韋波富

所謂數(shù)學模型，是指針對或參照某種事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，采用形式化的數(shù)學語言，概括地或近似地表述出來的一種數(shù)學結(jié)構(gòu)。凡一切數(shù)學概念、數(shù)學理論體系、各種數(shù)學公式、各種方程以及由公式系列構(gòu)成的算法系統(tǒng)等等，都可以稱之為數(shù)學模型。如自然數(shù)“1”是“1個人”、“一件玩具”等抽象的結(jié)果，是反映這些事物共性的一個數(shù)學模型；方程是刻畫現(xiàn)實世界數(shù)量關(guān)系的數(shù)學模型等。因此，建立數(shù)學模型的過程就是“數(shù)學建模”。

一、小學“數(shù)學模型”構(gòu)建

《數(shù)學課程標準》(實驗稿)倡導以“問題情境一建立模型——解釋、應(yīng)用與拓展”作為小學數(shù)學課程的一種基本敘述模式，并在教材中初步體現(xiàn)，這是數(shù)學新課程體系直接體現(xiàn)“問題解決”教學模式的反映。

(一)建模的策略

1．精選問題，創(chuàng)設(shè)情境，激發(fā)建模的興趣。

數(shù)學模型都具有現(xiàn)實的生活背景，這是構(gòu)建模型的基礎(chǔ)和解決實際問題的需要。如構(gòu)建“平均數(shù)”模型時，可以創(chuàng)設(shè)這樣的情境：4名男生一組，5名女生一組，進行套圈游戲比賽，哪個組的套圈水平高一些?學生提出了一些解決的方法，如比較每組的總分、比較每組中的最好成績等，但都遭到了否決(初步建模失敗)。這時需要尋求一種新的策略，于是構(gòu)建“平均數(shù)”的模型成為學生的需求，同時也揭示了模型存在的背景與適用，的條件。

2．充分感知，積累表象，培育建模的基礎(chǔ)。

教師首先要給學生提供豐富的感性材料，多側(cè)面、多維度、全方位感知某類事物的特征或數(shù)量間的相依關(guān)系，為數(shù)學模型的準確構(gòu)建提供可能。如“湊＋法”模型構(gòu)建的過程就是一個不斷感知、積累的過程。首先學習“9加幾”的算法，初步了解“湊十法”；接著采取半扶半放的方式學習“8、7加幾”的算法，進一步引導學生感知“湊十法”更廣的適用范圍；最后學習“6、5、4加幾”的算法，運用“湊十法”靈活解決相關(guān)的計算問題。在此過程中，學生經(jīng)歷了觀察、操作、實踐等活動，充分體驗了“湊十法”的內(nèi)涵，為形成“湊十法”的模型奠定了堅實的基礎(chǔ)。

3．組織躍進，抽象本質(zhì)，完成模型的構(gòu)建。

具體生動的情境或問題只是為學生數(shù)學模型的建構(gòu)提供了可能，如果忽視從具體到抽象的有效組織。那就無法建模。如“平行與相交”一課，如果只是讓學生感知火車鐵軌、跑道線、雙杠、五線譜等具體的素材，而沒有透過現(xiàn)象看本質(zhì)的過程，當學生提取“平行線”的模型時，呈現(xiàn)出來的一定是形態(tài)各異的具體事物，而不是具有一般意義的數(shù)學模型?！捌叫小钡臄?shù)學本質(zhì)是“同一平面內(nèi)兩條直線間距離保持不變”。因此，教師應(yīng)將學生關(guān)注的目標從具體上升為兩條直線間的距離。可以讓學生通過如下活動來引導認識過程：提出問題：為什么兩條直線永遠不相交?動手實驗思考：①在兩條平行線間作垂線。②量一量這些垂線的長度，你發(fā)現(xiàn)了什么?③你知道工人師傅是通過什么辦法使兩條鐵軌始終保持平行的嗎?經(jīng)歷這樣的學習過程，學生對平行的理解必定走向半具體、半抽象的模型，從而構(gòu)建起真正的數(shù)學認識，完成從物理模型到直觀的數(shù)學模型再到抽象的數(shù)學模型的建構(gòu)過程。

4．重視思想，提煉方法，優(yōu)化建模的過程。

不管是數(shù)學概念的建立、數(shù)學規(guī)律的發(fā)現(xiàn)、數(shù)學問題的解決，核心問題都在于數(shù)學思想方法的運用，它是數(shù)學模型的靈魂。如“圓柱的體積”一課教學，在建構(gòu)體積公式這一模型的過程中要突出與之相伴的數(shù)學思想方法：一是轉(zhuǎn)化，將未知轉(zhuǎn)化成已知；二是極限思想。重視數(shù)學思想方法的提煉與體驗，可以催化數(shù)學模型的建構(gòu)，提升建構(gòu)的理性高度。

5．回歸生活，變換情境，拓展模型的外延。

從具體的問題經(jīng)歷抽象提煉的過程，初步構(gòu)建起相應(yīng)的數(shù)學模型，還要組織學生將數(shù)學模型還原為具體的數(shù)學直觀或可感的數(shù)學現(xiàn)實，使已經(jīng)構(gòu)建的數(shù)學模型不斷得以擴充和提升。如“雞兔同籠”的問題模型，是通過研究“雞”、“兔”建立起來的，但建立模型的過程中不可能將所有的同類事物一一列舉。因此，教師要帶領(lǐng)學生繼續(xù)擴展考察的范圍，分析當情境、數(shù)據(jù)變化時模型的穩(wěn)定性?？梢猿鍪救缦聠栴}讓學生分析：“9張桌子共26人，正在進行乒乓球單打、雙打比賽，單打、雙打的各幾張桌子?”“甲、乙兩個車間共有126人，如果從甲車間每8人中選一名代表，從乙車間每6人中選一名代表，正好選出17名代表。甲、乙兩車間各有多少人?”這樣，使模型的外延不斷得以豐富和拓展。

(二)建模的途徑

開展數(shù)學建模活動，關(guān)注的是建模的過程，而不僅僅是結(jié)果，更多的是培養(yǎng)思維能力，特別是創(chuàng)造能力。因此，在小學數(shù)學教學中，教師要轉(zhuǎn)變觀念，革新課堂教學模式，以“建?！钡囊暯莵硖幚斫虒W內(nèi)容。

1．根據(jù)教學內(nèi)容，開展建模活動。

教材中的一些內(nèi)容已經(jīng)按照建模的思路編排，教師要多從建模的角度解讀教材，充分挖掘教材中蘊含的建模思想，精心設(shè)計和選擇列入教學內(nèi)容的現(xiàn)實問題情境，將實際問題數(shù)學化，建立模型，從而解決問題。

2．上好實踐活動課，為學生模仿建模甚至獨立建模提供有效指導。

可以結(jié)合教材內(nèi)容，整合各知識點，使之融進生活背景，產(chǎn)生好的“建模問題”作為實踐活動課的內(nèi)容。如教材中安排了這樣的問題：“找10盒火柴，先在小組里拼一拼，看看把10盒火柴包裝成一包有哪些不同的方法。怎樣包裝最節(jié)省包裝紙?”

3．改編教材習題，加強建模教學。

教材中有些問題需要改編，使其成為建模的有效素材。如：“圖中正方形面積是8平方厘米，求圓的面積。”可以利用它開展以下的建?；顒樱涸O(shè)圓的半徑是r，探討出圓的面積與正方形面積之間的關(guān)系后，建立起關(guān)系模型，進而解決問題。也可以另辟蹊徑，先通過“正方形面積是6平方厘米，求圓的面積”這一問題的解決，建立關(guān)系模型“圓的面積是正方形面積的π倍”，從而使原問題獲得解決。

二、小學“數(shù)學模型”的應(yīng)用

活用“數(shù)學模型”可以在很大程度上幫助學生深刻領(lǐng)會所學知識，順利構(gòu)建數(shù)學體系，從而大大提高學生解決實際問題的能力，使學生數(shù)學素質(zhì)得以提升。

1．用模型解題。

要學會把復雜問題納入已有模式之中，使原有模型成為構(gòu)建和解決新問題的工具。例如：“A、B兩地相距220千米，甲從A、乙從B同時相向而行，甲每小時行40千米，乙每小時行50千米。途中乙修車停了1小時。兩車從出發(fā)到相遇用了幾小時?”可以引導學生進行分析：以前解決的問題中兩個物體從始到終都在運動，而上述這個問題發(fā)生了變化。我們可把它變成以前學過的模型，如“讓乙車再行1小時，兩車行的時間就一樣多或“甲先單獨行1小時后，剩下的路程兩車同時行駛”等，使之成為較為熟悉、較為簡單的模式。利用原認知模型解題，必須基于對教材各知識要素的全面把握，進而能夠以原認知模型的“不變”應(yīng)數(shù)學問題的“萬變”。

2．用“舊模型”構(gòu)建“新模型”。

數(shù)學的概念、法則、關(guān)系等都是數(shù)學模型，并且總是建立在其他數(shù)學模型的材料、模型的應(yīng)用及體現(xiàn)在對新知的逐級構(gòu)建上。如“一個數(shù)乘一位數(shù)”法則是一個模型，在教學“一個數(shù)乘兩位數(shù)”時可以放手讓學生自主探究，在其過程中，舊模型被調(diào)用，為構(gòu)建更高一級的法則模型發(fā)揮重要作用。隨著知識的不斷更新，學生頭腦中的認知結(jié)構(gòu)不斷得到重組優(yōu)化，舊模型往往被具有更“上位”的新模型所代替或統(tǒng)一，使得數(shù)學模型更具有了概括性的特征。

數(shù)學從“關(guān)于數(shù)的科學”、“關(guān)于數(shù)量關(guān)系和空間形式的科學”到“關(guān)于模式的科學”，經(jīng)歷了不斷發(fā)展的過程。因此，小學數(shù)學教學要順應(yīng)發(fā)展的要求，培養(yǎng)學生的建模意識和能力。