王運(yùn)芹

在教學(xué)過程中注重開放與探索是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新精神的有效途徑。條件的不確定性,結(jié)構(gòu)的多樣性,思維的多向性,解答的層次性,過程的探索性,知識(shí)的綜合性,情景的模擬性,內(nèi)涵的發(fā)展性,過程開放或結(jié)論開放的問題能形成學(xué)生積極探索問題的情景。解這類題的依據(jù)和方法不唯一,需要學(xué)生根據(jù)已知條件,從基礎(chǔ)知識(shí)和基本數(shù)學(xué)思想方法出發(fā),結(jié)合基本圖形抓住本質(zhì)聯(lián)系,積極探索方可解決。這樣的習(xí)題為開放探索性問題。開放探索性問題主要表現(xiàn)形式有如下幾種。

條件開放與探索

給出問題的結(jié)論,讓學(xué)生探尋使結(jié)論成立應(yīng)具備的條件,而滿足結(jié)論的條件往往不唯一。這樣的問題是條件開放性問題,要求學(xué)生善于從問題的結(jié)論出發(fā),逆向追索,多途尋因。這一過程主要培養(yǎng)學(xué)生的分析、歸納和發(fā)散能力。

例 如果四邊形ABCD滿足條件( ),那么這個(gè)四邊形的對(duì)角線AC和BD互相垂直(只需填寫一組你認(rèn)為適當(dāng)?shù)臈l件)。解:四邊形ABCD是菱形;四邊形ABCD是正方形;∠ADB+∠DAC=90o,等等。解析:這是一道補(bǔ)充條件的開放性題,解決這類題的方法是假設(shè)結(jié)論成立,逐步探索其成立的條件,根據(jù)四邊形的性質(zhì)得出結(jié)論。

結(jié)論開放與探索

一般是指給出問題的條件讓學(xué)生根據(jù)條件探索相應(yīng)的結(jié)論,并且符合條件的結(jié)論往往呈現(xiàn)多樣性,這就是結(jié)論開放性問題。這類問題常用解題思路是充分利用已知條件或圖形特征,進(jìn)行猜想、類比、聯(lián)想、歸納,透徹分析出給定條件下可能存在的結(jié)論,然后經(jīng)過論證作出取舍。

例 給出一個(gè)函數(shù),甲、乙、丙3位學(xué)生分別指出這個(gè)函數(shù)的一個(gè)性質(zhì)。甲說,第一象限內(nèi)有它的圖象;乙說,第三象限內(nèi)有它的圖象;丙說,在每個(gè)象限內(nèi),y隨x的增大而減小。請(qǐng)寫一個(gè)滿足上述性質(zhì)的函數(shù)解析式。解析:本題難度較小,主要考查反比例函數(shù)的性質(zhì)的靈活運(yùn)用,必須滿足3個(gè)條件,例如y=1/x (注:y=k/x,只要k>0即可)

策略開放與探索

策略開放與探索性問題,一般指解題方法不唯一或解題路徑不明確的問題,要求學(xué)生在解題過程中不因循守舊,不墨守成規(guī),通過積極思考創(chuàng)新求索,優(yōu)化解題策略,活用解題方法。

例 在平面上有且只有4個(gè)點(diǎn),這4個(gè)點(diǎn)有一個(gè)獨(dú)特的性質(zhì),每2點(diǎn)之間的距離有且只有2種長(zhǎng)度。正方形ABCD有AB=BD=CD=DA≠AC=BD,請(qǐng)畫出具有這種獨(dú)特性質(zhì)的另外4種不同的圖形,并標(biāo)明相等的線段。解析:本題依據(jù)平面唯一的4點(diǎn),應(yīng)具有的獨(dú)特性質(zhì)為素材,編擬出一道以“方案設(shè)計(jì)”為背景的開放性問題。這就要求學(xué)生即善于動(dòng)腦,又善于動(dòng)手。因此,從題的條件和要求來說,要從平面上唯一的4點(diǎn)構(gòu)成6條線段入手,分別設(shè)計(jì)5條、4條、3條、兩條分別相等的情形。

情境開放與探索

給出問題的實(shí)際情境,要求學(xué)生建立數(shù)學(xué)模型,尋找切合實(shí)際的多種解決實(shí)際問題的方法,或運(yùn)用數(shù)學(xué)設(shè)計(jì)各種方案為決策提供依據(jù),這類問題稱之為情境開放問題。它常常以實(shí)際情境或現(xiàn)實(shí)生活為背景,涉及到社會(huì)、生產(chǎn)、科技、經(jīng)濟(jì)以及數(shù)學(xué)本身等各個(gè)方面,著重培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)化的能力。

例 白官屯鎮(zhèn)一中九年級(jí)一班原計(jì)劃用勤工儉學(xué)收入的66元錢,同時(shí)購(gòu)買單價(jià)分別為3元、2元、1元的甲、乙、丙3種紀(jì)念品獎(jiǎng)勵(lì)參加?！八囆g(shù)節(jié)”活動(dòng)的學(xué)生,已知購(gòu)買乙種紀(jì)念品的件數(shù)比購(gòu)買甲種紀(jì)念品的件數(shù)多2件,而甲種紀(jì)念品的件數(shù)不少于10件,且購(gòu)買甲種紀(jì)念品的費(fèi)用不超過總費(fèi)用的一半。若購(gòu)買甲、乙、丙3種紀(jì)念品恰好用了66元錢,問可有幾種購(gòu)買方案,每種方案中購(gòu)買的甲、乙、丙3種紀(jì)念品各多少件?

解 設(shè)購(gòu)買的甲、乙、丙3種紀(jì)念品的件數(shù)分別為x、x、z件。根據(jù)題意,得

∵x≥10且3x≤66/2,∴10≤x≤11。又x是整數(shù),∴x=10或x=11。當(dāng)x=10時(shí),y=10+2=12,z=65-5×10=12;當(dāng)x=11時(shí),y=11+2=13,z=65-5×11=7?！嗫捎?種方案。

規(guī)律開放與探索

規(guī)律探索主要有數(shù)、式、符號(hào)及圖形的變化規(guī)律。解這類題的一般方法是根據(jù)提供的若干個(gè)特例,經(jīng)過由特殊到一般的推理過程,通過觀察、猜想、類比、歸納、驗(yàn)證,得出一般性的規(guī)律和結(jié)論,從而發(fā)現(xiàn)題目中所蘊(yùn)含的本質(zhì)規(guī)律與特征。

例 1)觀察一列數(shù)2、4、8、16、32…發(fā)現(xiàn)從第二項(xiàng)開始,每一項(xiàng)與前一項(xiàng)之比是一個(gè)常數(shù),這個(gè)常數(shù)是( );根據(jù)此規(guī)律,如果an(n為正整數(shù))表示這個(gè)數(shù)列的第n項(xiàng),那么a18=( ),an=( )。答案:2,218,2n。

(作者單位:河北省唐山市豐潤(rùn)區(qū)白官屯鎮(zhèn)一中)