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      “平行線的識別與特征”復(fù)習(xí)點(diǎn)撥

      2008-12-23 08:33周太軍劉樂愛
      關(guān)鍵詞:內(nèi)錯角同位角平行線

      周太軍 劉樂愛

      平行線的識別與特征是幾何學(xué)的基礎(chǔ)知識,是后續(xù)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ),其地位相當(dāng)重要.為了讓同學(xué)們更好地掌握平行線的識別與特征,建議從以下兩個方面來復(fù)習(xí).

      一、掌握平行線的識別與特征

      (一)平行線的識別:

      1.平行線的主要識別方法:同位角相等,兩直線平行;內(nèi)錯角相等,兩直線平行;同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行.

      2.平行線識別的拓展:(1)利用定義;(2)如果兩條直線都與第三條直線平行,那么這兩條直線平行,即a∥b,c∥b,則a∥c;(3)在同一平面內(nèi),如果兩條直線都與第三條直線垂直,那么這兩條直線平行,即a⊥b,c⊥b,則a∥c.

      3.如果從角的關(guān)系(同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ))得到的結(jié)論是兩直線平行,那么用平行線的識別方法找平行條件.

      例1如圖1,請你添加一個關(guān)于角的條件,使得直線AB與CD平行.

      分析:要找AB與CD平行的條件,因為AB與CD被圖中的其他直線所截,分析它們與截線構(gòu)成的角的關(guān)系,找出一個符合平行的條件即可.

      解:要使AB∥CD,只需下列條件之一成立即可.(1)以AD為截線,∠D+∠BAD=180°;(2)以AC為截線,∠CAB=∠ACD;(3)以BC為截線,∠DCB+∠B=180°;(4)以CF為截線,∠DCF=∠BFC或∠DCF+∠AFC=180°;(5)以AE為截線,∠DEA=∠BAE或∠AEC+∠BAE=180°.

      評注:(1)解決此問題的關(guān)鍵是確定截線,然后找出符合平行條件的角.(2)這是一個探究題設(shè)、結(jié)果不唯一的開放性問題,解答這類問題,有利于培養(yǎng)同學(xué)們的發(fā)散思維能力.

      (二)平行線的特征:

      兩直線平行,同位角相等;兩直線平行,內(nèi)錯角相等;兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ).

      例2如圖2,AD∥BC,BD平分∠ABC,∠A∶∠ABC=2∶1,求∠ADB的度數(shù).

      解:因AD∥BC,所以∠A+∠ABC=180°.因∠A∶∠ABC=2∶1,所以∠A=2∠ABC.所以∠ABC=60°.因BD平分∠ABC,所以∠DBC=1/2∠ABC=30°.因AD∥BC,所以∠ADB=∠DBC=30°.

      評注:解題的關(guān)鍵是從復(fù)雜圖形中找出可應(yīng)用平行線的特征的基本圖形.當(dāng)以AB為截線時,∠A與∠ABC為同旁內(nèi)角;當(dāng)以DB為截線時,∠ADB與∠DBC為內(nèi)錯角.我們一定要學(xué)會識圖,正確利用平行線的特征,再結(jié)合已知條件得出結(jié)論.

      二、理解平行線的識別與特征的區(qū)別和聯(lián)系

      1.平行線的識別與特征的相同點(diǎn):(1)幾何圖形相同:都是兩直線被第三條直線所截時形成的“三線八角”;(2)兩者都以兩直線、同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角為主線,又都以平行、相等或互補(bǔ)為關(guān)鍵詞;(3)兩者都以“三線八角”內(nèi)容為基礎(chǔ),又都是“三線八角”內(nèi)容的提高.

      2.平行線的識別與特征的區(qū)別:(1)因果關(guān)系不同:識別以角(同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角)相等或互補(bǔ)為“因”,以兩直線平行為“果”,且是一“因”致一“果”.(2)幾何內(nèi)涵不同:平行線的識別闡明的是兩直線在什么條件下平行,是識別直線平行的依據(jù);平行線的特征闡明的是“三線八角”中的兩直線平行將會有怎樣的結(jié)果.(3)幾何概念的排列結(jié)構(gòu)不同:平行線的識別是由角的相等或互補(bǔ)關(guān)系推出直線的平行關(guān)系,是從角到直線的推導(dǎo)過程;平行線的特征是由直線的平行關(guān)系推導(dǎo)出角的相等或互補(bǔ)關(guān)系,是由直線到角的推導(dǎo)過程.(4)幾何特征與度量不同:平行線的識別是由角的度量關(guān)系(相等或互補(bǔ))推出直線的位置關(guān)系(平行),而平行線的特征則相反.(5)應(yīng)用不同:當(dāng)已知“三線八角”中的三類角有相等或互補(bǔ)關(guān)系時,可根據(jù)平行線的識別得出兩條直線平行的結(jié)論;當(dāng)已知兩條直線平行時,可由平行線的特征得出相關(guān)的角相等或互補(bǔ)的結(jié)論.

      3.聯(lián)系:(1)平行線的識別和特征的條件和結(jié)論是互逆的形式.(2)在同一幾何題的推理或解答中,往往既要利用平行線的識別,又要利用平行線的特征.常常是由平行線的識別得出的結(jié)論,又被當(dāng)做平行線的特征的條件利用,反之亦然.(3)同位角相等,內(nèi)錯角相等,同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行,這四者之間存在下面的推理關(guān)系.

      平行線的識別與特征的綜合應(yīng)用有如下兩種形式:(1)角與角的數(shù)量關(guān)系?圯線與線的位置關(guān)系?圯角與角的數(shù)量關(guān)系;(2)線與線的位置關(guān)系?圯角與角的數(shù)量關(guān)系?圯線與線的位置關(guān)系.同時在綜合應(yīng)用兩者時,要正確區(qū)別兩者的題設(shè)和結(jié)論,切忌混淆和亂用平行線的識別和特征.

      例3如圖3,CD⊥AB,F(xiàn)G⊥AB,∠EDC=∠GFB,求證:DE∥BC.

      分析:要證明DE∥BC,只需證DE、BC被AB截得的同位角相等或內(nèi)錯角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ);或只需證DE、BC被AC截得的同位角相等或同旁內(nèi)角互補(bǔ);或只需證DE、BC被DC截得的內(nèi)錯角相等.而由已知可知,只需證∠EDC=∠DCB即可.

      證明:因CD⊥AB,F(xiàn)G⊥AB,所以FG∥DC.所以∠GFB=∠DCB.因∠EDC=∠GFB,所以∠EDC=∠DCB.所以DE∥BC.

      評注:本題的分析思路是要證DE∥BC,只需證∠EDC=∠DCB,這叫“從已知,看未知”,如何才能得到∠EDC=∠DCB呢?只好從已知中尋找,這叫“從已知,找可知”.當(dāng)需知變成可知時,問題就解決了.這是一種分析問題和解決問題的方法,請同學(xué)們認(rèn)真領(lǐng)會并熟悉這種證題方法.本題在證明過程中既運(yùn)用了平行線的識別,又應(yīng)用了平行線的特征.

      思考題如圖4,AB∥CD,同位角∠MEB和∠MQD的平分線EF、QH有何位置關(guān)系?為什么?

      提示:要判斷EF、QH的位置關(guān)系,只要判斷EF、QH被MN截得的同位角∠MEF、∠MQH之間的數(shù)量關(guān)系即可.

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