陳 波 王 璇

【摘 要】數(shù)學分析的教學改革應該主要體現(xiàn)在教學內容和方法選擇上。本文結合作者的實際教學經(jīng)驗,初步分析了如何結合課程特點,從教學內容和方法這兩個方面入手,推進數(shù)學分析的教學改革。 【關鍵詞】信息與計算科學專業(yè) 數(shù)學分析 專業(yè)特色 模型化 教學改革 “信息與計算科學”(以下簡稱“信計”)作為一個新型的數(shù)學類專業(yè), 它的設置不僅符合新世紀數(shù)學人才的培養(yǎng)戰(zhàn)略, 同時也為數(shù)學這門古老的學科注入了新的活力。它反映了社會對數(shù)學學科人才的需求熱點, 為各高校數(shù)學專業(yè)的招生帶來正面影響。信息與計算科學專業(yè)是由信息科學、計算科學等交叉滲透而形成的一個新的理科專業(yè),著眼于培養(yǎng)具有良好的數(shù)學基礎和數(shù)學思維能力,掌握信息與計算科學的基本理論、方法和技能,受到科學研究的訓練,并能解決信息處理和科學與工程計算等實際問題的應用型專門人才。[1]數(shù)學分析是信息與計算科學專業(yè)最重要的一門基礎課程,在學生知識結構中占有很大的成分。它是初等數(shù)學的總結、提煉和升華,同時又是信計專業(yè)后繼課程的基礎。很多后繼課程在本質上都可以看作是它的延伸、深化或應用,至于它的基本概念、思想和方法,更可以說是無處不在。因此,結合專業(yè)特色,引導和幫助學生學好數(shù)學分析這門課程,努力提高教學效率,對于實現(xiàn)培養(yǎng)目標,培養(yǎng)創(chuàng)新人才具有十分重要的意義。1. 教學內容的選擇。數(shù)學分析出于對微積分在理論體系上的嚴格化和精確化,從而確立了在整個自然科學中的基礎地位,并運用于自然科學的各個領域。同時,數(shù)學研究的主體是經(jīng)過抽象后的對象,數(shù)學的思考方式有鮮明的特色,包括抽象化,邏輯推理,最優(yōu)分析,符號運算等[2]。這些知識和能力的培養(yǎng)需要通過系統(tǒng)、扎實而嚴格的基礎教育來實現(xiàn),數(shù)學分析課程正是其中最重要的一個環(huán)節(jié)。然而,根據(jù)國家專業(yè)設置要求, 信計專業(yè)應建立在扎實的數(shù)學基礎及計算機理論及應用之上, 培養(yǎng)能利用信息進行處理分析應用的專業(yè)人才。因此信計專業(yè)數(shù)學分析的教學既不同于數(shù)學專業(yè)又不同于計算機應用專業(yè), 更不同于一般工科專業(yè)。由于總教學時數(shù)以及生源等客觀條件限制, 對信計專業(yè)學生的數(shù)學素質培養(yǎng)要達到數(shù)學專業(yè)的要求顯然是不現(xiàn)實的, 也是不必要的, 況且該專業(yè)對數(shù)學素質的要求重點與數(shù)學專業(yè)學生有所不同, 這就存在對數(shù)學分析教學內容進行側重和取舍的問題。正因為以上種種原因, 我們有必要對信計專業(yè)的數(shù)學分析教學進行認真地分析研究,以體現(xiàn)信計專業(yè)數(shù)學分析教學的專業(yè)特色。1.1抓住主線,學習精髓筆者認為,數(shù)學分析不僅是一門基礎課,同時也是大學生的入門課程,要想讓學生對專業(yè)產(chǎn)生興趣,片面的強調數(shù)學的結構化、抽象化和公理化,并不太適宜。而應該使課程教學更加“通俗化”,沒有必要強迫學生把一些技巧練得爐火純青,著重點應該放在讓學生在了解整體思想的基礎上,掌握核心概念。讓學生把主要的精力集中到那些最基本、最主要的內容上,作為信計專業(yè)基礎課,數(shù)學分析的教學內容不在于廣度,而在于是否能讓學生把與本身專業(yè)關系密切的那些內容真正的學透學精,是否能讓學生從整體上把握和理解好這門課程的思想精髓。這就要求授課老師不僅要清晰地把握數(shù)學分析的整個脈絡,更要深刻體會信計專業(yè)的專業(yè)特點。就數(shù)學分析而言,雖然各種教材形形色色,但其本質上都是以極限為工具,研究具有良好性質的實變量實值函數(shù)的分析性質,即連續(xù)性、可微性和可積性。它的主線為“函數(shù)——極限——連續(xù)——微分——積分——級數(shù)”。函數(shù)部分解決的是研究對象問題,極限部分解決的是研究方法和工具問題,后面才是研究函數(shù)的具體性質。因此,教師不應依賴于完全教材,應當將教材定位為一種參考書,結合本專業(yè)的特點,著重知識點的講解和重點難點的把握。比如函數(shù)項級數(shù),它實際上是序列極限的新形式。我們知道在計算機的初等函數(shù)計算中大量的采用了各種級數(shù)的計算方法,包括小波分析、數(shù)字信號處理中的Z-變換、傅立葉變換等等都基于數(shù)學分析中級數(shù)的思想。因此,級數(shù)這部分內容就應該成為一個顯著的側重點。1.2 提高學生的數(shù)學素養(yǎng)數(shù)學的素質教育既是一個理論問題又是一個實踐問題。從信計專業(yè)角度而言, 信息處理的理論和方法要求學生具備對大量信息的采集、傳輸、分類、篩選、壓縮、分析、保密存貯和應用等方面的初步能力, 而要具備這些能力如果沒有良好的數(shù)學素質是不可能的。事實上,如何發(fā)展學生的智力,培養(yǎng)學生的抽象思維能力、事物概括能力和邏輯推理能力應該是數(shù)學素質教育的重要內容。這就需要任課老師對整個信計專業(yè)的主干專業(yè)課程設置有著較深的理解,這樣才能使得數(shù)學分析的教學更好得為后繼課程的學習服務。信息專業(yè)的數(shù)學教育不僅要重視學生數(shù)學知識的獲得與積累,更要注重學生的數(shù)學抽象思維能力、數(shù)學表達能力和數(shù)學應用能力的培養(yǎng)。例如,多重積分的計算就有助于培養(yǎng)學生的空間想象能力;一些概念的符號化語言敘述有助于培養(yǎng)學生的邏輯表達能力;導數(shù)和定積分在物理和幾何上應用有助于培養(yǎng)學生解決實際問題的能力[3]等等。 2. 教學方法的改革隨著現(xiàn)代信息和技術的到來,高等學校的數(shù)學教學方法改革勢在必行,并已逐步顯示出其在培養(yǎng)目標中起到的重要作用。通過教學方法及教學手段的改革,增加其時代性、針對性、時效性和主動性,從而培養(yǎng)學生的個性發(fā)展和合作精神,應該稱為高校教學的一個重要目標。信計專業(yè)與信息科學緊密相關,數(shù)學分析的教學方法也應被打上專業(yè)特色的烙印。2.1 培養(yǎng)學習興趣, 加強自主學習學生普遍認為數(shù)學分析難學,對這門課的學習常常感到無從下手,絕大多數(shù)學生不能領悟數(shù)學分析的思想和方法。因而,過多強調課程抽象理論和被動的學習方式,很容易讓本專業(yè)學生放棄或放松學習,反而起到負面作用。微積分的形成和發(fā)展直接得益于物理學、天文學、幾何學等研究領域的進展和突破。因此,在數(shù)學分析教學中,應適度回溯數(shù)學與其它學科相輔相成的發(fā)展歷史和數(shù)學史上一些關鍵人物做出重大發(fā)現(xiàn)的思維軌跡,提高學生學習數(shù)學的興趣,引導學生逐步理解數(shù)學的本質及數(shù)學研究的一般途徑和規(guī)律。例如,對于導數(shù)的教學,可以把它當作一個研究課題,著重講授牛頓和萊布尼茨分別獨立地發(fā)現(xiàn)導數(shù)的原始過程和所用的科學思想方法,順便還可以介紹一些相與之有關的奇聞軼事。不僅能引導學生追蹤科學大師們的足跡,追尋他們的思維脈絡,發(fā)掘他們發(fā)現(xiàn)知識的原始過程,而且能使得學生感到跟大師們在心靈上如此接近,增加他們的學習興趣和專業(yè)自信心。雖然以教師的講授為主體,但講授的方法已經(jīng)發(fā)生了實質性的變化,從單純的知識傳授改變成熔知識、能力、素質于一爐,仿佛引導學生參加了研究和發(fā)現(xiàn)的全過程。2.2 融入信息技術,展示專業(yè)魅力在今天,對于許多大學生來說, 計算機和網(wǎng)絡已經(jīng)成為日常生活的一個重要部分, 這就為在數(shù)學教學中出現(xiàn)多媒體教學和網(wǎng)絡教學這樣一些新的教學方法或手段提供了條件。信息技術提供了從多角度探索數(shù)學觀念的途徑,從而極大地豐富了學生進行數(shù)學探索的范圍和質量。[4]信計專業(yè)學生將來的職業(yè)取向不可避免地要和計算機打交道,而認知科學已經(jīng)表明,計算機可以比課本更好地支持不同的思維和學習狀態(tài)。近一二十多年來,計算機的軟硬件技術突飛猛進,極大地改變了人們的生活方式、思維方式和科學研究的方式。數(shù)學分析教學應當順應潮流,反映這一發(fā)展趨勢。對一些隨著計算機和軟件技術的進步而失去了往日重要性的內容(如函數(shù)作圖、某些復雜的積分技巧等)只講基本思想,不作過高要求;而對日趨重要的內容,則加以強化(如近似求根、數(shù)值積分等)。同時,為了真正提高學生將數(shù)學和計算機相結合解決實際問題的綜合能力,要加強數(shù)值計算等方面的基本訓練,對數(shù)值計算方面的“計算習題”(如泰勒公式近似、求方程的近似根、定積分的近似計算、反常積分的近似計算等)。教師應切實加強指導,在條件允許下,要求學生在教師的指導下學習操作數(shù)學軟件,在計算機上獨立完成實際計算。微積分本身正是有關計算方法的理論基礎,在數(shù)學分析課程中介紹有關數(shù)值計算的基本思想和方法,并進行必要的訓練,對于提高學生的數(shù)學素養(yǎng)、應變能力和社會競爭力大有益處,對于信息與計算科學專業(yè)學生來說,顯得更加重要。當然,技術不能代替數(shù)學教師, 也不能作為基本的理解和直覺的代替品。教師必須謹慎地決定在什么時候以及如何使用技術, 他們應該保證技術能夠加強學生的數(shù)學思維。

2.3 “模型化”教學[5]數(shù)學分析知識本身具有豐富的內涵,其內涵表現(xiàn)在個體的靈活運用之中,這樣學生才能在豐富的生活中感受到數(shù)學知識,但這只是學習數(shù)學的一個方面,而通過把數(shù)學運用到實際生活中,才是學生真正掌握數(shù)學知識的具體表現(xiàn)?！皵?shù)學生活化”理念的提出有利于學生理解數(shù)學的抽象及應用過程, 并體驗數(shù)學的價值, 形成正確的數(shù)學觀。事實上,數(shù)學分析的許多核心概念正是來源于人們解決實際生產(chǎn)生活中的難題,“案例化”和“模型化”教學方法正能體現(xiàn)從具體到抽象、再從抽象到具體的一個完整的認知過程, 而數(shù)學和生活之間的雙向建構則能使學生更好地理解數(shù)學的意義。例如,通過割圓術求圓面積來介紹極限理論的思想;使用極限的思想介紹分形幾何中著名的Koch雪花的遞歸構造模型,拓展學生的知識視野;用導數(shù)和定積分來解決許多實際中的工程、經(jīng)濟問題等等。不僅可在課程教學過程中使用實例,而且在平時作業(yè)甚至考試中融入實例,使數(shù)學建模的思想能在數(shù)學分析學習的方方面面得到體現(xiàn)。把數(shù)學建模的思想方法融入到數(shù)學分析之中,目的是要促進學生更好地學習和掌握數(shù)學分析的基本知識,提高學生的數(shù)學應用意識和創(chuàng)新能力,在實施過程中應當處理好教學的“嚴謹性”和“實用性”之間的關系,促進教學改革的良性發(fā)展。3. 總結教學內容和教學方法是數(shù)學分析教學改革的兩個重要主題,對其有針對性的研究,實質上是解決數(shù)學分析知識的“教化”與“內化”如何統(tǒng)一的問題。注重在實際教學過程中,在這兩個方面都能夠很好地體現(xiàn)專業(yè)特色,使得信計專業(yè)的數(shù)學分析教學既不違背數(shù)學學科的本質內涵,又能區(qū)別于其他專業(yè)的微積分教學。進而,更好地為信計專業(yè)培養(yǎng)數(shù)學素養(yǎng)和信息科學技能兼?zhèn)涞膽眯腿瞬胚@一培養(yǎng)目標服務。參考文獻:[1] 教育部數(shù)學與統(tǒng)計學教學指導委員會數(shù)學類教學指導分委員會. 信息與計算科學專業(yè)教學規(guī)范(試行稿)[J]. 大學數(shù)學,2003, (1) :6-10. [2] M.克萊茵.古今數(shù)學思想[M].上海:上?？茖W技術出版社,1979.[3] Michelle Classen. Applying math to real life [J]. Pro-Quest Education Journals 2002 (7): 30-31[4] Robert Berry. Technology Education: A Resource for Teaching Mathematics [J]. The Technology Teacher. 2004 (5): 20-25..[5] 胡典順, 趙軍. 對“數(shù)學生活化”的理性反思[J]. 數(shù)學教育學報. 2007. (8).71-74