漢 玲
七年級數(shù)學(xué)上冊教科書中“有理數(shù)的乘方”一節(jié)讓我們觀察例1進行思考:
當(dāng)指數(shù)是時,負(fù)數(shù)的冪是數(shù);
當(dāng)指數(shù)是時,負(fù)數(shù)的冪是數(shù).
應(yīng)該怎么填呢?我們還是先來理解乘方的意義.
一、乘方的意義
求n個相同因數(shù)的積的運算,叫做乘方,乘方的結(jié)果叫做冪.這里,n個相同的因數(shù)a相乘即,記作an,讀作a的n次方.當(dāng)我們把an看成a的n次方的結(jié)果時,也可以讀作a的n次冪.在an中,a叫做底數(shù),表示相同的因數(shù),n叫做指數(shù),表示相同因數(shù)的個數(shù). 乘方是因數(shù)相同的乘法運算,所以是一種特殊的乘法運算,是有理數(shù)乘法中的一種特殊情況.
明白了乘方的意義,我們再回過頭來考慮負(fù)數(shù)的冪的規(guī)律. 例如,我們來確定(-3)3和(-2)4的符號,怎么確定?我們知道,(-3)3中的指數(shù)3和(-2)4中的指數(shù)4都是因數(shù)的個數(shù).這就好辦了,我們把這兩個式子都表示成積的形式,(-3)3 = (-3)×(-3)×(-3),(-2)4 = (-2) ×(-2)×(-2)×(-2).那么積的符號和負(fù)因數(shù)的個數(shù)之間又有什么關(guān)系呢?我們回想一下,有理數(shù)的乘法有一個規(guī)律:幾個不是0的數(shù)相乘,負(fù)因數(shù)的個數(shù)是偶數(shù)時,積是正數(shù);負(fù)因數(shù)的個數(shù)是奇數(shù)時,積是負(fù)數(shù).由此我們可以確定,(-3)3的符號為負(fù),而(-2)4的符號為正. 更進一步,我們可以總結(jié)出如下規(guī)律:
負(fù)數(shù)的奇次冪是負(fù)數(shù),負(fù)數(shù)的偶次冪是正數(shù);
正數(shù)的任何次冪都是正數(shù)(1的正整數(shù)次冪等于1);
0的任何正整數(shù)次冪都是0.
也許有的同學(xué)會思考:我見過(-3)3,但也見過-33,而且(-3)3 = -33 = - 27,那么它們是不是一樣的呢?下面我們就來比較一下它們的一般形式(-a)n與-an的異同.
二、(-a)n與-an的異同
1. 不同點
(1)讀法不同,(-a)n讀作“負(fù)a的n次方”, -an讀作“負(fù)的a的n次方”;
(2)底數(shù)不同,(-a)n的底數(shù)是-a,而-an的底數(shù)是a;
(3)意義不同,(-a)n表示n個-a相乘,即,而-an表示n個a的乘積的相反數(shù),即- ;
(4)若a ≠ 0,則結(jié)果可能不同.當(dāng)n為奇數(shù)時,(-a)n = -an;當(dāng)n為偶數(shù)時,(-a)n一定為正數(shù),而-an為負(fù)數(shù),(-a)n ≠ -an.
2. 相同點
當(dāng)n為奇數(shù)或a = 0,n為正整數(shù)時,(-a)n = -an(僅是運算結(jié)果相同).
當(dāng)n為偶數(shù)時,(-a)n與-an互為相反數(shù),所以底數(shù)為負(fù)數(shù)時,要用括號把整個負(fù)數(shù)(連同負(fù)號)括起來,再在其右上角寫上指數(shù).如“-3的平方”要寫成(-3)2,而不能寫成-32.與此類似,底數(shù)為分?jǐn)?shù)時,也要用括號把整個分?jǐn)?shù)括起來,如“的平方”要寫成2,而不能寫成或.
注:本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文
中學(xué)生數(shù)理化·七年級數(shù)學(xué)人教版2008年8期