從整式加減看整體思想

田道元

整體思想是指從問(wèn)題的“整體”出發(fā)，把一組數(shù)或一個(gè)代數(shù)式看成一個(gè)整體，然后去解決問(wèn)題的一種思路．運(yùn)用這種思想往往可以解決一些用常規(guī)方法不易解答的問(wèn)題．下面以整式加減運(yùn)算中的求值問(wèn)題為例，舉例說(shuō)明整體思想的運(yùn)用．

1. 整體化簡(jiǎn)求值

例1已知x=y+3，求代數(shù)式（x-y）2+（x-y）3+（x-y）2+（x-y）3+2的值.

根據(jù)式子的特點(diǎn)，將式子中的x-y看成一個(gè)整體，可使運(yùn)算簡(jiǎn)便．

解：原式=［（x-y）2+（x-y）2］+［（x-y）3+（x-y）3 ］+2

=（x-y）2+（x-y）3+2.

由x=y+3可知x-y=3，故原式=32+33+2=38．

2. 整體代入求值

例2若a2+a=0，則2a2+2a+2 008的值為．

現(xiàn)階段我們無(wú)法直接求出字母a的值，但可逆用乘法分配律將要求值的代數(shù)式變形為2（a2+a）+ 2 008，然后再整體代入求值．

解： 原式=2（a2+a）+2 008=2 × 0+2 008=2 008．

3. 整體加減求值

例3已知a-b=3，b-c=4，求（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2的值．

我們無(wú)法直接求出字母a、b、c的值，a-b，b-c的值題中均已給出，關(guān)鍵是要求出a-c的值.再觀察所給條件，（a-b）+（b-c）=a-b+b-c=a-c，正好可以得到a-c的值.

解：將a-b=3，b-c=4中等號(hào)兩邊的式子分別相加，得a-b+b-c=3+4，即a-c=7.

故（a-b）2+（b-c）2+（a-c）2=32+42+72=74．

4. 整體拆分求值

例4已知2x+xy=10，3y+2xy=6，則4x+8xy+9y=．

要想用 2x+xy =10和3y+2xy=6兩個(gè)條件解題，需要將4x+8xy+9y拆分成含有這兩個(gè)“整體”的代數(shù)式.要注意，我們應(yīng)按“整體”的倍數(shù)拆分待求值的代數(shù)式．

解：4x+8xy+9y

=（4x+2xy）+（ 6xy+9y）

=2（2x+xy）+3（ 2xy+3y）

=2 × 10+3 × 6

=38．

5. 整體轉(zhuǎn)換求值

例5已知多項(xiàng)式ax5+bx3+cx-1，當(dāng)x=2時(shí)，它的值為5．當(dāng)x=-2時(shí)，求這個(gè)多項(xiàng)式的值.

當(dāng)x=-2時(shí)，原式= -25a-23b-2c-1=-（25a+23b+2c）-1，故只要根據(jù)已知條件求出25a+23b+2c的值即可．

解：當(dāng)x=2時(shí)，原式=25a+23b+2c-1=5，可得25a+23b+2c=6.

當(dāng)x=-2時(shí)，原式=-25a-23b-2c-1=-（25a+23b+2c）-1=-7．

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