中職學(xué)生函數(shù)概念學(xué)習(xí)的個(gè)案研究

黃惠如

【摘 要】函數(shù)概念是中職數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,但同時(shí)又是學(xué)生最難理解的內(nèi)容之一。本文通過(guò)對(duì)中職學(xué)生函數(shù)概念學(xué)習(xí)的個(gè)案研究,提出了在函數(shù)概念教學(xué)中,加強(qiáng)“變量”意識(shí)培養(yǎng)、全面展現(xiàn)函數(shù)表示、漸進(jìn)滲透明晰概念、注重“數(shù)形結(jié)合”思想等四點(diǎn)建議。

【關(guān)鍵詞】函數(shù)概念 個(gè)案研究 學(xué)生

一、個(gè)案研究的目的

函數(shù)概念是中職數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容,同時(shí)函數(shù)也成為中學(xué)數(shù)學(xué)中的紐帶。因此,學(xué)生學(xué)好函數(shù)知識(shí),可促使學(xué)生更好地掌握中學(xué)數(shù)學(xué)中的基礎(chǔ)知識(shí),有利于學(xué)生以函數(shù)所反映的運(yùn)動(dòng)變化、相互聯(lián)系的觀點(diǎn)來(lái)貫穿所學(xué)的基礎(chǔ)知識(shí),形成良好的知識(shí)體系。而函數(shù)概念發(fā)展的曲折性和函數(shù)定義的多樣性必然導(dǎo)致學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解是多種多樣的,會(huì)造成理解上的困難。因此,有必要研究中職生對(duì)函數(shù)概念理解的具體狀況。本人選擇了一些學(xué)習(xí)態(tài)度較好、智力狀況一般、數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)狀況一般的學(xué)生的學(xué)習(xí)片斷作個(gè)案研究,以此來(lái)了解中職生對(duì)函數(shù)概念學(xué)習(xí)的把握情況。

二、個(gè)案研究的過(guò)程

同學(xué)A,女,中職一年級(jí)會(huì)計(jì)專業(yè)學(xué)生,對(duì)人友善,學(xué)習(xí)認(rèn)真踏實(shí),智力活動(dòng)表現(xiàn)一般,按中考數(shù)學(xué)成績(jī)?cè)谌?1名學(xué)生中排名31,遇到不懂的問(wèn)題愛(ài)請(qǐng)教老師和同學(xué)。

在學(xué)習(xí)了函數(shù)的表示法后,同學(xué)A和我進(jìn)行了一次討論:

A:我覺(jué)得課本上的例子氣溫隨時(shí)間變化的情況不是函數(shù)關(guān)系。

T:為什么?

A:因?yàn)樗膱D像不是直線或光滑的曲線。

T:你認(rèn)為函數(shù)是什么?

A:起碼是一個(gè)等式,并且含有兩個(gè)未知數(shù),如初中學(xué)過(guò)的一次函數(shù)、二次函數(shù)、反比例函數(shù)都可以用等式表示,而且它們的圖像都是直線或光滑的曲線。

看來(lái),學(xué)生A用函數(shù)的某些表象替代了函數(shù)概念的本質(zhì)特征,以偏蓋全。我不得不安排在自習(xí)課給她補(bǔ)習(xí)函數(shù)的概念、三要素,特別是對(duì)對(duì)應(yīng)法則的認(rèn)識(shí)這些知識(shí)點(diǎn),讓她加深對(duì)函數(shù)概念的本質(zhì)理解。

過(guò)了一兩個(gè)星期,我布置了一道作業(yè)“求函數(shù)y=x2-2x-3在[0,3]內(nèi)的最小值”。同學(xué)A是這樣解答的:因?yàn)閒(0)=-3,f(3)=0,所以函數(shù)在在[0,3]內(nèi)的最小值是-3。她的解釋是初中時(shí)老師就是這樣教的,至于為什么要這樣解她不知道也沒(méi)有追究。我翻看了她的初中教科書,的確有這樣的求函數(shù)最值的題目,但是在函數(shù)的某個(gè)單調(diào)區(qū)間內(nèi)求解,兩道題目的這種區(qū)別同學(xué)A并沒(méi)有注意。和同學(xué)A同一解法的同學(xué)占了多數(shù),他們都把求函數(shù)的最值問(wèn)題看作是求代數(shù)式的值,亦即許多學(xué)生對(duì)函數(shù)的理解只停留在簡(jiǎn)單運(yùn)算上,他們并沒(méi)有真正的理解函數(shù)的動(dòng)態(tài)變化過(guò)程,沒(méi)有把函數(shù)看作變量研究。我不得不在課堂上再次講解函數(shù)的單調(diào)性問(wèn)題。

這次后同學(xué)A的課堂練習(xí)及課后作業(yè)都沒(méi)有什么特別的地方。在第三章《函數(shù)》的測(cè)驗(yàn)中還考了全班第10名。然而第四章《指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)》的測(cè)驗(yàn)卻掉到43名。這給她的打擊很大,我也吃了一驚。我想了解原因。

T:這次測(cè)驗(yàn)?zāi)愕某煽?jī)不怎么理想,你能談?wù)勥@段時(shí)間的學(xué)習(xí)情況嗎?

A:平時(shí)我還是能聽(tīng)明白你講課的內(nèi)容,作業(yè)也能應(yīng)付,但在測(cè)驗(yàn)中我發(fā)現(xiàn)自己很多基礎(chǔ)的東西都忘記了,很多性質(zhì)也攪在一起,我只憑模模糊糊的印象硬著頭皮作答。

T:是這樣嗎?那么你說(shuō)說(shuō)你是如何區(qū)別y=a瑇和y=log璦x這兩個(gè)函數(shù)的?

A:不知道,我經(jīng)常把它們弄混。

T:你是如何記憶這兩個(gè)函數(shù)的性質(zhì)的?

A:主要按課本上學(xué)習(xí)它們的先后順序記憶。

T:你能否畫圖說(shuō)明?

(A努力地回憶這兩個(gè)函數(shù)的圖象,但把兩種圖象混在一起了。)

學(xué)生A對(duì)待數(shù)學(xué)科目表現(xiàn)出屢敗屢戰(zhàn)的執(zhí)著,然而,她的認(rèn)真努力并沒(méi)能使她很好的掌握函數(shù)知識(shí)。

三、關(guān)于函數(shù)概念教學(xué)的反思

1.加強(qiáng)“變量”意識(shí)培養(yǎng)

人類的認(rèn)識(shí)規(guī)律是先從具體事物開(kāi)始,再上升到抽象變化的高度。學(xué)生的學(xué)習(xí)過(guò)程也是這樣。從小學(xué)的“數(shù)”到初中的“符合語(yǔ)言”是一個(gè)飛躍,從初中的“定量”到高中的“變量”是一個(gè)更大的飛躍。從學(xué)生A的個(gè)案可以看到,在學(xué)生的頭腦中函數(shù)只等同于方程或等式,求函數(shù)的最值就是求代數(shù)式的值,他們還未形成變量的觀點(diǎn)去理解函數(shù)概念的相關(guān)問(wèn)題。所以在函數(shù)的教學(xué)中,首先要有意識(shí)地、逐步地培養(yǎng)學(xué)生的“變量意識(shí)”。講清變量“x”、“y”究竟代表什么,范圍怎樣,可以怎樣變化,可以怎樣替換,兩變量之間的關(guān)系如何,使學(xué)生明白如果定義域和值域相同,“ f(x)”和“f(t)”是兩個(gè)完全相同的函數(shù)。只有當(dāng)學(xué)生認(rèn)識(shí)“變量”、掌握“變量”,進(jìn)而喜歡上“變量”,形成一種“變量意識(shí)”,才會(huì)更好的掌握函數(shù)概念,才會(huì)完成初等數(shù)學(xué)中這個(gè)思維層次的飛躍。

2.全面展現(xiàn)函數(shù)表示

學(xué)生A對(duì)函數(shù)概念認(rèn)識(shí)的以偏蓋全,既有她自身理解的主觀原因,也有初中課本選取編排的客觀因素。初中教科書介紹了具體的函數(shù),如一次函數(shù)、二次函數(shù)的圖像、性質(zhì)及解析式表示,致使學(xué)生認(rèn)為函數(shù)都可以用解析式表示,函數(shù)的圖像都是連續(xù)光滑的直線或曲線。學(xué)生對(duì)函數(shù)多種表示方法的理解掌握程度直接地反映了學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解程度。學(xué)生理解了函數(shù)的表示方法的多樣性也就加深了對(duì)函數(shù)概念本質(zhì)的理解。在函數(shù)概念教學(xué)中,可以通過(guò)列舉心電圖、幼兒生長(zhǎng)表等例子,利用圖像、表格、符號(hào)、箭頭等多種形式來(lái)表示函數(shù),使學(xué)生在不同的表示法中認(rèn)識(shí)同一個(gè)概念,反思多種表示法背后函數(shù)概念的共同點(diǎn),從而體會(huì)形式與本質(zhì)之間的緊密聯(lián)系,進(jìn)一步理解函數(shù)概念的本質(zhì)。

3.漸進(jìn)滲透明晰概念

函數(shù)概念的抽象性和函數(shù)表示的多樣性決定了學(xué)生函數(shù)概念的形成不能一蹴而就,它是一個(gè)反復(fù)體會(huì)、螺旋上升的過(guò)程,是一個(gè)由淺入深、循序漸進(jìn)的過(guò)程。中職學(xué)生在初中函數(shù)變量說(shuō)學(xué)習(xí)的基礎(chǔ)上,通過(guò)函數(shù)對(duì)應(yīng)說(shuō)學(xué)習(xí)進(jìn)一步理解函數(shù)的本質(zhì)屬性,掌握函數(shù)的形式化描述,明確其三要素及表示符號(hào);然后聯(lián)系生活實(shí)際問(wèn)題,闡述函數(shù)不同的表示方法和基本性質(zhì),構(gòu)建函數(shù)的一般概念;再通過(guò)對(duì)指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)等新的具體函數(shù)的研究,加深學(xué)生對(duì)函數(shù)概念的理解。需要注意的是,在漸進(jìn)的教學(xué)過(guò)程中,教師始終要有一個(gè)“概念教學(xué)”的意識(shí)。

4.注重“數(shù)形結(jié)合”思想

學(xué)生A把函數(shù)的圖像與性質(zhì)孤立對(duì)待,不會(huì)利用圖像記憶性質(zhì),也就更不會(huì)利用圖像幫助解決數(shù)學(xué)問(wèn)題了。在初中以前的數(shù)學(xué)知識(shí),“數(shù)”與“形”是分開(kāi)的,但到中職階段學(xué)習(xí)了函數(shù)后,由于函數(shù)概念需要同時(shí)考慮幾種表示,并要協(xié)調(diào)各種表示之間的關(guān)系,故而常常需要在各種表示之間進(jìn)行轉(zhuǎn)換。因此,在函數(shù)教學(xué)中,應(yīng)注重“數(shù)形結(jié)合”思想的培養(yǎng)。“數(shù)形結(jié)合”的實(shí)質(zhì)就是將抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言與直觀的圖形結(jié)合起來(lái),實(shí)現(xiàn)抽象概念與具體形象的聯(lián)系和轉(zhuǎn)化,化難為易,化抽象為直觀。心理學(xué)理論告訴我們,利用圖形語(yǔ)言進(jìn)行記憶具有符號(hào)語(yǔ)言所不能及的優(yōu)越性。函數(shù)的性質(zhì)都可采用圖形語(yǔ)言來(lái)幫助理解和記憶,這樣學(xué)生學(xué)起來(lái)就會(huì)感到很輕松而且記憶也很深刻。同時(shí)訓(xùn)練“數(shù)”“形”互化,建立圖形語(yǔ)言與符號(hào)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換關(guān)系,利用圖形語(yǔ)言來(lái)輔助思維和表達(dá)思維,使學(xué)生更易接受和掌握函數(shù)知識(shí)。

參考文獻(xiàn):

[1]郝妍琴.關(guān)于中職生函數(shù)概念理解的調(diào)查研究[J].教育與職業(yè),2006,(6):114.