黃世芳

【摘要】探討運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題。

【關(guān)鍵詞】數(shù)形結(jié)合;思想;分析;解題

The few forms combine thought

Huang Shi-fang

【Abstract】Study usage the few forms combine of thought analysis work°out a problem

【Key words】The few forms combine;Thought;Analysis;Solution

1.數(shù)形結(jié)合是一種數(shù)學(xué)

一是,把抽象的數(shù)(代數(shù)式)與直觀的“形”(幾何圖)結(jié)合起來,問題容易理解,思路易于掌握;在我們所學(xué)的很多代數(shù)式中都有顯著的幾何意義,對它們進(jìn)行數(shù)形結(jié)合,往往能突破難點(diǎn),找到簡單的解題技巧。易于數(shù)形結(jié)合的問題往往集中在:函數(shù)的最值,曲線的交點(diǎn),比較數(shù)的大小、角、直線的斜率等方面。數(shù)與形的結(jié)合,相互滲透,把代數(shù)式的精確刻劃與幾何圖形的直觀描述結(jié)合起來,從而使幾何問題代數(shù)化,代數(shù)問題幾何化;使抽象思維和數(shù)形結(jié)合起來,減少大量的計(jì)算過程。

2.數(shù)形結(jié)合在近幾年的全國高考試題中占有非常重要的地位,所以我們必須注意數(shù)形結(jié)合的特點(diǎn)。

數(shù)與形是一對矛盾,可以相互轉(zhuǎn)化,主要有三個(gè)途徑:一是通過坐標(biāo)系統(tǒng)的建立(或數(shù)軸)例如:y=|x+3|+|x-4|的最值,|x+3|+|x-4|表示數(shù)軸上的點(diǎn)x到-3和4的兩點(diǎn)的距離之和,顯然最小值為4-(-3)=7故函數(shù)f(x)的最小值為7,二是轉(zhuǎn)化,將 @轉(zhuǎn)化位點(diǎn)(x,y)與(1,0)的直線斜率;三是構(gòu)造,即可構(gòu)造幾何模型,構(gòu)造函數(shù)或構(gòu)造一個(gè)圖形,例如:求sin180的值,可以構(gòu)造一個(gè)頂角為36@的等腰三角形,利用相似三角形性質(zhì)而得出sin180=。

3.例題分析:

1.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)且a>b>0 求 的大小關(guān)系

解:作函數(shù)f(x)=log2(x+1)的圖象,由 表示圖上的點(diǎn)與原點(diǎn)連線的斜率,所以

點(diǎn)評:這是一道典型的數(shù)形結(jié)合題, 的幾何意義是兩點(diǎn)(x,f(x))、(0,0)連線的斜率,利用斜率的大小解題即直觀又快捷。

例2.比較0.32,log20.3,20.3這三個(gè)數(shù)的大小。

解:在同一坐標(biāo)系中畫出函數(shù)y=x2,y=log2x,y=2x的圖象,如圖令x=0.3時(shí)顯然有l(wèi)og20.3<0.32<20.3。

點(diǎn)評:這是一道考查函數(shù)的基本概念,本題利用函數(shù)的圖象的對應(yīng)關(guān)系,即可判斷大小,使問題簡單化。

例3.已知 a>0且a≠1,試求使方程loga(x-ak)=loga2(x2-a2)有解的k的取值范圍。

解:本題的要求是對上述方程中的參數(shù)k進(jìn)行討論,因此可構(gòu)造出函數(shù)的圖象,在運(yùn)動中加以解決會使解題思路更加簡捷明了,根據(jù)對數(shù)函數(shù)的性質(zhì)有: 設(shè)y1=x-ak,y2= ,如圖y1是斜率為1截距為-ak的平行線束,y2是等軸雙曲線上方的部分,要使y1,y2的圖象有交點(diǎn),須-ak>a或-a<-ak<0即k<-1或0

點(diǎn)評:此題應(yīng)用了直線與曲線有無交點(diǎn)。即數(shù)與形的結(jié)合解題,減少了大量的計(jì)算,從而使問題很好的解決。

例4.已知函數(shù)f(x)=ax3+bx2+cx+d的圖象如圖,則b的取值范圍是。

解:由圖可知函數(shù)f(x)的圖象經(jīng)過點(diǎn)(0,0),(1,0),(2,0),所以f(x)=a(x-2)?x?(x-1)=a(x3-3x2+2x)= ax3-3ax2+2ax即b=-3a,又由圖形可知a>0,∴b<0。點(diǎn)評:從圖形中捕捉有用的條件,是將形化數(shù)的關(guān)鍵。

4.方法總結(jié):

運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想分析解決問題時(shí),要把握三個(gè)原則:①是等價(jià)性原則,要注意由于圖形不能精確刻畫數(shù)量關(guān)系帶來的多面效應(yīng)。②是雙向性原則:也就是數(shù)與形的互相轉(zhuǎn)化。③是簡單性原則,不要為了“數(shù)形結(jié)合”而數(shù)形結(jié)合,而取決于有效,簡捷和更易達(dá)到教學(xué)目的。數(shù)形結(jié)合能解決好數(shù)學(xué)習(xí)題,望我們掌握好,它能幫助我們快捷、準(zhǔn)確的解好數(shù)學(xué),更能提高我們的思維方式。

收稿日期:2009-05-12

作者地址:青海省門源女中810300