淺談抽象函數(shù)問題的處理方法

范天華

【摘 要】 本文針對(duì)學(xué)生對(duì)于抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)存在困難,不太能理解和接受,以及抽象函數(shù)的特點(diǎn),結(jié)合多年高考復(fù)習(xí)實(shí)踐,歸納總結(jié)了高考中抽象函數(shù)的幾種常見題型和解決問題的方法:賦值法,變量代換法,遞推法,聯(lián)想建模法,求函數(shù)周期法。

【關(guān)鍵詞】 抽象函數(shù) 賦值 變量代換 建模

抽象函數(shù)是指沒有具體函數(shù)解析式,具備函數(shù)的一些基本性質(zhì)(如單調(diào)性,奇偶性,周期性,函數(shù)的定義域、經(jīng)過的特殊點(diǎn)、遞推式、部分圖象特征等)的函數(shù)。抽象函數(shù)是中學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)部分的難點(diǎn),在平時(shí)的教學(xué)以及和學(xué)生的交流中都深深感到學(xué)生對(duì)于抽象函數(shù)的學(xué)習(xí)存在很大困難,不太能理解和接受。近幾年高考中也常出現(xiàn)涉及抽象函數(shù)的題目,大多考查的是函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對(duì)稱性和周期性。它既是教學(xué)中的難點(diǎn),又是近幾年來高考的熱點(diǎn)。所以我針對(duì)做抽象函數(shù)的題目需要有嚴(yán)謹(jǐn)?shù)倪壿嬎季S能力、豐富的想象力以及函數(shù)知識(shí)靈活運(yùn)用的能力,結(jié)合我這幾年高考復(fù)習(xí)實(shí)踐,歸納總結(jié)高考中常見的抽象函數(shù)解決問題的方法,僅供參考。

1 賦值法

有些抽象函數(shù)的性質(zhì)是用條件恒等式給出的,此類問題只要抓住函數(shù)特性是定義域上恒等式,就可以通過賦特殊值法使問題得以解決。

例:定義在R上的奇函數(shù)f(x)滿足f(x+2)=-f(x),則f(6)= ( )

(A)-1 (B)0 (C)1 (D)2

解:因?yàn)閒(x)是定義在R上的奇函數(shù),知f(0)=0,又對(duì)任意x∈R,f(x)滿足f(x+2)=-f(x),所以,取x=4得f(4+2)=-f(4)=-f(2+2)=f(2)=-f(0)=0,故選B。

例:已知函數(shù)f(x)對(duì)一切x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y),求證:①f(x)是奇函數(shù);②若f(x)的圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,則f(x)恒等于0。

解①:在f(x+y)=f(x)+f(y)中,令y=-x,得f(0)=f(x)+f(-x),令x=y=0,得f(0)=f(0)+f(0)∴f(0)=0∴f(x)+f(-x)=0,即f(-x)=-f(x)∴f(x)是奇函數(shù)。

解②:f(x)是奇函數(shù),則f(-x)=-f(x).且f(0)=0,圖象關(guān)于直線x=1對(duì)稱,即點(diǎn)(x,y),(2-x,y)同在曲線上,有f(2-x)=f(x),且f(2)=f(0)=0,又已知f(x+y)=f(x)+f(y),有f(x)=f(2-x)=f(2)+f(-x)=f(2)-f(x)?圯2f(x)=f(2)=0即f(x)=0.

方法提煉:①使用賦值法時(shí),賦值的目的要明確,本題就是要湊出f(0);f(-x)與f(x)的關(guān)系;②領(lǐng)會(huì)函數(shù)式變換的依據(jù)、目的和策略的靈活性。

2 變量代換法

若問題與函數(shù)的單調(diào)性或抽象不等式有關(guān),可以通過變量代換等數(shù)學(xué)手段將抽象函數(shù)具有的性質(zhì)與函數(shù)的單調(diào)性等定義式建立聯(lián)系,為問題的解決帶來極大的方便。

例:已知函數(shù)f(x)的定義域是x≠0的一切實(shí)數(shù),對(duì)定義域內(nèi)的任意x1,x2都有f(x1·x2)=f(x1)+f(x2),且當(dāng)x>1時(shí)f(x)>0,f(2)=1,求證:①f(x)是偶函數(shù);②f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù);③解不等式f(2x2-1)<2

解①:令x1=x2=1,得f(1)=2f(1) ∴f(1)=0,令x1=x2=-1,得f(1)=0, ∴ f(-x)=f(-1·x)=f(-1)+f(x)=f(x)

∴ f(x)是偶函數(shù)

解②:設(shè)x2>x1>0,則f(x2)-f(x1)=f(x1·■)-f(x1)=f(x1)+f(■)-f(x1)=f(■)∵ x2>x1>0∴ ■>1∴ f(■)>0,即f(x2)-f(x1)>0∴ f(x2)>f(x1) ∴ f(x)在(0,+∞)上是增函數(shù)。

解③:Qf(2)=1∴ f(4)=f(2)+f(2)=2∵ f(x)是偶函數(shù), ∴ 不等式f(2x2-1)<2可化為f(|2x2-1|)

例:設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y,都有f(x+y)=f(x)+f(y),若x>0時(shí)f(x)<0,且f(1)=-2,求f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值。

解:令x=y=0,得f(0)=0,令x=-y,得f(-x)+f(x)=f(0)=0,即f(x)為奇函數(shù),設(shè)x10,由已知得f(x2-x1)<0,故f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)+f(x1)

3 遞推法

對(duì)于已知條件有遞推式且定義在正整數(shù)集N*上的抽象函數(shù),就用遞推法來探究,尋求解題方法。

例:已知f(x)是定義在R上的函數(shù),且f(x+2)(1-f(x))=1+f(x),求證:①f(x)是周期函數(shù);②若f(1)=2+■,試求f(2001),f(2005)的值。

解①:由已知f(x+2)=■ ∴ f(x+4)=f(2+(x+2))=■■=-■

f(x+8)=f((x+4)+4)=-■=f(x),周期為8.

解②:f(2001)=f(1)=2+■

f(2005)=f(5)=f(1+4)=-■=-2+■

方法要點(diǎn):用活條件f(x+2)=■

f(x+4)=f(2+(x+2))=-■

例:是否存在這樣的函數(shù)f(x),使下列三個(gè)條件:①f(n)>0,n∈N;②f(n1+n2)=f(n1)f(n2),n1,n2∈N*;③f(2)=4同時(shí)成立?若存在,求出函數(shù)f(x)的解析式;若不存在,說明理由。

解:假設(shè)存在這樣的函數(shù)f(x),滿足條件,得f(2)=f(1+1)=4,解得f(1)=2,又f(2)=4,f(3)=8,由此猜想:f(x)=2x(x∈N*)(數(shù)學(xué)歸納證明 略)

4 聯(lián)想建模法

此方法是通過對(duì)題目的特征進(jìn)行觀察、分析、類比和聯(lián)想,尋找具體的函數(shù)模型,再由具體函數(shù)模型的圖象和性質(zhì)來指導(dǎo)我們找到解題思路,及解題突破口進(jìn)而解決抽象函數(shù)問題的方法。應(yīng)掌握下面常見的特殊函數(shù)模型:①正比例函數(shù)f(x)=kx (k≠0),滿足f(x+y)=f(x)+f(y);②冪函數(shù)f(x)=xn滿足f(xy)=f(x)f(y);③指數(shù)函數(shù)f(x)=ax (a>0,a≠0),滿足f(x+y)=f(x)f(y);④對(duì)數(shù)函數(shù)f(x)=logax (a>0,a≠0),滿足f(xy)=f(x)+f(y)

例:定義在R上的函數(shù)y=f(x),f(0)≠0,當(dāng)x>0時(shí),f(x)>1,且對(duì)任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b).求證:①f(0)=1;②對(duì)任意的x∈R,恒有f(0)>0;③f(x)是R上的增函數(shù);④若f(x)f(2x-x2)>1,求 x的取值范圍?

分析:從已知條件對(duì)任意的a,b∈R,有f(a+b)=f(a)f(b),結(jié)合特殊函數(shù)模型,可以聯(lián)想到指數(shù)函數(shù),進(jìn)一步知道本題中的函數(shù)應(yīng)該是單調(diào)函數(shù),解決問題的突破口就是證明函數(shù)。

證明①:令a=b=0,則f(0)=f2(0),又f(0)≠0

∴ f(0)=1

證明②:當(dāng)x<0時(shí),-x>0∴ f(0)=f(x)f(-x)=1

∴ f(-x)=■>0,又x≥0時(shí)f(x)≥1>0

∴ x∈R時(shí),恒有f(x)>0

證明③:設(shè)x10

∴ f(x2)=f(x2-x1+x1)=f(x2-x1)f(x1)Qx2-x1>0

∴ f(x2-x)>1,又f(x1)>0∴ f(x2-x1)f(x1)>f(x)

∴ f(x2)>f(x1)∴ f(x)是R上的增函數(shù)

解④:由f(x)f(2x-x2)>1,f(0)=1,得f(3x-x2)>f(0),

又f(x)是R上的增函數(shù),∴ 3x-x2>0,0

關(guān)鍵點(diǎn)注:解本題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用題目條件,尤其是③中“f(x2)=f[(x2-x1)+x1]”是證明單調(diào)性的關(guān)鍵,這里體現(xiàn)了向條件化歸的策略。

5 求函數(shù)周期法

已知條件中有型如f(x+a)=f(x+b),(a≠b)或f(x)=-f(x+a),(a≠0)或f(x)=■,(a≠0)的抽象函數(shù)問題,主要是用替換與代入的思想將原條件等式化成周期函數(shù)的定義的形式,從而得到函數(shù)的周期,進(jìn)一步解決問題。

例:f(x)是R上的奇函數(shù),當(dāng)f(x)=-f(x+3),x∈[0,■]時(shí)f(x)=x,則f(2003)=?

解一:Qf(x)=-f(x+3) ∴ f(x)=f(6) ∴ 6是f(x)的一個(gè)周期∴ f(2003)=f(334×6-1)=f(-1)=-f(1)=-1

解二:Qf(x)=-f(x+3),且f(x)是奇函數(shù),

∴ f(-x)=f(x+3)

∴ f(x)關(guān)于直線x=■對(duì)稱,結(jié)合f(x)是奇函數(shù)

∴ 6是f(x)的一個(gè)周期

∴ f(2003)=f(334×6-1)=f(-1)=-f(1)=-1

例:f(x)滿足f(x)=-f(6-x),f(x)=f(2-x),若f(a)=-f(2000),a∈[5,9]且f(x)在閉區(qū)間[5,9]上單調(diào)。求a的值。

解:Qf(x)=-f(6-x) ∴ f(x)關(guān)于點(diǎn)(3,0)對(duì)稱,

Qf(x)=f(2-x)

∴ f(x)關(guān)于直線x=1對(duì)稱,知8是f(x)的一個(gè)周期

∴ f(2000)=f(0)

又Qf(a)=-f(2000) ∴ f(a)=-f(0)

又Qf(x) =-f(6-x) ∴ f(0)=-f(6)

∴ f(a)=f(6) ∴ a=6