劉　頓

我們知道，垂線有這樣兩個重要的性質(zhì)：①平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直；②直線外一點和這條直線上所有點的連線中，這點到直線的距離是最短的，即垂線段最短.這兩個性質(zhì)在我們的生活中有著廣泛地應(yīng)用，現(xiàn)舉例說明.

例1 在建筑工地上，當(dāng)建筑工人把樓房的一部分墻面砌好后，如果你是檢測人員，請你設(shè)計一種檢測墻面是否合格的方案，你將如何操作呢？

分析：要回答這個問題，只要根據(jù)“平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知直線垂直”的性質(zhì)即可求解.

解：先檢驗整個墻面是否平滑，是否在同一平面內(nèi)，可用直接觀察法，然后再找墻上任意一點，用鉛垂線方法檢驗，看垂線是否緊貼墻壁，與墻壁完全重合.若達(dá)到這兩個要求，可以基本保證墻面質(zhì)量.

生活中類似本題中的問題到處可見，同學(xué)們不妨運(yùn)用所學(xué)的知識去加以解釋.

例2 如圖1，某工廠P旁邊有一條河流，在河岸AB的什么地方建泵站抽水供工廠使用，才能盡量節(jié)約鋪設(shè)的管道？請試著說出其中的理由？

分析：要解決這個問題，只要依據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì)即可求解.

解：過P作PQ⊥AB，Q為垂足，如圖2，則Q即為泵站位置，根據(jù)是垂線段最短.

本題考查垂線段性質(zhì)的應(yīng)用，題目雖然簡單，但這類題型卻經(jīng)常出現(xiàn)在各種考試卷中，同學(xué)們應(yīng)注意深刻領(lǐng)會.

例3 小剛準(zhǔn)備在C處牽牛到河邊飲水.（1）請用三角尺作出小剛可走的最短路線（不考慮其他因素）；（2）若小剛在C處牽牛到河邊飲水，并且必須到河邊D處觀察河水的水質(zhì)情況，請作出小剛行走的路線.（不寫作法，保留畫圖痕跡）

分析：對于第（1）題，根據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì)可知，只需過點C向河邊所在的直線作垂線段；第（2）題，由于C、D都是已定的點，根據(jù)兩點之間線段最短，只需連接CD即可.

解：（1）如圖3，過點C作CF⊥AB于F，垂線段CF即最短路線.

（2）如圖4，連接點C、D之間的線段即小剛行走的路線.

本題考查兩點間線段最短與垂線段最短性質(zhì)的實際應(yīng)用，要善于利用垂線段最短的性質(zhì)解決類似有關(guān)路程、線段最短問題.

例4（1）要把水渠中的水引到農(nóng)田P處（如圖5），在渠岸AB的什么地方開溝，才能使溝最短？畫出圖來，并說明根據(jù)什么道理.

（2）如果圖中的比例尺為1∶100 000，水溝需要挖多長？

分析：對于第（1）問，根據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì)可知，只需過點P向水渠所在的直線作垂線段；對于第（2）問，首先要準(zhǔn)確地測量出垂線段的長度，再利用比例尺計算.

解：（1）過P畫直線AB的垂線，垂足為O，在O點開溝，可以使溝最短.根據(jù)垂線段最短，可知線段PO是P與直線上任一點連接成的所有線段中最短的.

（2）用刻度尺測量出線段PO的長度為1.5 cm，根據(jù)圖中的比例尺可得水溝PO的實際長度為1.5 cm×100 000＝150 000 cm＝1 500 m，即水溝需挖1 500 m.

本題除了考查同學(xué)們對垂線性質(zhì)的掌握程度，還要求同學(xué)們親自動手量一量，測量時一定要注意測量的方法，不能出現(xiàn)錯誤.

例5 如圖6，一輛汽車在直線形的公路AB上由A向B行駛，M、N是分別位于AB兩側(cè)的村莊.

（1）設(shè)汽車行駛到公路AB上點P的位置時，距離村莊M最近；行駛到點Q的位置時，距離村莊N最近，請在圖中的公路上分別畫出P、Q的位置(保留畫圖痕跡).

（2）當(dāng)汽車從A出發(fā)向B行駛時，在公路AB的哪一段路上距離M、N兩村越來越近？在哪一段路上，距離村莊N越來越近，而離村莊M卻越來越遠(yuǎn)？（分別用文字表述你的結(jié)論，不必證明）

分析：根據(jù)“垂線段最短”的性質(zhì)，過M、N兩點分別作AB的垂線MP、NQ.當(dāng)汽車行駛到垂足的位置時，汽車離村莊的距離最近；離開村莊時，距離越來越遠(yuǎn).

解：（1）過點M作MP⊥AB，垂足為P，過點N作NQ⊥AB，垂足為Q，點P、Q就是要畫的兩點，如圖7.

（2）當(dāng)汽車從A向B行駛時，在AP這段路上，離兩個村莊越來越近；在PQ這段路上，離村莊M越來越遠(yuǎn)，離村莊N越來越近.

本題主要是利用垂線段的性質(zhì)來解決問題的，把實際問題“模型”化，在具體轉(zhuǎn)化時一定要依據(jù)題意，結(jié)合圖形求解.

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文