鐘志華

美國著名心理學(xué)家布魯納認(rèn)為：“不論我們選教什么學(xué)科。務(wù)必使學(xué)生理解該學(xué)科的基本結(jié)構(gòu)?！倍^基本結(jié)構(gòu)就是指“基本的、統(tǒng)一的觀點(diǎn)，或者是一般的、基本的原理”。具體到數(shù)學(xué)教學(xué)中，就是要掌握貫穿在數(shù)學(xué)學(xué)科中的基本的數(shù)學(xué)思想方法。

一、數(shù)學(xué)思想方法的涵義

關(guān)于數(shù)學(xué)思想方法的定義，目前存在各種不同的說法。曹才翰認(rèn)為，“數(shù)學(xué)思想方法是數(shù)學(xué)概念、理論的相互聯(lián)系和本質(zhì)所在，是貫穿于數(shù)學(xué)的、具有一定統(tǒng)攝性和概括性的概念?！辈躺销Q認(rèn)為，“數(shù)學(xué)思想是指現(xiàn)實世界的空間形式和數(shù)量關(guān)系反映在人的意識中，經(jīng)過思維活動而產(chǎn)生的結(jié)果。它是對數(shù)學(xué)事實與數(shù)學(xué)理論的本質(zhì)認(rèn)識。”朱學(xué)志在《數(shù)學(xué)的歷史、思想和方法》一書中指出：“數(shù)學(xué)思想是人們對數(shù)學(xué)研究對象統(tǒng)一的、本質(zhì)的認(rèn)識?！彼▽?shù)學(xué)本質(zhì)的理解；對數(shù)學(xué)基本特性、數(shù)學(xué)對象、數(shù)學(xué)與其他科學(xué)、數(shù)學(xué)與客觀世界的關(guān)系的認(rèn)識以及數(shù)學(xué)中所創(chuàng)立的新概念、新理論、新模型和新方法的認(rèn)識。

綜合以上各種觀點(diǎn)，我們可以發(fā)現(xiàn)，數(shù)學(xué)思想往往是在對較低水平的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行不斷概括、反思基礎(chǔ)上提煉出來的中心思想、原理或總綱。數(shù)學(xué)思想方法是人們對數(shù)學(xué)知識和方法所形成的規(guī)律性認(rèn)識或基本看法，數(shù)學(xué)思想方法不同于數(shù)學(xué)概念、數(shù)學(xué)命題等理性知識，它更多表現(xiàn)為一種整體的、直觀的認(rèn)識，它屬于理性知識但又高于通常所說的理性知識，這種知識作為一種高層次的思維形式它具有高度的抽象性，同時它又具有很強(qiáng)的直觀性，它往往會在人的頭腦中留下非常清晰的直觀形象(常常被稱為心理意象)，會讓人產(chǎn)生清晰明確、天經(jīng)地義的感覺。比如對公式(a+b)²=a²+2ab+b²的理解，如果僅僅采用代數(shù)方法去推導(dǎo)，學(xué)生可能還會有所費(fèi)解，而若建立正方形模型，利用數(shù)形結(jié)合的思想來進(jìn)行理解，學(xué)生就會產(chǎn)生清晰明確、天經(jīng)地義的感覺，以后要想忘記這一公式都很困難。

二、數(shù)學(xué)思想方法理解的實質(zhì)

從人類對數(shù)學(xué)的理解過程來看，數(shù)學(xué)思想方法通常起源于人們的認(rèn)識活動。洛克認(rèn)為，理解過程從事物刺激感官所得到的簡單觀念開始(這時理解大部分是被動的)，然后運(yùn)用心中的主動性對簡單觀念進(jìn)行合成、聯(lián)想和抽象而得到復(fù)雜觀念，大大增加人的理解力(這時候是知覺能力)，理解便運(yùn)用各種觀念作為材料，依照這些觀念的契合或相違(以此為范圍)，通過感覺的、直覺的和推論的途徑，達(dá)到對個別事物、一般原則等對象的知識。

簡單地說，數(shù)學(xué)思想方法的理解需要經(jīng)歷從具有不確定性的數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗中抽取出具有確定性的數(shù)學(xué)知識，產(chǎn)生解決數(shù)學(xué)問題的方法，然后再運(yùn)用這些知識和方法來解決現(xiàn)實世界中的問題、解釋現(xiàn)實世界中的現(xiàn)象，并在這種解釋世界、解決問題的數(shù)學(xué)活動過程中形成解決數(shù)學(xué)問題的觀念和態(tài)度的過程。如果再作進(jìn)一步概括的話，數(shù)學(xué)思想方法的理解過程大體經(jīng)歷體驗、領(lǐng)悟、深化、升華這四個階段。

體驗，是通過數(shù)學(xué)活動對數(shù)學(xué)思想形成感性直觀，產(chǎn)生感性體驗。以二分法的學(xué)習(xí)為例，一些有經(jīng)驗的老師往往會在一開始采取與學(xué)生一起玩“幸運(yùn)52”的游戲來讓學(xué)生體驗二分的過程，老師先給出物品的上限和下限價格，讓學(xué)生猜某件物品的價格，如果學(xué)生猜得不對則提醒學(xué)生是猜高了還是猜低了，如此這樣不斷進(jìn)行下去直到學(xué)生猜到或基本猜到物品價格為止。通過這樣不斷地猜價格游戲?qū)W生就對二分法這一思想方法有了感性的體驗和初步的認(rèn)識。

領(lǐng)悟，是在對數(shù)學(xué)思想有了一定的體驗和直觀認(rèn)識的基礎(chǔ)上，由于啟發(fā)和點(diǎn)撥而使頭腦中模糊、直觀的數(shù)學(xué)思想清晰化、明確化。這一階段主要表現(xiàn)為能理解思想方法的含義，基本掌握思想方法的操作程序。在游戲活動的基礎(chǔ)上，老師可以讓學(xué)生類比“幸運(yùn)52”游戲來猜方程x³+3x-1=0的根，先設(shè)函數(shù)f(x)=x³+3x-1并隨意取兩個值比如x=-1，x=1，發(fā)現(xiàn)其對應(yīng)的函數(shù)值f(-1)，f(1)恰好異號，說明根在區(qū)間(－1，1)內(nèi)，接著看其二等份值x=0所對應(yīng)的函數(shù)值，發(fā)現(xiàn)f(0)＜0，這說明根在區(qū)間(0，1)內(nèi)，然后再看0與1的二等份值x=1/2，發(fā)現(xiàn)f(1/2)＞0，這樣又可以將根縮小到區(qū)間(0，1/2)，這樣的程序可以一直進(jìn)行下去直到找到方程的根或近似根為止。進(jìn)行到這個時候，老師可以“像這樣一種方法我們給它取個名字叫二分法”來使學(xué)生領(lǐng)悟二分法這一思想方法的本質(zhì)。

深化，是在領(lǐng)悟的基礎(chǔ)上對該數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)獲得更加清晰的理解。具體表現(xiàn)為能靈活運(yùn)用這一思想方法解決問題，表現(xiàn)在二分法的教學(xué)中就是讓學(xué)生應(yīng)用這一方法去解決一些具體問題，比如求方程的近似解，求曲線的近似交點(diǎn)等，通過這樣的解題練習(xí)使學(xué)生熟練掌握二分法。

升華，則是形成運(yùn)用這一思想觀察問題、分析問題和解決問題的態(tài)度和數(shù)學(xué)觀。二分法作為解決問題的一種具體方法，還可以進(jìn)一步上升為逼近這一重要數(shù)學(xué)思想，如果能認(rèn)識到二分法是一種逼近思想并能運(yùn)用逼近思想去觀察問題、分析問題和解決問題，那么這一方法就得到了升華。

三、數(shù)學(xué)思想方法理解的途徑

1在豐富的數(shù)學(xué)活動中體驗數(shù)學(xué)思想

休謨認(rèn)為，思想中的一切材料都是由外部的或內(nèi)部的感覺來的。人心和意志所能為的，只是把它們加以混合罷了。杜威也認(rèn)為，“思想、觀念不可能以觀念的形式從一個人傳到另一個人。當(dāng)一個人把觀念告訴別人時，對聽到的人來說，不再是觀念，而是另一個已知的事實?！挥挟?dāng)他親身考慮問題的種種條件，尋求解決問題的方法時，才算真正在思維?！绻荒芑I劃他自己解決問題的辦法，自己尋求出路，他就學(xué)不到什么。”其實，數(shù)學(xué)思想方法也是如此，數(shù)學(xué)思想起源于人類的數(shù)學(xué)活動，數(shù)學(xué)思想方法一開始表現(xiàn)為一種感性認(rèn)識或者數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，這種經(jīng)驗不可能從人的頭腦自發(fā)地產(chǎn)生，也不可能從天上掉下來，而只有通過數(shù)學(xué)活動才能獲得。這樣，要使學(xué)生真正理解數(shù)學(xué)思想方法就必須積極開展數(shù)學(xué)活動，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動中感受數(shù)學(xué)思想方法、體驗數(shù)學(xué)思想方法，讓他們獲得感性的數(shù)學(xué)思想方法。

例如通過幾何畫板演示圖形的運(yùn)動、變化過程就可以使學(xué)生更好地體驗和感受數(shù)形結(jié)合思想、運(yùn)動變換思想等重要數(shù)學(xué)思想方法。以求函數(shù)方程lgx=sinx的解的個數(shù)這一問題為例，如果單純采用手工畫圖的方法，則可能因為圖形不夠準(zhǔn)確而影響解的精確研究，但如果能借助于GSP(幾何畫板)則可以比較精確地知道方程解的個數(shù)，而更為重要的則是運(yùn)用GSP可以使形數(shù)結(jié)合思想得到更好的體現(xiàn)。再比如通過拋硬幣、擲骰子游戲，運(yùn)用計算器、計算機(jī)進(jìn)行模擬活動可以讓學(xué)生經(jīng)歷數(shù)據(jù)的收集、整理、描述和分析的完整過程并在這一過程中逐步體會客觀事物的不確定性及其頻率的穩(wěn)定性，形成運(yùn)用概率與統(tǒng)計的觀念處理問題的態(tài)度與方法，從而更好地感受和體驗概率和統(tǒng)計思想。

2在數(shù)學(xué)知識的探究過程中領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想

所謂知識的探究過程，就是要思考知識為什么產(chǎn)生?怎樣產(chǎn)生?導(dǎo)致其發(fā)生發(fā)展的內(nèi)部驅(qū)動力又是什么?對此，數(shù)學(xué)家楊樂有一個說法，把自己設(shè)想為若干年前的數(shù)學(xué)家，那時還沒有產(chǎn)生這條定理，我們循著一條什么樣的思路去找到它。這樣我們也許就找到了問題的實質(zhì)，掌握了真正的研究方法。而這樣追根究底的結(jié)果就是數(shù)學(xué)家們的數(shù)學(xué)靈魂數(shù)學(xué)思想方法。眾所周知，沒有脫離數(shù)學(xué)知識的數(shù)學(xué)思想方法，也沒有不包含數(shù)學(xué)思想方法的數(shù)學(xué)知識，數(shù)學(xué)知識的教學(xué)總是以具體的數(shù)學(xué)知識的教學(xué)為載體，并在知識的教學(xué)過程中得以實現(xiàn)。一方面，數(shù)學(xué)知識的探究往往需要借助于一定的數(shù)學(xué)思想方法，需要通過數(shù)學(xué)思想為知識的探究開辟道路。從某種意義上來說，數(shù)學(xué)思想方法是連結(jié)新舊數(shù)學(xué)知識之間的紐帶，數(shù)學(xué)知識的探究某種程度上來說就是數(shù)學(xué)思想方法的發(fā)展和展開的過程。另一方面，通過數(shù)學(xué)知識的探究又可以促進(jìn)學(xué)生更好地了解和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，在尋找思路的過程中模糊的數(shù)學(xué)思想逐漸變得清晰，零碎的數(shù)學(xué)知識逐漸系統(tǒng)化，而在知識系統(tǒng)化的過程中數(shù)學(xué)思想的脈絡(luò)也逐步得到顯現(xiàn)。

比如，在對問題“平面上，條直線最多可將平面分成多少個不同的部分?”這一問題的探究過程中，可以先從最簡單的情況開始考慮，如n=1時，最多有2個區(qū)域，當(dāng)n=2時，最多有4個區(qū)域，當(dāng)n=3時，最多有7個區(qū)域，當(dāng)n=4時，最多有11個區(qū)域，……，然后再對這些結(jié)論進(jìn)行歸納，發(fā)現(xiàn)，條直線所分出的最大區(qū)域數(shù)比n-1條直線所分出的最大區(qū)域數(shù)剛好多n個，這一規(guī)律如何用數(shù)學(xué)語言來進(jìn)行表示呢?這里就要用到代數(shù)語言甚至是函數(shù)語言，即將n條直線所分出的最大區(qū)域數(shù)用數(shù)學(xué)符號a_n或f(n)來表示，然后就可以將上述規(guī)律用遞推公式a_n=a_n+n或f(n)=f(n-1)+n來表示，這樣雖然也可以按部就班地求得n條直線所分出的最大區(qū)域數(shù)，但其過程卻非常繁瑣。如果要想直接求得結(jié)果，還需要通過代數(shù)變形將遞推公式轉(zhuǎn)化為通項公式a_n=1/2(n+1)+1或f(n)=1/2n(n+1)+1

回顧以上探究過程，剛開始考慮n=1、2、3、4、……時的情形用的是特殊化思想方法或以退為進(jìn)的思想方法；對所分出的區(qū)域數(shù)2、4、7、11、……進(jìn)行歸納用到了歸納思想；把探索所得到的規(guī)律用數(shù)學(xué)語言來表示又用到字母代數(shù)的思想和函數(shù)的思想，這一規(guī)律本身又體現(xiàn)了遞推的思想；而將遞推公式轉(zhuǎn)化為通項公式又用到了化歸的思想和函數(shù)的思想……。我們可以發(fā)現(xiàn)，在數(shù)學(xué)探究過程中到處都體現(xiàn)著數(shù)學(xué)思想方法，盡管有些數(shù)學(xué)思想是學(xué)生在探究過程中自發(fā)產(chǎn)生的，有些可能需要教師的啟發(fā)才能產(chǎn)生。只要教師善于啟發(fā)、點(diǎn)化。就可以使學(xué)生頭腦中朦朧的數(shù)學(xué)思想清晰化，隱性的數(shù)學(xué)思想顯性化，使學(xué)生在數(shù)學(xué)探究過程中從原來自發(fā)地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想逐步轉(zhuǎn)變?yōu)樽杂X地運(yùn)用數(shù)學(xué)思想來探索發(fā)現(xiàn)解題思路，調(diào)節(jié)、監(jiān)控自己的思維過程，整理頭腦中零碎、無序的數(shù)學(xué)知識。在這樣的探索活動過程中，不僅可以使學(xué)生發(fā)現(xiàn)和領(lǐng)悟數(shù)學(xué)知識中所蘊(yùn)涵的數(shù)學(xué)思想方法，而且通過不斷的探索活動可以促使數(shù)學(xué)思想的不斷發(fā)展，深化學(xué)生對數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識，同時還可以進(jìn)一步促使學(xué)生養(yǎng)成自覺運(yùn)用數(shù)學(xué)思想方法來觀察問題、分析問題和解決問題的習(xí)慣。

3在數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過程中升華數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)發(fā)展的歷史表明，很多數(shù)學(xué)思想往往是數(shù)學(xué)方法的升化。比如，變換思想是群論方法的升華，方程思想是解方程這一方法的升華，微積分思想最早起源于割圓術(shù)和窮竭法，字母代數(shù)的思想是簡字代數(shù)這一方法的延伸和發(fā)展。事實上，人們要進(jìn)行數(shù)學(xué)活動，就必須掌握一定的工具和方法，如進(jìn)行數(shù)學(xué)活動需要尺、規(guī)、模型、實物、電腦等工具，而進(jìn)行數(shù)學(xué)思維則需要掌握數(shù)學(xué)語言這一工具。而這些工具的使用又必須采取一定的方法，這樣又導(dǎo)致了數(shù)學(xué)方法的產(chǎn)生，而數(shù)學(xué)方法經(jīng)過反復(fù)運(yùn)用以后又逐漸程序化并最終升華為數(shù)學(xué)思想。

比如人們在解方程數(shù)學(xué)活動中就曾經(jīng)產(chǎn)生了很多方法，如求解一元一次方程的五步法，求解一元二次方程的配方法、直接開平方法、公式法、因式分解法，求解一元三次方程、一元四次方程的換元法、降次法、變量代換法以及在解決更高次方程的過程中所產(chǎn)生的降次法、逼近法、數(shù)值解法等乃至以后解決一般問題的群論方法、變換方法等，這些方法中有很多最終上升為數(shù)學(xué)思想，如降次法升華為降次思想，群論方法升華為群論思想，變換方法升華為變換思想。

因此，在數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師應(yīng)該積極創(chuàng)造機(jī)會讓學(xué)生運(yùn)用所學(xué)的數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生在數(shù)學(xué)方法的運(yùn)用過程中深化對數(shù)學(xué)方法的理解并進(jìn)而上升為數(shù)學(xué)思想。比如數(shù)形結(jié)合思想的教學(xué)，在小學(xué)階段可以讓學(xué)生畫圖列表養(yǎng)成數(shù)形結(jié)合的意識；在初中階段則可以通過數(shù)軸的學(xué)習(xí)、不等式的解集的數(shù)軸表示、乘法公式的圖解證明以及函數(shù)性質(zhì)與圖像的研究讓學(xué)生逐步形成借助圖形解決代數(shù)問題的習(xí)慣和觀念；而到了高中階段則可以通過解析幾何的學(xué)習(xí)和函數(shù)性質(zhì)的研究使學(xué)生進(jìn)一步深化對數(shù)形結(jié)合思想方法的認(rèn)識，養(yǎng)成自覺運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想方法解決問題的習(xí)慣并最終養(yǎng)成運(yùn)用數(shù)形結(jié)合思想認(rèn)識問題、處理問題的觀念。

4在數(shù)學(xué)思想的發(fā)展脈絡(luò)中完善數(shù)學(xué)思想

數(shù)學(xué)思想既是靜態(tài)的結(jié)構(gòu)化的知識，同時又是動態(tài)的過程性的知識；數(shù)學(xué)思想既是整體的知識，同時又是具有層次性的知識。因此，認(rèn)識數(shù)學(xué)思想就不僅應(yīng)該知其全貌，而且還應(yīng)該識其變化，不僅應(yīng)該理解其整體，而且應(yīng)該研究其所包含的層次。一句話，應(yīng)該立足于數(shù)學(xué)思想發(fā)展的動態(tài)變化過程才能真正領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)。

比如，對于變換這一數(shù)學(xué)思想，如果僅僅只是知道反射、平移、旋轉(zhuǎn)這幾種變換可能還很難真正理解變換思想的本質(zhì)，而一旦將變換這一思想放在數(shù)學(xué)思想發(fā)展的歷史長河之中去加以考察，就可以認(rèn)識到變換思想的來源，變換思想在幾何學(xué)的分類中所起的作用以及變換在數(shù)學(xué)教育現(xiàn)代化的進(jìn)程中所產(chǎn)生的影響，從而就能夠更加深刻地認(rèn)識變換這一數(shù)學(xué)思想的本質(zhì)。同時，立足于數(shù)學(xué)思想發(fā)展的歷史脈絡(luò)，不僅有助于我們更好地了解數(shù)學(xué)思想發(fā)展的現(xiàn)狀，而且可以讓我們更好地把握數(shù)學(xué)思想發(fā)展的未來走向。另外，更為重要的則是通過對數(shù)學(xué)思想發(fā)展歷史的把握，可以使我們更好地認(rèn)識個體數(shù)學(xué)思想理解的一般規(guī)律，可以為我們進(jìn)行數(shù)學(xué)思想的教學(xué)找到準(zhǔn)確的坐標(biāo)、指明正確的方向、提供強(qiáng)有力的方法指導(dǎo)。具體來說。一方面可以為實施因材施教提供科學(xué)依據(jù)，知道如何根據(jù)具體的教學(xué)對象和具體的數(shù)學(xué)知識來選擇合適的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行教學(xué)；另一方面，又可以為教學(xué)方法的選擇提供科學(xué)指導(dǎo)，可以知道某種數(shù)學(xué)思想方法可以在哪些知識點(diǎn)的進(jìn)行滲透以及采取什么樣的方式進(jìn)行滲透等。

比如函數(shù)思想的理解，如果我們能了解函數(shù)思想的發(fā)展經(jīng)歷從最初的直觀認(rèn)識到后來的“變量說”、“對應(yīng)說”再到“關(guān)系說”這一過程，那么我們在進(jìn)行函數(shù)概念的教學(xué)時就能根據(jù)學(xué)生的年齡特點(diǎn)選擇相應(yīng)的教學(xué)策略。在小學(xué)階段可以舉一些現(xiàn)實生活或數(shù)學(xué)中的問題讓學(xué)生通過數(shù)學(xué)活動來感受和體驗數(shù)學(xué)思想。如通過統(tǒng)計和測量速度一定的條件下路程與時間的關(guān)系，正方形的周長、面積與其邊長之間的關(guān)系等，可以讓學(xué)生更好地感受一個變量隨另一個變量變化的過程，從而更好地體驗函數(shù)的思想。在初中階段則應(yīng)該通過啟發(fā)使學(xué)生領(lǐng)悟函數(shù)思想，使原來感性的函數(shù)思想抽象為理性的函數(shù)知識和處理問題的方法。具體來說應(yīng)該讓學(xué)生了解函數(shù)的名稱，初步了解函數(shù)的概念、函數(shù)的表示方法，能分析并刻畫實際問題中變量之間的關(guān)系。在此基礎(chǔ)上進(jìn)一步了解函數(shù)概念中所包含的數(shù)學(xué)思想方法，讓學(xué)生認(rèn)識到函數(shù)概念是變量之間關(guān)系的壓縮，它體現(xiàn)了事物之間相互聯(lián)系與變化的思想。在高中階段則應(yīng)該通過不斷的運(yùn)用來深化對函數(shù)思想的理解并進(jìn)一步將函數(shù)方法升華為一種處理實際問題的思想方法。具體來說，應(yīng)該讓學(xué)生學(xué)會應(yīng)用集合與對應(yīng)語言來刻劃函數(shù)，學(xué)會運(yùn)用函數(shù)圖像理解和研究函數(shù)的性質(zhì)。甚至還可以進(jìn)一步讓學(xué)生了解函數(shù)概念中所包含的現(xiàn)代數(shù)學(xué)思想如集合與對應(yīng)思想等并在此基礎(chǔ)上形成運(yùn)用函數(shù)思想觀察問題、分析問題、解決問題的態(tài)度和數(shù)學(xué)觀。

(責(zé)任編輯劉永慶)