特殊化方法與數(shù)學(xué)教學(xué)

孫玉玲 侯亞林

事物的發(fā)展,總是由簡單到復(fù)雜,由特殊到一般,由具體到抽象,人們對事物的認(rèn)識亦是如此。一般性寓于特殊性之中,特殊問題又往往比一般性的問題簡單易解,因此我們面對一個抽象或復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題,不妨先考慮其特例。由于在特殊情況下,矛盾比較集中,?？赏怀鰡栴}的關(guān)鍵,便于揭示問題的本質(zhì),而且從特殊的簡單問題探求出的解法,對解一般情況問題往往有所啟發(fā),甚至可以略加推廣修改而“照搬”過去。這就是說,特殊問題的解決往往孕育著一般問題的解法,即共性孕育在個性之中,這就是特殊化法的理論根據(jù)。美國數(shù)學(xué)家波利亞指出:“注意特殊情況的觀察,能夠?qū)е乱话阈缘臄?shù)學(xué)結(jié)果,也可啟發(fā)出一般的證明方法?！睆囊话阃讼蛱厥?是退中求進(jìn),是數(shù)學(xué)解題的一個重要的也是積極的思想方法,是目前數(shù)學(xué)中普遍采用的一種思想方法。在高等數(shù)學(xué)及科學(xué)研究中,由于問題更加抽象復(fù)雜,特殊化的作用顯得更加不容忽視。

一、 特殊化的基本思想

特殊化策略即視原問題為一般,構(gòu)造其特殊問題,通過對特殊問題的解決而獲得原問題的解決。特殊化作為劃歸策略,基本思想是很簡單的,相對于“一般”而言,“特殊”問題往往顯得簡單、直觀、和具體,容易解決,并且在特殊問題的解決過程中,常常孕育著一般問題的解決。因此,人們在對某個一般性的數(shù)學(xué)問題解決有困難時,常常會想到先解決它的特殊情況,然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)果應(yīng)用或推廣到一般問題之上,而獲得一般性問題的解決。正如波利亞所說:“特殊化是從考慮一組給定的對象集合過渡到考慮該集合的一個較小的子集,或僅僅一個對象?！币虼?特殊化常表現(xiàn)為范圍的收縮或限制,即從較大范圍的問題向較小范圍的問題過渡,或從某類問題向其某子類問題的過渡。

從形式上看,將一般性問題特殊化是不困難的,但某個一般性問題經(jīng)過不同的特殊化處理會得到多個不同的特殊化命題。顯然,較為理想化的特殊問題是其自身容易解決,且從其解決過程中又易發(fā)現(xiàn)或得到一般性問題的解法。所以,特殊化策略的關(guān)鍵是能否找到一個最佳的特殊化問題。

二、 特殊化數(shù)學(xué)思想的內(nèi)涵

凡數(shù)學(xué)問題均由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。對于選擇題,題設(shè)即是題干,結(jié)論即為選擇支。用集合的觀點

說: 題設(shè)和結(jié)論都由數(shù)學(xué)問題所涉及的對象構(gòu)成的集合及其元素間的關(guān)系構(gòu)成。特殊化思想是將數(shù)學(xué)習(xí)題的題設(shè)元素特殊化,然后根據(jù)特殊化元素尋求問題的結(jié)論,或?qū)⒔Y(jié)論中元素特殊化,然后根據(jù)特殊化元素驗證問題的結(jié)論的數(shù)學(xué)思想。對于數(shù)學(xué)選擇題,用特殊化的思想解決問題的過程是從題干或選擇支出發(fā),通過選取特殊元素,依據(jù)問題在一般情況下真則在特殊情況下亦真,反之,在特殊情況下不真則在一般情況下亦不真的原理,肯定某一選擇支或否定其余選擇支的過程。

特殊化是將所學(xué)的數(shù)學(xué)事實“退”到屬于它的特殊狀態(tài)(數(shù)量或位置關(guān)系)下進(jìn)行探索和研究,從而達(dá)到解決問題目的的一種思維方法。用它來解選擇題、填空題,有時顯得方便、快捷;用它來分析一個復(fù)雜問題,則對思路的形成往往具有很強(qiáng)的啟發(fā)性。

三、特殊化方法在數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體運用

特殊化策略是一種“退”的策略,所謂“退”,可以從復(fù)雜退到簡單,從一般退到特殊,從抽象退到具體,從空間退到平面,正如華羅庚先生所說,退到最原始而不失去重要性的地方,把簡單的、特殊的問題搞清楚了,并從這些簡單的問題的解決中,或者獲得解題思路,或者提示解題方向,或者發(fā)現(xiàn)一般問題的結(jié)論,或者得到化歸為簡單問題的途徑,從而再“進(jìn)”到一般性問題上來。

“共性存在于個性之中” 。對于在一般情況下難以解決的問題(尤其是選擇題、填空題這些不需要解題過程且答案唯一的題目),可應(yīng)用“特殊化思想”。通過取特殊值、特殊圖形等,使問題得到簡便巧妙的解決。

(一)利用特殊化方法培養(yǎng)學(xué)生思維的周密性

思維的周密性是指,在分析問題解決問題的過程中,周到而細(xì)密地考慮到問題的各種可能情況的一種思維品質(zhì)。其反面表現(xiàn)為思維不嚴(yán)謹(jǐn)、有漏洞,是學(xué)生最常見的一種思維缺陷。在教學(xué)中,教者若能恰當(dāng)利用特殊化方法(如特殊值、特例、特殊情形等),揭示學(xué)生的問題所在,可使學(xué)生有頓悟之感,從而達(dá)到培養(yǎng)學(xué)生思維的周密性的目的。

在許多數(shù)學(xué)問題中,由于抽象、概括程度較高,直接發(fā)現(xiàn)或改正這些性質(zhì)往往感到困難,這時,可以先試探它的特殊、局部情況的特性,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律和解答的方法,例如,對變量總是我們從特殊最佳入手探索,對多變量的問題,可先考慮單個或少數(shù)變量的情況;對含參量的問題,可先給參量賦值,探討不含參量的普通問題;對一般的圖形問題,可先考慮特殊圖形或圖形特殊位置的問題等等。這樣先把問題簡化,從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律后,再去解決一般性的問題。

(二)利用特殊化方法,培養(yǎng)學(xué)生思維的批判性

學(xué)生思維能力的提高,需要一個循序漸進(jìn)的過程。在這個過程中,學(xué)生對自己解答的正確性,對所提供解答(書上的或他人的)的合理性,缺乏一定的判斷能力,這時若能抓住問題中的特殊情況加以考慮,使學(xué)生認(rèn)識到解答中的錯誤或不合理,提高學(xué)生辨別是非的能力,這正是養(yǎng)學(xué)生思維批判性的有效途徑。

辯證法告訴我們:矛盾的一般性包含于特殊性之中,說通俗一點,就是事物的共性是通過個性來體現(xiàn)的。這個哲學(xué)原理告訴我們,“特殊化”是一種重要的解題策略,它不僅能幫助我們突破許多數(shù)學(xué)題解答過程中的難點,從而迅速構(gòu)建解題思路,而且還會使題解變得更加簡潔流暢。

(三)利用特殊化方法培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性

思維的廣闊性。就是善于從不同角度、不同方面去思考問題,尋求變異,尋求解答的一種思維品質(zhì)。利用特殊化方法尋求一題多解、一題多變,對培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性無疑是十分有益的。

所謂特殊化是從對象的一個約定集合,轉(zhuǎn)而考慮含于這個集合內(nèi)的較小集合的思維方法,是數(shù)學(xué)思維中重要的實驗手段,為發(fā)現(xiàn)一般性問題的解法﹑結(jié)論乃至提示新信息等方面起重要作用,因而在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中有廣泛的應(yīng)用。歷來都受數(shù)學(xué)家們的重視。華羅庚教授說:“這是一般的研究方法,先足夠地退到我們?nèi)菀卓辞鍐栴}的地方去,看透了,鉆深了,然后再上去?！?/p>

當(dāng)我們遇到抽象程度高的,一時難以想象的問題時,就應(yīng)對其某些特殊情況進(jìn)行考察,以打開我們的思路,拓寬視野,這有助于我們從特殊性認(rèn)識普遍性,進(jìn)而發(fā)現(xiàn)解決問題的方法,推進(jìn)問題的解決。由于它是一種試探手段,因此,在解決特殊化問題時,眼光應(yīng)一直注視于一般有用的東西上。

(四)利用特殊化方法培養(yǎng)學(xué)生思維的敏銳性

思維的敏銳性,就是指在分析問題解決問題的過程中,探求研究問題的實質(zhì)以及問題之間內(nèi)在聯(lián)系的一種思維品質(zhì)。在許多數(shù)學(xué)問題中,抓住問題的本質(zhì),利用特殊化方法探路,往往有助于我們打開思路。

特殊性化伯為休歸策略,基本思想是委簡單的:相對于“一般”而言,“特殊”問題往往顯得簡單、直觀和具體,容易解決。并且在特殊問題的解決過程中,常常蘊(yùn)藏著一般問題的解決。因此,人們在對某個一般性的數(shù)學(xué)問題解決有困難時,常常會想到先解決它的特殊情況,然后再把解決特殊情況的方法或結(jié)果應(yīng)用或推廣到一般問題之上,而獲得一般問題的解決。

(五)利用特殊化方法培養(yǎng)學(xué)生思維的獨創(chuàng)性

思維的獨創(chuàng)性是指主動地、獨創(chuàng)地發(fā)現(xiàn)新事物、提出新見解、解決新問題的一種思維品質(zhì)。它是思維的高級狀態(tài),是以上各種思維品質(zhì)的相互滲透,相互影響的產(chǎn)物。在教學(xué)中要發(fā)揚民主,提倡多思多想,為學(xué)生創(chuàng)造性思維提供條件。

當(dāng)問題比較難以入手解決時,應(yīng)先找出使結(jié)論顯然成立的情形或簡單的情形,由此獲得啟示或為一般情形提供某種對比然后再從啟示或?qū)Ρ戎腥グl(fā)現(xiàn)兩種情形之間的本質(zhì)差別,對癥下藥,求得問題的解答。因此,對特殊情形或簡單情形的考察、分析、討論應(yīng)立足于是否可以將答案應(yīng)用推廣到一般情形上去或是否可以由此得到不依賴于特殊情形或簡單情形的一般方法。

數(shù)學(xué)中的特殊化具有明確的目的性。首先是給抽象命題以內(nèi)容和意義,以便更好地了解所面臨的問題、發(fā)現(xiàn)可能的解題途徑其次則是借以發(fā)現(xiàn)一般性的結(jié)論何以是真的,或何以是假的。所以,在特殊化時,不應(yīng)對任意的特例去進(jìn)行考察,而應(yīng)注意到我們較為熟悉的、較有把握的對象.常由隨意的特殊化去了解問題,由系統(tǒng)的特殊化為一般提供基礎(chǔ),由巧妙的特殊化去對一般性的結(jié)論進(jìn)行檢驗。

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(作者簡介:孫玉玲(1987.8—)女,漢族,河南省駐馬店市人,黃淮學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)系數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)。)