王　林

如何理解和把握教材，需要探討和研究的方面較多。本文主要就本次專欄所涉及的面積、分?jǐn)?shù)和方程的定義談?wù)勛约旱目捶ā?/p>

小學(xué)數(shù)學(xué)中的許多概念，在小學(xué)不能定義或不宜定義，大多數(shù)是通過描述性的方式和用“屬+種差”的方式定義的。對于面積，大綱教材是這樣描述性定義的：物體的表面或圍成的平面圖形的大小，叫做它們的面積?，F(xiàn)在，教材沒有給出定義，而是結(jié)合教室這一學(xué)生非常熟悉的實例，按照“物體有面——每個面都有大小——面的大小是面積”這樣的線索教學(xué)面積的意義。讓學(xué)生先通過“看”黑板表面、課本封面體會物體有面，“比”黑板面與課本封面哪一個大哪一個小，體會各個物體的面都有確定的大小，“想”什么是課本封面的面積感知面積的含義；再通過“摸”課桌面和椅子面，直接感知這些面的客觀存在，并感受這些面各自的大小，擴大概念外延，進一步體會面積的意義。接著，讓學(xué)生自己舉例表達物體表面的面積，并比較它們的大小，反饋自己對面積的初步認(rèn)識，并在更大的范圍里體會，看到的物體都有面，每個面都有確定的大小，面的大小就是這個面的面積，從而形成初步的面積概念。在學(xué)生已經(jīng)知道物體表面的大小是面積之后，學(xué)習(xí)平面圖形的大小也是面積，從而全面理解面積的意義。教材通過比較一個正方形和一個長方形面積的大小，讓學(xué)生討論什么是這兩個圖形的面積，引導(dǎo)他們的認(rèn)知遷移，從物體表面的大小是面積類推出平面圖形的大小也是面積。教材雖然沒有對面積下概括的定義，但是學(xué)生結(jié)合實例，在多個活動中體驗、感悟、體會面積的意義，在表象的層面上充分認(rèn)識了面積。大綱教材中的定義，也只是對面積的描述，不是嚴(yán)格的定義。在嚴(yán)格的面積定義里并不出現(xiàn)“大小”的詞語。先要定義了面積，才能有面積的大小。實際上，不僅平面圖形有面積，球面(立體圖形)也有面積。但是，對于小學(xué)生來說，面積的嚴(yán)格定義并不重要，重要的是通過數(shù)學(xué)認(rèn)知活動知道面積與長度一樣是刻畫圖形大小的度量，知道面積的真正含義，建立面積的表象，會求一些幾何圖形的面積。

分?jǐn)?shù)是一個內(nèi)涵豐富的數(shù)學(xué)概念，在小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中占有重要地位。小學(xué)生學(xué)習(xí)的數(shù)，主要有正整數(shù)和正分?jǐn)?shù)(小數(shù)是特殊的分?jǐn)?shù))，在正整數(shù)集中添加正分?jǐn)?shù)，組成非負(fù)有理數(shù)集，是數(shù)的概念的重要擴充。在正整數(shù)集中，兩個整數(shù)相除，有時不能得到整數(shù)商，為了使除法運算總可以施行(除數(shù)不能是0)，就需要引進分?jǐn)?shù)。在小學(xué)，一般將分?jǐn)?shù)直觀地定義為：把單位“1”平均分成若干份，表示這樣的一份或幾份的數(shù)叫做分?jǐn)?shù)。這是關(guān)于分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，是描述性的。實際上，分?jǐn)?shù)除了份數(shù)的定義，還有商的定義和比的定義。在數(shù)學(xué)理論中，分?jǐn)?shù)一般采用商的定義：兩個整數(shù)m、n(n≠0)，m除以n的商m/n叫做分?jǐn)?shù)。即是說，分?jǐn)?shù)是一個商，m除以n除得盡時是一個整數(shù)，除不盡時就是一個分?jǐn)?shù)。由于兩個數(shù)相除又叫做兩個數(shù)的比，于是就有了分?jǐn)?shù)的比的定義：兩個整數(shù)m、n(n≠0)，m比n即m/n叫做分?jǐn)?shù)。六年級教材上說，兩個數(shù)的比表示兩個數(shù)相除，兩個數(shù)的比也可以寫成分?jǐn)?shù)形式。學(xué)習(xí)了比之后，分?jǐn)?shù)就可以擴大應(yīng)用范圍。我們知道了分?jǐn)?shù)的這三個定義，可以更清楚地看出比的基本性質(zhì)、分?jǐn)?shù)的基本性質(zhì)和整數(shù)除法商不變的性質(zhì)內(nèi)在的同一關(guān)系。由于分?jǐn)?shù)與整數(shù)有較大的差異，學(xué)生掌握分?jǐn)?shù)概念比較困難，小學(xué)數(shù)學(xué)教材對此一般分為三個階段教學(xué)。第一階段，三年級直觀感性認(rèn)識階段，充分借助直觀手段，只作具體描述，如1/2是分?jǐn)?shù)3/4是分?jǐn)?shù)，不概括出描述性的定義。學(xué)生通過三上的學(xué)習(xí)明白把一個物體、圖形平均分成若干份，其中一份或幾份，是這個物體、圖形的幾分之一或幾分之幾：通過三下的學(xué)習(xí)明白把由若干個同類物體組成的一個整體平均分成幾份，用幾分之一或幾分之幾這樣的分?jǐn)?shù)表示這個整體里的一份或幾份，并應(yīng)用對分?jǐn)?shù)的初步理解。用整數(shù)計算的方法解決求由若干個同類物體組成的一個整體的幾分之一或幾分之幾是多少個物體的實際問題。從一個物體、圖形的幾分之一到若干個同類物體組成的一個整體的幾分之一，是認(rèn)識分?jǐn)?shù)的一次發(fā)展。學(xué)生儲存了豐富的分?jǐn)?shù)表象，到五年級認(rèn)識分?jǐn)?shù)的意義，理解單位“1”，不僅減少了學(xué)習(xí)困難，而且更有利于他們在豐富表象的基礎(chǔ)上抽象概括，比較牢固地掌握分?jǐn)?shù)的有關(guān)知識。學(xué)生到五年級整體認(rèn)識分?jǐn)?shù)，深入理解分?jǐn)?shù)的份數(shù)定義，再通過兩次分餅的數(shù)學(xué)活動認(rèn)識分?jǐn)?shù)與除法的關(guān)系，不僅用語言講述和用數(shù)量關(guān)系式表示，還寫成字母組成的等式，建立新的知識結(jié)構(gòu)，實際理解分?jǐn)?shù)的商的定義。到了六年級再學(xué)習(xí)比，體會比在生活中的應(yīng)用，實際理解分?jǐn)?shù)的比的定義，擴大分?jǐn)?shù)的應(yīng)用范圍。這就使學(xué)生學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)的過程循序漸進，有效而扎實。

對于方程，大綱教材是用“屬+種差”的方式定義的：含有未知數(shù)的等式叫做方程。與被定義概念鄰近的屬是“等式”，種差是“含有未知數(shù)”。方程是等式里的一類特殊對象，“含有未知數(shù)”與“等式”是方程意義的兩點最重要的內(nèi)涵，“含有未知數(shù)”也是方程區(qū)別于其他等式的關(guān)鍵特征。現(xiàn)行教材按“等式+含有未知數(shù)一方程”的線索，結(jié)合具體情境，讓學(xué)生通過觀察天平平衡與不平衡的生活現(xiàn)象，幫助學(xué)生理解等式的含義，了解等式與方程的關(guān)系，概括出：像x+50=150、2x=200這樣含有未知數(shù)的等式是方程。與大綱教材相比，特別增加了“像x+50=150、2x=200”這樣的限定，一是因為實際上函數(shù)也是含有未知數(shù)的等式，增加限定后更具有科學(xué)性；二是可以避免類似于“x=6是不是方程”等一些過于形式化問題的過分關(guān)注與爭論。方程用等號將相互等價的兩件事情聯(lián)立，等號的左右兩邊等價，比較全面地展示了建模思想。教學(xué)方程就是要抓住從等式的關(guān)系求未知數(shù)這一重點，通過列方程的教學(xué)讓學(xué)生初步體會建模思想。通過解方程的教學(xué)讓學(xué)生初步體會化歸(轉(zhuǎn)化)思想。教材要求小學(xué)生學(xué)習(xí)運用等式的性質(zhì)解方程，就十分有利于學(xué)生體會化歸(轉(zhuǎn)化)思想。

從面積、分?jǐn)?shù)和方程的定義的分析，可以反映出蘇教版教材對概念、法則、規(guī)律等呈現(xiàn)的大致特點，我們教學(xué)時應(yīng)引起足夠的重視。

1、既有整體觀念，又注意階段性。教材依據(jù)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)，比較合理地編排了各冊的教學(xué)內(nèi)容，要按照教學(xué)進度和學(xué)生的認(rèn)知水平進行教學(xué)，不隨意提前教學(xué)后續(xù)的內(nèi)容，不去輕易地拔高教學(xué)要求。分?jǐn)?shù)的意義比較抽象，在三年級學(xué)生初步認(rèn)識分?jǐn)?shù)時，一定要把握好螺旋上升的度，貼近學(xué)生的認(rèn)知水平，借助現(xiàn)實的情境和直觀的圖形，通過具體操作，使學(xué)生逐步獲得對分?jǐn)?shù)的感性認(rèn)識，建立分?jǐn)?shù)的表象，而不能脫離直觀。同樣的道理，乘、除法的口算，課程標(biāo)準(zhǔn)要求學(xué)生能口算百以內(nèi)的一位數(shù)乘、除兩位數(shù)，教學(xué)時就不要再提出兩位數(shù)除以兩位數(shù)的口算要求。二年級下學(xué)期學(xué)習(xí)口算不進位的一位數(shù)乘兩位數(shù)，就不要提出進位的一位數(shù)乘兩位數(shù)的口算要求，避免加重學(xué)生的學(xué)習(xí)負(fù)擔(dān)。

2、要注重實質(zhì)，適當(dāng)?shù)问?。?shù)學(xué)教材在注重數(shù)學(xué)本質(zhì)的同時，對一些定義、筆算法則等適當(dāng)?shù)氐诵问?。這是為了講求實效，使學(xué)生更好地掌握整個知識，真正理解概念，體會數(shù)學(xué)的本質(zhì)。從這個意義上說，適當(dāng)?shù)摹暗笔菫榱苏嬲摹皬娀?。什么是乘?求兩個數(shù)的積的運算叫做乘法。但是，為了便于小學(xué)生理解，在小學(xué)通常把乘法說成是“求幾個相同加數(shù)的和的簡便運算”，現(xiàn)在“3個5相加”不再規(guī)定哪一個數(shù)做乘數(shù)，哪一個數(shù)做被乘數(shù)，就不應(yīng)再要求學(xué)生把3個5相加只能寫作5×3，而不能寫作3×5，也不要過多地去要求學(xué)生說“3個5相加用5×3表示”這些形式化的語言。整數(shù)乘、除法的筆算法則，學(xué)生理解了算理，在已有經(jīng)驗的基礎(chǔ)上合作交流，發(fā)現(xiàn)、歸納并總結(jié)出計算方法，能懂得法則的幾條具體內(nèi)容，按照法則比較熟練地筆算就可以了。教材沒有用文字集中呈現(xiàn)計算法則，更沒有用黑體字突出，我們在教學(xué)中就不需要將文字?jǐn)⑹龅墓P算法則讓學(xué)生抄錄背誦，也不需要對此進行默寫或者填空考查。對于運算律的安排與教學(xué)，同樣如此。

3、要加強概念特別是基本概念的教學(xué)。數(shù)學(xué)概念是數(shù)學(xué)知識的細(xì)胞，是學(xué)習(xí)和運用一切數(shù)學(xué)知識的基礎(chǔ)。小學(xué)階段所涉及的概念都是非?；竞椭匾?，不重視概念教學(xué)的現(xiàn)象當(dāng)前比較普遍，應(yīng)當(dāng)切實糾正。概念教學(xué)是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須抓好的重要一環(huán)，我們每一位數(shù)學(xué)教師和教研員，都必須重視和加強概念教學(xué)及其研究，努力改進概念教學(xué)。三年級小學(xué)生從學(xué)習(xí)長度到學(xué)習(xí)面積，是空間形式認(rèn)識發(fā)展上的一次飛躍。以前面積和面積單位安排在一課時內(nèi)教學(xué)，學(xué)生在一課時里既學(xué)習(xí)面積的意義，又認(rèn)識三個面積單位，時間緊、任務(wù)重，對面積、面積單位概念的形成過程經(jīng)歷不夠、體驗不深，效果往往得不到保證?，F(xiàn)行教材把面積與面積單位這兩個對后繼學(xué)習(xí)有著深遠(yuǎn)影響的概念分成兩課時教學(xué)，目的就是讓學(xué)生在第一次學(xué)習(xí)時。有足夠的時間經(jīng)歷概念的形成過程，達到教學(xué)的扎實有效。運算律是小學(xué)數(shù)學(xué)中最基礎(chǔ)的知識之一，教材緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實際，引導(dǎo)他們利用已經(jīng)掌握的知識獨立解答，再通過舉例發(fā)現(xiàn)規(guī)律，從用符號表示過渡到用含有字母的式子表示這些規(guī)律，使得運算律的表達更加準(zhǔn)確、簡明、形象。這既便于學(xué)生加深體驗，有利于他們掌握運算律，又能發(fā)展學(xué)生的符號感。