解答二次根式問題常見錯(cuò)誤分析

周宏文

例1（填“是”或“不是”）分?jǐn)?shù).

錯(cuò)解：是.

評(píng)析： 受分?jǐn)?shù)線的影響，誤以為 是分?jǐn)?shù).是不是分?jǐn)?shù)，不能光看形式，而要看結(jié)果.如果假設(shè)它是分?jǐn)?shù)，則它必是有理數(shù)，與它是無理數(shù)相矛盾！所以它不是分?jǐn)?shù).

正解：不是.

例2 計(jì)算： .

錯(cuò)解：原式＝ + =1 .

評(píng)析： 誤以為存在結(jié)論“ = + （a≥0，b≥0）”，其實(shí)，一般情況下“ ≠ + （a≥0，b≥0）”.

正解：原式＝ = =1 .

例3 化簡： .

錯(cuò)解：原式＝ =m+n .

評(píng)析： 解答有兩個(gè)錯(cuò)誤：一是m＋n是一個(gè)整體，必須加括號(hào)；二是并不知道m(xù)+n是正是負(fù)，因此要加絕對(duì)值.

正解：原式＝ =｜m+n｜ .

例4 把式子a 中根號(hào)外的因式適當(dāng)改變后移到根號(hào)內(nèi)，并使原式的值不變.

錯(cuò)解：原式＝= .

評(píng)析： 利用公式a= （a≥0）時(shí)，前提是a≥0.根號(hào)外的負(fù)因式（數(shù)）不能移進(jìn)根號(hào)內(nèi)，如-2≠ .因此，在將根號(hào)外的因式（數(shù)）移進(jìn)根號(hào)內(nèi)前，一定要先判斷所移因式（數(shù)）是否非負(fù).

正解：由題意可知- ≥0，得a<0，所以-a>0.

∴原式＝-（-a） =-=- =- .

例5 化簡： .

錯(cuò)解：原式＝ + = + = =2 .

評(píng)析： 在a≥0，b≥0時(shí)，有 = ? ，但一般情況下 ≠ ± .

正解：原式＝ = .

例6 化簡： .

錯(cuò)解：原式＝ = .

評(píng)析： 解答忽視了“m<0”這個(gè)隱含條件.

正解：由題意得m<0.

∴原式＝ = =- .

例7 計(jì)算： ÷ × .

錯(cuò)解：原式＝ ÷1= .

評(píng)析： 乘、除是同級(jí)運(yùn)算，應(yīng)按照從左到右的順序做，不應(yīng)先算后面的乘法.

正解：原式＝ × × = .

例8 計(jì)算： ÷2 .

錯(cuò)解：原式＝ ×==m.

評(píng)析： 這里把除法變?yōu)槌朔〞r(shí)，把2 的倒數(shù)誤認(rèn)為.

正解：原式＝ ×==2.

例9 計(jì)算： ÷（ + ）.

錯(cuò)解：原式＝ ÷ + ÷ = + .

評(píng)析： 受“乘法分配律”的影響，誤以為存在“a÷（b+c）=a÷b+a÷c”這一結(jié)論.

正解：原式＝ = =3 -2 .

例10 已知0

錯(cuò)解：原式＝（m-1）－（m＋1）＝－2.

評(píng)析： 這里忽視了“0

正解：由00.

∴原式＝｜m-1｜-｜m+1｜=1-m-（m+1）=-2m.

例11 化簡： .

錯(cuò)解：原式＝ = - .

評(píng)析： 當(dāng)x＝y(tǒng)>0時(shí)， - =0，錯(cuò)解是將原式分子分母都乘以一個(gè)可能等于0的式子，所以這種方法是錯(cuò)誤的.

正解1：（1） 當(dāng)x＝y(tǒng)時(shí)，代入原式，得原式＝0.

（2） 當(dāng)x≠y時(shí)， - ≠0，解法同錯(cuò)解.

綜合（1）（2），得原式＝ - .

正解2：顯然x，y均為非負(fù)數(shù).

∴原式＝ = - .

練習(xí)題

已知方程x2+3x+1=0的兩個(gè)根為α，β，求 + 的值.

解：由Δ=32-4×1×1=5≠0，可得α≠β.

由一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，得α+β=-3，α β=1.

∴原式＝ + = = =-3.

請(qǐng)指出解答中的錯(cuò)誤，并給出正確解答.

責(zé)任編輯/馮 琦

注：“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請(qǐng)以PDF格式閱讀原文?！?/p>