成x=y的形式.由等式x=y自然可以得到等式y(tǒng)=x.于是，由等式①、②可以寫出

2m4+6m2n=2m2（m2+3n），③

a2-b2=（a+b）（a-b）.④

比較式子①、②和③、④，你有什么想法？

從形式上可以發(fā)現(xiàn)，①、②中“=”之前是幾個(gè)整式相乘，“=”之后是一個(gè)多項(xiàng)式；③、④則恰好相反.從這種形式上的區(qū)別可以想到，雖然兩者是從不同的方向表示同一相等關(guān)系，但前者強(qiáng)調(diào)幾個(gè)整式相乘“合成”為一個(gè)多項(xiàng)式的過程，而后者強(qiáng)調(diào)一個(gè)多項(xiàng)式“分解”為幾個(gè)整式相乘的形式的過程.

一般地，把一個(gè)多項(xiàng)式分解成幾個(gè)整式乘積的形式，叫做把這個(gè)多項(xiàng)式因式分解（或分解因式），例如式子③、④.這就是說，因式分解是對多項(xiàng)式進(jìn)行的一種式子變形，變形后的結(jié)果是整式乘積的形式.

2． 因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算嗎

由上可知，式子①、②屬于整式乘法，而式子③、④屬于因式分解.它們是相互聯(lián)系的等式，區(qū)別在于①與③、②與④中“=”前后的式子正好位置相反.

整式乘法：幾個(gè)整式相乘→一個(gè)整式.

因式分解：一個(gè)多項(xiàng)式→幾個(gè)整式相乘.

鑒于因式分解與整式乘法的上述區(qū)別與聯(lián)系，有的同學(xué)可能會問：能不能說因式分解是整式乘法的逆運(yùn)算呢？

我們先來看看運(yùn)算的含義.通常所說的代數(shù)運(yùn)算，是指由兩個(gè)（或多個(gè)）數(shù)或式子，按照一定法則，得到一個(gè)新的數(shù)或式子.整個(gè)運(yùn)算過程可以概括地寫成a?b=c的形式，其中a，b表示參加運(yùn)算的兩個(gè)元素（數(shù)或式子），?表示一種運(yùn)算，c是一個(gè)元素，它表示運(yùn)算結(jié)果.例如，整式乘法（x+y）·（x-y）=x2-y2中，整式x+y和x-y是進(jìn)行運(yùn)算的兩個(gè)元素，“·”是運(yùn)算符號，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)整式x2-y2；整式除法（x2-y2）÷（x+y）=x-y中，整式x2-y2和x+y是進(jìn)行運(yùn)算的兩個(gè)元素，“÷”是運(yùn)算符號，運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)整式x-y.這也就是說，通常代數(shù)運(yùn)算的過程具有把多個(gè)元素合成為一個(gè)元素的特征.

因式分解不是把多個(gè)元素“合成”為一個(gè)元素，而是把一個(gè)整式“分解”為多個(gè)整式之積，它不具備代數(shù)運(yùn)算的特征.所以它不屬于代數(shù)運(yùn)算的范圍，而僅是式子的一種分解變形.既然因式分解不屬于運(yùn)算，自然也就不是整式乘法的逆運(yùn)算了.與數(shù)的乘法和除法互為逆運(yùn)算一樣，整式的除法是整式乘法的逆運(yùn)算.

3． 因式分解的基本方法

進(jìn)行整式的乘法運(yùn)算時(shí)，方法是很明確的，只要按照乘法的法則逐步具體實(shí)施，就能得到作為乘積的多項(xiàng)式.把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行因式分解，從方法上說，一般要比作乘法運(yùn)算更有靈活性和多樣性.提公因式法和公式法是因式分解的兩種最基本的方法.現(xiàn)行初中數(shù)學(xué)教科書主要涉及這兩種因式分解的方法.

提公因式法和公式法本身不難掌握，但要靈活機(jī)動地運(yùn)用它們，還需要認(rèn)真思考.請看下面幾道例題.

例1把a(bǔ)4b2-a2b4因式分解.

解法1：a4b2-a2b4=a2b2（a2-b2）=a2b2（a+b）（a-b）.

解法2：a4b2-a2b4=（a2b+ab2）（a2b-ab2）=ab（a+b）ab（a-b）

=a2b2（a+b）（a-b）.

評注：解法1先用提公因式法，再用公式法；解法2先用公式法，再用提公因式法.雖然兩種解法得到同樣的結(jié)果，但是解法1更簡單.通常情況下，先考慮提公因式可以使解法簡化.

有些多項(xiàng)式不能直接使用提公因式法或公式法，這時(shí)就需要先把多項(xiàng)式適當(dāng)整理變形，然后再使用提公因式法或公式法.

例2把a(bǔ)2c+a2+2ab+b2-b2c因式分解.

解：a2c+a2+2ab+b2-b2c=（a2c-b2c）+（a2+2ab+b2）=c（a+b）（a-b）+（a+b）2=（a+b）［c（a-b）+（a+b）］=（a+b）（ac-bc+a+b）.

評注：這樣先將多項(xiàng)式的各項(xiàng)進(jìn)行分組，然后再分解因式的方法叫做分組分解法.

例3把a(bǔ)4+4b4因式分解.

解：a4+4b4=（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2=（a2+2b2）2-（2ab）2=（a2+2ab+2b2）（a2-2ab+2b2）.

評注：多項(xiàng)式a4+4b4中只有兩項(xiàng)，既不能提公因式，也不能直接用公式.但由于這兩項(xiàng)再加上4a2b2就是（a2+2b2）2，所以先對a4+4b4加、減4a2b2，再適當(dāng)分組，然后使用公式法，最終就能因式分解.上面的解法中，把a(bǔ)4+4b4變形為（a4+4a2b2+4b4）-4a2b2，形式上是由簡單變復(fù)雜了，但變化后的形式為使用公式法創(chuàng)造了條件.

從上面幾道例題可以看出：第一，提公因式法和公式法在因式分解中具有重要的基礎(chǔ)作用，它們是因式分解的最基本的方法；第二，因式分解時(shí)不都是簡單運(yùn)用基本方法就能解決問題的，有時(shí)需要靈活機(jī)動地使用基本方法，這就需要認(rèn)真分析多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，必要時(shí)還需要先對多項(xiàng)式進(jìn)行適當(dāng)?shù)氖阶幼冃?

4． 因式分解要進(jìn)行到什么程度

對于單純的因式分解題目，一般要求最終結(jié)果中每個(gè)因式都不能再繼續(xù)分解.例如，把a(bǔ)4-b4因式分解時(shí)，得到（a2+b2）（a2-b2），并未完全達(dá)到要求，還需要繼續(xù)分解到（a2+b2）（a+b）（a-b）.

在解決計(jì)算、化簡、解方程等問題的過程中，當(dāng)因式分解作為中間步驟時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體問題來決定分解到什么程度合適.

例4已知a2+b2=1，a2-b2=0.5，計(jì)算a4-b4.

解：a4-b4=（a2+b2）（a2-b2）=1×0.5= 0.5.

評注：上面解法中，因式分解只是中間步驟，只要分解到（a2+b2）（a2-b2）問題就解決了，繼續(xù)分解反而不利于解決問題.

我們知道，代數(shù)式中的字母是數(shù)的抽象表示.因此，因式分解是在某種數(shù)的范圍中進(jìn)行的.對于不同的數(shù)的范圍，對同一多項(xiàng)式的因式分解，要進(jìn)行到的程度也可能有所不同.

例5（1）在有理數(shù)范圍內(nèi)把a(bǔ)4-4因式分解；

（2）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)把a(bǔ)4-4因式分解.

解：（1）a4-4=（a2+2）（a2-2）；

（2）a4-4=（a2+2）（a2-2）=（a2+2）（a+）（a-）.

評注：初中數(shù)學(xué)教科書中，如無特別聲明，通常約定因式分解是在有理數(shù)范圍內(nèi)進(jìn)行的.

5. 因式分解有什么用

因式分解是多項(xiàng)式的分解變形.式子變形不是無意義的變來變?nèi)サ臄?shù)學(xué)游戲，而是解決數(shù)學(xué)問題的重要手段.在計(jì)算、化簡、解方程等問題中，因式分解可以發(fā)揮重要作用.

例6計(jì)算-.

分析：這是兩個(gè)分式相減，它們的分母不同，正如異分母分?jǐn)?shù)相加減一樣，這里也需要先通分.分?jǐn)?shù)的通分中，可以先分解因數(shù)，再確定最簡公分母，例如：

+=+=+=.

類似地，分式的通分中，可以先分解因式，再確定最簡公分母.

解：-=-=-====.

例7解方程x2+6x+5=0.

分析：這是一個(gè)一元二次方程.它的一邊等于0，如果能將它的另一邊分解為兩個(gè)一次式的乘積，則可知當(dāng)這兩個(gè)因式中任何一個(gè)等于0時(shí)，乘積都等于0，于是可以得出方程的解.

解：原方程可化為（x2+6x+9）-4=0，（x+3）2-22=0，分解因式，得到（x+5）（x+1）=0.所以x1=-5，x2=-1.

總之，因式分解是針對多項(xiàng)式的一種分解變形，它是解決許多數(shù)學(xué)問題的一種重要手段.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文