莊億農(nóng)
平移、旋轉(zhuǎn)是進(jìn)行圖形變換的兩種基本方法,它們具有不改變圖形的形狀、大小,僅改變圖形的位置的性質(zhì).在數(shù)學(xué)解題中,利用這些變換,可以使一些看似支離破碎的條件巧妙地聯(lián)系在一起,使問題化煩為簡.現(xiàn)舉例說明.
一、平移線段
例1如圖1,在梯形ABCD中,∠B+∠C=90°,E為AD的中點(diǎn),F(xiàn)為BC的中點(diǎn).試說明EF=(BC-AD).
分析: 可以利用平移,把線段AB移至EM、線段DC移至EN.再利用平行四邊形和平行線及直角三角形性質(zhì),即可解決問題.
解:過E點(diǎn)作EM∥AB、EN∥CD分別交BC于M、N點(diǎn),則∠EMN=∠B,∠ENM=∠C,且四邊形ABME和四邊形CDEN是平行四邊形,所以AE=BM,ED=CN.而E為AD中點(diǎn),所以AE=BM=ED=CN.因?yàn)镕是BC的中點(diǎn),所以FB=FC,所以FB-BM=FC-CN,即FM=FN,即F是MN的中點(diǎn).又因?yàn)椤螧+∠C=90°,所以∠EMN+∠ENM=90°,則△EMN是直角三角形.所以EF=MN=(BC-AD).
點(diǎn)評:若條件中沒有相互平行且相等這種關(guān)系,可以利用平移構(gòu)造平行,使有關(guān)條件相對集中,便于解決問題.
二、旋轉(zhuǎn)圖形
例2如圖2,在四邊形ABCD中,AB=BC,∠ABC=∠CDA=90°,BE⊥AD于E,四邊形ABCD的面積為8,求線段DE的長.
分析:因?yàn)閳D中四邊形是不規(guī)則四邊形,所以直接求解不容易,但是題中有AB=BC,∠ABC=90°,故可考慮將△ABE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)△CBE1的位置,得四邊形BEDE1為正方形,如圖3,即可解決問題.
解:將△ABE繞點(diǎn)B按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)90°到達(dá)△CBE1,則易知四邊形BEDE1為正方形,如圖3,顯然有正方形BEDE1的面積=四邊形ABCD的面積=8,即DE2=8,所以DE=2.
點(diǎn)評:若題目條件中有相等且共點(diǎn)的對應(yīng)邊,可考慮利用旋轉(zhuǎn)把圖形中分散的條件相對集中起來,使圖形內(nèi)各條件的聯(lián)系變得更加明顯,方便我們思考問題.
注:“本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內(nèi)容請以PDF格式閱讀原文”。
中學(xué)生數(shù)理化·八年級數(shù)學(xué)華師大版2008年11期