磁通量不變也會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流嗎?

徐忠岳

根據(jù)法拉第電磁感應(yīng)定律,當(dāng)穿過(guò)導(dǎo)體回路的磁通量發(fā)生變化時(shí),回路中才會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流。那么,看了下面的問(wèn)題及其解答后,你是否會(huì)認(rèn)為磁通量不變也會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流呢?

問(wèn)題 如圖1所示,用密度為d、電阻率為ρ、橫截面積為A的薄金屬片制成半徑為r的閉合金屬圈。金屬圈水平放在磁極的狹縫間,金屬圈平面與磁場(chǎng)方向平行。設(shè)勻強(qiáng)磁場(chǎng)僅存在于相對(duì)磁極之間,極間磁感應(yīng)強(qiáng)度大小為B,其它地方的磁場(chǎng)忽略不計(jì)。金屬圈從靜止開始釋放,其平面在下落過(guò)程中保持水平(不計(jì)空氣阻力)。設(shè)磁場(chǎng)區(qū)域在豎直方向足夠長(zhǎng),求金屬圈下落的最大速度vm。(改編自2007年北京高考理綜試卷第24題)

上述解答正確嗎?下面我們換一種方法分析。

金屬圈切割磁感線時(shí)產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為動(dòng)生電動(dòng)勢(shì),它可以看成是由洛倫茲力引起的[1],金屬圈中自由電子受到的洛倫茲力的大小為:f=e(v×B)。

根據(jù)電動(dòng)勢(shì)大小的定義,金屬圈產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小等于單位電荷繞金屬圈一周非靜電力K對(duì)它所做功的大小,其中非靜電力的大小就是單位電荷所受的洛倫茲力:

K=fe=v×B。

金屬圈上某一小段上產(chǎn)生的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)為:

dε=(v×B) ?dl。

所以,整個(gè)金屬圈產(chǎn)生的動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)大小為:ε=∮(L)(v×B)?dl=B?2πr?v。

得到的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)大小和第一種解答的結(jié)果一樣。對(duì)高中學(xué)生來(lái)說(shuō),有效切割長(zhǎng)度l=2πr不是很難理解,最終得到的結(jié)論顯然沒(méi)什么問(wèn)題。不過(guò)換個(gè)角度考慮,學(xué)生可能會(huì)產(chǎn)生這樣的困惑:由于圖1中磁感線與金屬圈平面平行,那么下落過(guò)程中通過(guò)它的磁通量不變且始終為零,怎么會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流呢?可是,學(xué)生又找不出上述解答有什么不妥之處,難道法拉第電磁感應(yīng)定律有誤,磁通量不變也會(huì)產(chǎn)生感應(yīng)電流嗎?

學(xué)生的困惑主要來(lái)自于圖1中的輻射磁場(chǎng),他們往往想當(dāng)然地把圖1中的磁感線反向延長(zhǎng)并交于一點(diǎn),認(rèn)為金屬圈處于一個(gè)由中心向四周輻射的磁場(chǎng)中,所以他們會(huì)認(rèn)為通過(guò)金屬圈平面的磁通量為零。顯然這種觀點(diǎn)是錯(cuò)誤的,因?yàn)榇鸥芯€是不會(huì)相交的,那么金屬圈處于什么樣的磁場(chǎng)中呢?根據(jù)右手螺旋定則,可以大致描繪出該裝置中通電線圈產(chǎn)生的磁場(chǎng)的分布情況,如圖2所示。圖中磁感線都是閉合的環(huán)狀曲線,由于磁極之間的距離很小,磁極間的磁感線可以近似地看作是水平的,所以在俯視圖中,磁極間的磁感線好像都是由中心向外輻射的。但事實(shí)上,通過(guò)金屬圈的磁感線并不是由中心向四周輻射的,由縱截面示意圖可知,它們像噴泉一般自下而上穿過(guò)金屬圈。當(dāng)金屬圈向下運(yùn)動(dòng)時(shí),穿過(guò)它的磁感線越來(lái)越密,磁通量增大,產(chǎn)生了感應(yīng)電流。根據(jù)楞次定律,可判斷產(chǎn)生的感應(yīng)電流的方向是順時(shí)針的,這與根據(jù)導(dǎo)體切割磁感線時(shí)常用的右手定則判斷出來(lái)的結(jié)果是一致的。

根據(jù)以上分析,金屬圈中能產(chǎn)生感應(yīng)電流也是因?yàn)橥ㄟ^(guò)它的磁通量發(fā)生了變化,與法拉第電磁感應(yīng)定律并不矛盾。我們也可以應(yīng)用回路磁通量的變化來(lái)求出感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小,那么用這種方法求得的電動(dòng)勢(shì)大小是否等于用切割磁感線的方法求得的電動(dòng)勢(shì)呢?

設(shè)金屬圈在dt時(shí)間內(nèi)下降很小的一段距離dy,此過(guò)程中磁感應(yīng)強(qiáng)度水平分量的平均值為Bx,豎直分量的始末值分別為By、B′y 。如圖3所示,在金屬圈的軸線上取一個(gè)底面半徑為r,高為dy的圓柱體。根據(jù)磁場(chǎng)的高斯定理,通過(guò)任意閉合曲面的磁通量恒等于零,取圓柱體的外法線矢量為正方向:

由以上計(jì)算可知,根據(jù)導(dǎo)體切割磁感線得出的感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)與根據(jù)通過(guò)回路磁通量的變化所計(jì)算的結(jié)果相同。應(yīng)用這兩種方法的前提條件是一致的——即通過(guò)金屬圈的磁通量發(fā)生改變,導(dǎo)體切割磁感線的運(yùn)動(dòng),只是引起閉合電路的磁通量變化的具體方法之一,兩者是“特殊性和普遍性”的關(guān)系。

另外對(duì)于這一問(wèn)題,學(xué)生還可能產(chǎn)生這樣的疑問(wèn):金屬圈切割磁感線的同時(shí),通過(guò)線圈的磁感應(yīng)強(qiáng)度又在不斷變化,那么金屬圈中的電動(dòng)勢(shì)究竟是動(dòng)生的,還是感生的,還是兩者之和呢?其實(shí),動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)和感生電動(dòng)勢(shì)在這一問(wèn)題上只具有相對(duì)的意義;如果選擇激發(fā)磁場(chǎng)的通電線圈為參考系,空間的磁場(chǎng)不發(fā)生變化,而金屬圈在運(yùn)動(dòng),所以金屬圈內(nèi)的電動(dòng)勢(shì)是動(dòng)生電動(dòng)勢(shì);如果選擇金屬圈為參考系,則通電線圈相對(duì)于金屬圈向上運(yùn)動(dòng),這一相對(duì)運(yùn)動(dòng)引起磁場(chǎng)的變化,金屬圈中的電動(dòng)勢(shì)又成了感生電動(dòng)勢(shì)。由于選擇了不同的參考系,同一感應(yīng)電動(dòng)勢(shì),既可以說(shuō)是動(dòng)生的,又可以說(shuō)是感生的;不過(guò),坐標(biāo)的變換只能在一定程度上消除動(dòng)生和感生的界限。本題中感應(yīng)電動(dòng)勢(shì)的大小是確定的,可以按動(dòng)生電動(dòng)勢(shì)計(jì)算,也可以按感生電動(dòng)勢(shì)計(jì)算,而不是兩者之和。

參考文獻(xiàn):

[1]趙凱華,陳熙謀.電磁學(xué)[M].北京:高等教育出版社,1995,480.

(欄目編輯羅琬華)