淺談初中數(shù)學常見開放性問題及其解法

溫 依

摘要本文主要從數(shù)學開放性問題的類型、特點、作用及初中數(shù)學常見開放性問題的解法等方面進行闡述。

關(guān)鍵詞初中數(shù)學 開放性問題 解法

中圖分類號:G633.6文獻標識碼:A

數(shù)學開放性問題是指那些條件不完整、結(jié)論不確定、解法不限制的數(shù)學問題。相對于傳統(tǒng)型的數(shù)學問題來講,開放性問題的本質(zhì)是問題本身條件不完備、結(jié)論不確定、不唯一,需要解題者自己去探索。而這種類型的題目,在教學中,可很好地開發(fā)學生的思維,培養(yǎng)學生的創(chuàng)新精神,從而提高其數(shù)學素養(yǎng)。當前,隨著新課改的深入實施,初中數(shù)學試題不僅對雙基的考查表現(xiàn)出素材廣、形式多的特點,而且還著眼于學生的應變能力的考查;且從近幾年全國各地中考數(shù)學試題的設(shè)置看來,初中數(shù)學開放性試題的比重在逐年加大。因此,本文將重點談?wù)劤踔袛?shù)學開放性問題的解法,以供參考。

1 數(shù)學開放性問題的類型

目前,初中數(shù)學開放性問題可分為條件開放型、結(jié)論開放型、策略開放型、設(shè)計開放型、舉例開放型、實踐開放型、信息開放型、解法開放型、綜合開放型、情景開放型等十種類型的試題。

2 數(shù)學開放性問題的特點

數(shù)學開放性問題有別于傳統(tǒng)的數(shù)學題型,其有的條件不完整,有的結(jié)論多樣,有的解法不固定,有的答案不唯一等,需要解題者能運用觀察、對比、驗證、分析、綜合、抽象、概括、判斷等數(shù)學方法,從而尋求到問題的答案。因此,數(shù)學開放性問題具有以下幾個特征:

首先,數(shù)學開放性問題的條件不完備,有時不足,有時多余,不再如傳統(tǒng)封閉性題型有現(xiàn)成模式套用;解題時,方法多種多樣,多余的條件,使得解題的策略更具開放性。

其次,數(shù)學開放性問題答案的不確定性和多樣性,在解題時,需要學生運用發(fā)散性思維,通過多角度觀察,在自身能力范圍內(nèi)解決問題,從而探索出開放性題型的多個解決方法,體現(xiàn)出層次性。

最后,數(shù)學開放性題型的解決策略具有創(chuàng)新性,在解題時,不再有單一和死板的解題模式可遵循,甚至需要打破原有的解題模式,去探尋多種解題方法,由變求變,從而很好地體現(xiàn)現(xiàn)代數(shù)學氣息。

3 數(shù)學開放性問題的作用

數(shù)學開放性問題的作用有:開放性問題能引起學生認知的不平衡性,為學生主動選擇信息,有利于完善學生的認知結(jié)構(gòu);由于開放性問題具有結(jié)果開放、方法開放、思路開放等特點,能有效地反映高層次思維,為高層次思維創(chuàng)造條件,可擺脫“死讀書”、“讀死書”、“題海戰(zhàn)”等帶來的弊端,可鞏固和深化學生所學的知識,有利于因材施教,更好地培養(yǎng)學生思維的靈活性,提高學生創(chuàng)造能力和創(chuàng)新能力,使其向更高層次發(fā)展;有利于培養(yǎng)學生對數(shù)學的積極態(tài)度,調(diào)動學生學習的積極性,促進學生探索能力的發(fā)展,幫助學生體驗數(shù)學學科的靈感;有利于減輕學生的課業(yè)負擔,全面實施素質(zhì)教育;有利于教師轉(zhuǎn)變教育觀念,激發(fā)教育熱情,擺脫淺層次的教學循環(huán);有利于跨學科知識的綜合運用,也體現(xiàn)了數(shù)學教學中的人文特性。

4 初中數(shù)學常見開放性問題的解法

4.1 條件開放型

條件開放題是指給出問題的結(jié)論,讓解題者分析探索使結(jié)論成立應具備的條件,而滿足結(jié)論的條件往往不是唯一的問題。這種類型的題目,是考查學生發(fā)散性思維的一種好的題型。在解題時,應執(zhí)果索因、逆推分析,將題設(shè)和結(jié)論視為已知條件,倒推分析,然后尋找能使該結(jié)論成立的條件。

例1. 已知反比例函數(shù)y=(k-2)/x,其圖象在第二、四象限內(nèi),則k值可為______。(寫出滿足條件的一個k值即可)

分析與解答:由反比例函數(shù)的圖象在第二、四象限可知k-2<0,即k<2.因此所取k值只要滿足<2即可,比如k取-2、-1、0、1…都是符合題意的。

例2. 已知點D、E分別在AC、AB上,且DE與BC不平行,請?zhí)钌弦粋€你認為合適的條件______,使得△ADE∽△ABC。

分析與解答:這道條件開放題,只要尋求其成立的一個充分條件即可:

如∠ADE=∠B或∠AED=∠C或AD:AB=AE:AC

分析:這兩個例題都是探索條件的開放型試題,解決這類問題的方法是假設(shè)結(jié)論成立,然后進行逆向追索,逐步探索其成立的條件。

4.2 結(jié)論開放型

給出問題的條件,讓解題者根據(jù)條件探索相應的結(jié)論,并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性,或者相應的結(jié)論的“存在性”需要解題者進行推斷,甚至要求解題者探求條件在變化中的結(jié)論,這些問題都是結(jié)論開放性問題。它要求解題者充分利用條件進行大膽而合理的猜想,發(fā)現(xiàn)規(guī)律,得出結(jié)論,這類題主要考查解題者的發(fā)散性思維和所學基本知識的應用能力。解答時要充分利用條件,進行大膽合理的假設(shè)與猜想,由因?qū)Ч?探求問題的答案。

例1. 若二次三項式x2-ax+12(a是整數(shù))在整數(shù)范圍內(nèi)可以因式分解,那么a可取?或?或?3。

練習:若整式4 x2+Q+1是一個完全平方式,請你寫一個滿足調(diào)價難得單項式Q:_______。

例2. 已知函數(shù)圖像經(jīng)過p(1,2),并且在x>0時y隨著x的增大而增大,寫出滿足條件的一個函數(shù)的解析式:_______.(只要滿足條件的答案均可)

分析與解答:這是一道結(jié)論開放的試題,在解題時,只要掌握題中給的條件,結(jié)合所學函數(shù)的性質(zhì),就可求出符合條件的函數(shù),有可能是正比例函數(shù)y=2x,或一次函數(shù)如y=3x-1等,或y=2x2等。

例3. 已知 ⊙O是等腰三角形ABC的外接圓,AD、AE分別是頂角∠BAC及鄰補角的角的平分線,AD交⊙O于點D,交BC于F,由這些條件請直接寫出一個正確的結(jié)論:______.(不再連結(jié)其他線段)

如:∠B= ∠C

BF=CF

AD⊥BC

AE∥BC

分析:這幾個例題都是探索結(jié)論的開放型試題,解決這類問題的方法是解答時要充分利用條件,進行大膽合理的假設(shè)與猜想,由因?qū)Ч?探求滿足條件的結(jié)論,結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性,需要經(jīng)過論證做出取舍。

4.3 解題方法的開放型

解題方法開放題,一般是指解題方法不唯一或解題路徑不明確的問題。要求根據(jù)對條件和結(jié)論的不同選擇可以得到的多種符合題意的結(jié)果。這種類型的題目,需要解題者從多角度、多方位進行思考,根據(jù)已知條件結(jié)合圖形,通過轉(zhuǎn)化條件,發(fā)散思維,優(yōu)化解題方案和過程,才能找到不同的解題方法。

例1. 試構(gòu)造一個等腰梯形,要求該梯形連同它的兩條對角線所形成的8個三角形中有盡可能多的等腰三角形.

分析:說明:按照畫出的梯形中,有4個,6個和8個等腰三角形三種情況

①有4個等腰三角形,②有6個等腰三角形,③有8個等腰三角形。

例2:為了美化校園,學校準備在一塊圓形空地上建一花壇,現(xiàn)征集設(shè)計方案,要求設(shè)計的圖案是由圓和三角形組成的對稱圖形,請畫出你的設(shè)計。

分析:這個例子,是從學生熟悉的事物入手,主要考查學生的創(chuàng)新意識和實踐能力,有利于學生自主發(fā)揮水平。

4.4 綜合開放型

綜合開放型,即條件、結(jié)論、思維過程至少兩項均是開放的,這就需要解題者從數(shù)學的角度提出問題,理解問題,能綜合運用各種知識去解決實際問題,且在解決問題時思維要開放,解題思路要開放。這類試題的開放度大,難度高,追求的是決絕實際問題的數(shù)學思想和方法的多樣性。

例1. 在△ABC和△ADC中,下列三個論斷:①AB=AD;②∠BAC=∠DAC;③BC=DC將其中的兩個論斷作為條件,另一個論斷作為結(jié)論寫出一個真命題是___________。

綜上所述,開放性問題不僅是題型新穎、結(jié)構(gòu)獨特、綜合應用程度較高,更是一種培養(yǎng)發(fā)散性思維、鼓勵探索、鼓勵創(chuàng)新的良好的思維訓練方法。其要求解題者的解題思路開放、思維開闊,能敢于提出問題,勇于探索求異,善于應用數(shù)學思想及方法去解決一些實際問題,從而能培養(yǎng)解題者自身的創(chuàng)新精神和實踐活動能力。當前,在新課標的背景下,初中數(shù)學開放試題應順應新課改“自主探究、實踐體驗和合作交流的方式”的數(shù)學方針,在教學中應多編制一些思維含量高的開放性試題,通過條件的開放、結(jié)論的開放或方法的開放,培養(yǎng)學生的發(fā)散思維能力和創(chuàng)新精神,提高學生解決實際問題的能力。

參考文獻

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