關(guān)于兩類含幺冪等元半環(huán)

劉偉,胡靜,豐丕虎

(西北大學數(shù)學系,陜西西安 710127)

關(guān)于兩類含幺冪等元半環(huán)

劉偉,胡靜,豐丕虎

(西北大學數(shù)學系,陜西西安 710127)

研究了兩類重要的含幺冪等元半環(huán)簇中成員的一些性質(zhì),給出了其中成員的等價刻畫,并討論了其中成員的結(jié)構(gòu),得到了這兩類子簇中成員的一些結(jié)果.

冪等元半環(huán)；單演雙半格；Mal’cev積；簇

1 引言

半環(huán)(S,+,…)是指非空集合S上裝有兩個二元運算“+”和“…”的(2,2)型代數(shù),且滿足條件:

(i)(S,+)和(S,…)是半群;

(ii)(?a,b,c∈S)(a+b)c=ac+bc和c(a+b)=ca+cb.

冪等元半環(huán)是指滿足附加條件(?a,b∈S)a+a=aa=a的半環(huán),即(S,+)和(S,…)都是帶.冪等元半環(huán)簇記為I.

冪等元分配半環(huán)是指滿足附加條件(?a,b,c∈S)a+bc=(a+b)(b+c)和bc+a=(b+a)(c+a)的冪等元半環(huán).冪等元分配半環(huán)簇記為ID.

單演雙半格簇是指滿足恒等式xy≈yx,x+y≈y+x,x+y≈xy的冪等元半環(huán)的全體,記為M.

若V,W?I,V?W表示半環(huán)類{S∈I|(?ρ∈Con(S))S/ρ∈W,(?u∈S)ρu∈V},稱為V 與W的Mal’cev積.

以下給出與本文相關(guān)的三類冪等元半環(huán)簇的子簇的記號及其滿足的恒等式

有許多文獻致力于冪等元半環(huán)的研究[14].其中文[1]首先研究了冪等元半環(huán)簇的子簇?D,稱其成員為加法帶半環(huán),它們是滿足恒等式x+xy+x≈x+yx+x≈x的冪等元半環(huán)的全體.文[4]運用了偏序關(guān)系,Green’s關(guān)系等方法研究了冪等元半環(huán)簇P的兩個重要子簇?M,?M的性質(zhì),給出了其中成員的等價刻畫,并討論了其中成員的結(jié)構(gòu).本文將研究文[4]中提到的兩類簇中成員在含有幺元素時的性質(zhì),等價刻畫和結(jié)構(gòu).

有關(guān)半群和范代數(shù)的概念和結(jié)果可參考文[5-7].

若S∈I,稱S為含幺冪等元半環(huán)是指:存在e∈S且滿足(?a∈S)ae=ea=a,即(S,…)是幺半群.此時稱e為冪等元半環(huán)S的幺元素.設X為簇,把X中所有含幺元素的成員組成的簇記為X1.例如:I1表示含幺元素的冪等元半環(huán)的全體組成的簇.

現(xiàn)在考慮上述三類簇中含有幺元素成員的全體組成的簇及相應的恒等式顯然P1=(?M)1,上述三類簇實際上成為兩類簇.下面就這兩類簇中的成員做一些研究.

2 兩類簇中成員的性質(zhì)

3 兩類簇中成員的結(jié)構(gòu)

[1]Sen M K,Guo Y Q,Shum K P.A class of idem potent sem irings[J].Sem igroup Forum,2000,60:315-369.

[2]Zhao X Z,Shum K P,Guo Y Q.L-Subvarieties of the variety of idem potent sem irings[J].A lgebra Universalis, 2001,46:75-96.

[3]Pastijn F,Zhao X Z.G reen’s D-relation for multip licative sem iring varieties[J].A rch.M ath.(Brno),2000, 36:77-93.

[4]張娟娟,李映輝,朱敏慧.兩類冪等元半環(huán)[J].西北大學學報:自然科學版,2008,38(1):5-8.

[5]How ie JM.Fundam entals of Sem igroup Theory[M].Oxford:Oxford Science Publication,1995.

[6]G ratzer G.Universal A lgebra[M].New York:Springer-Verlag,1979.

[7]張娟娟,馮鋒.冪等元半環(huán)簇P[J].純粹數(shù)學與應用數(shù)學,2005,21(1):68-72.

Two kinds of idempotent semirings with identity element

LIUWei,HU Jing,FENG Pi-hu

(Department of Mathematics,Northwest University,Xi’an 710127,China)

To study the properties of them embers of two im potent subvarieties of the variety of idem potent sem irings with identity elem ent.The equivalent of them are characterized and the structure of them are discussed.Some resu lts about themembers of two im potent subvarieties are obtained.

idem potent sem iring,m onobisem ilattice,M al’cev product,variety

O152.7

A

1008-5513(2009)02-0289-05

2008-05-21.

國家自然科學基金(10471112),陜西省教育廳自然科學專項基金(07JK 413).

劉偉(1982-),碩士,研究方向:半群代數(shù)理論.

2000M SC:08A 15