負(fù)指數(shù)函數(shù)法a，b系數(shù)確定方法探討

張玉呆

負(fù)指數(shù)函數(shù)法a，b系數(shù)確定方法探討

張玉呆

對計(jì)算地表移動盆地主斷面內(nèi)地表移動變形的負(fù)指數(shù)函數(shù)法a，b系數(shù)確定方法及負(fù)指數(shù)函數(shù)法應(yīng)用過程中應(yīng)注意的問題進(jìn)行了詳細(xì)分析。

地表移動盆地；地表移動變形；負(fù)指數(shù)函數(shù)法；a，b系數(shù)；擬合精度

1 負(fù)指數(shù)函數(shù)法表達(dá)式

為了分析計(jì)算地表移動盆地主斷面內(nèi)地表移動變形情況，提出了各種不同的剖面函數(shù)，負(fù)指數(shù)函數(shù)法就是其中之一。它是由唐山煤炭研究所周國銓、虞萬波等工程師在分析大量實(shí)測資料的基礎(chǔ)上于1965年提出的。這種方法所用公式如下：

式中：W（x）——剖面上任一點(diǎn)橫坐標(biāo)x處下沉值；

Wm——剖面上最大下沉值，這里不區(qū)分充分采動和非充分采動；

x——剖面上任一點(diǎn)橫坐標(biāo)，以最大下沉值點(diǎn)的橫坐標(biāo)為0；

L——半個移動盆地長，即由最大下沉點(diǎn)到盆地邊界點(diǎn)的距離；

a，b——決定于具體地質(zhì)采礦條件的參數(shù)。

各參數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)見圖1。

式（1）公式法在本文討論中簡稱“L”公式法。

“L”公式法在應(yīng)用中存在下列問題：

①坐標(biāo)原點(diǎn)選在最大下沉點(diǎn)，而最大下沉點(diǎn)的確定存在較大誤差，這就使坐標(biāo)原點(diǎn)存在較大誤差，從而影響整個下沉曲線的預(yù)計(jì)精度。

②半個移動盆地長L是根據(jù)最大下沉點(diǎn)和盆地邊界點(diǎn)確定的，由于盆地邊緣部分下沉曲線平緩，而且起伏不規(guī)則，邊界點(diǎn)位置很難準(zhǔn)確確定，因此選點(diǎn)帶有很大的主觀性，這就摻入了人為誤差，使確定的L值誤差較大，從而解出的系數(shù)a，b值往往出現(xiàn)較大差別，不利于實(shí)際應(yīng)用。

為了解決上述問題，1980年唐山煤炭研究所對負(fù)指數(shù)函數(shù)預(yù)計(jì)公式提出了新的計(jì)算公式：

式中：H——開采深度；

c——坐標(biāo)原點(diǎn)平移系數(shù)，取絕對值。各參數(shù)對應(yīng)的坐標(biāo)系統(tǒng)見圖2。

圖2 沿走向主斷面的坐標(biāo)系統(tǒng)（傾向主斷面類似）

式（2） 中，取采區(qū)邊界為坐標(biāo)原點(diǎn)。對式（2）中x/H前“±”號的取法：橫坐標(biāo)x的正向指向煤柱時（圖2 a）取“+”號；橫坐標(biāo)x指向采空區(qū)時（圖2 b）取“-”號。本文均使用圖2a，取“+”號。

式（2）公式法在本文討論中簡稱“H”法。

2 參數(shù)a，b與主要地質(zhì)采礦因素的關(guān)系

在煤層賦存狀態(tài)、采煤方法、頂板管理方法一定的情況下，對矩形工作面來說，其地表移動下沉盆地呈橢圓形，只是由于上覆巖性不同，采動程度不同，使得下沉盆地的范圍不同，下沉值不同。當(dāng)開采深度相同時，上覆巖性愈硬，半盆地長L愈大，最大下沉值愈小；當(dāng)其他條件相同時，采動程度愈充分，盆地半長L愈大，最大下沉值也愈大。

①由式（1）可得拐點(diǎn)t的橫坐標(biāo)：

將式（3） 代入式（1） 得拐點(diǎn)下沉值W（t）：

由此可知：b與Wt/Wm有關(guān)，大量實(shí)測資料已經(jīng)證明，當(dāng)充分采動時，Wt/Wm≈0.5。隨充分采動程度的降低Wt/Wm愈來愈大于0.5，即Wt/Wm隨采動程度的變化而變化，而b隨Wt/Wm的變化而變化，因此b與充分采動程度有關(guān)。

②由式（3） 可得：

由此可知：當(dāng)b一定的情況下，a與xt/L有關(guān)。設(shè)b=3，a=3，6，9時的無因次下沉曲線見圖3。

圖3 b=3，a=3，6，9時的無因次下沉曲線

由圖3可以看出，隨a的變化，曲線對拐點(diǎn)的對稱性基本不變，只是橫向發(fā)育不同罷了，因此a反映了盆地橫向發(fā)育程度，主要與上覆巖性有關(guān)。

③設(shè)已知某一下沉值W（p），則由式（1）可求得該下沉值點(diǎn)的橫坐標(biāo)xp：

若取剖面上任意兩點(diǎn)的W（p1)，W（p2)則其橫坐標(biāo)比值為：

由此可知，任意兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)的比值和參數(shù)a無關(guān)，只決定于b值。這就說明，a值變化不引起剖面上下沉值分布規(guī)律的變化，而只使盆地橫向發(fā)育程度產(chǎn)生改變，即a反映了下沉盆地橫向發(fā)育程度，b反映了剖面上下沉值分布變化規(guī)律，也就是a主要與上覆巖性有關(guān)，b主要與采動程度有關(guān)。

3 通常確定參數(shù)a，b的方法及本文提出的選點(diǎn)法

目前由實(shí)測資料計(jì)算a，b，不管是用“L”法還是“H”法，通常采用2種方法。

一種是用下沉曲線函數(shù)取2次對數(shù)，然后按最小二乘法求解，此法本文稱為“答解法”，其方法如下（以“L”法公式為例推導(dǎo)）。

以上2種方法，答解法確定a，b可使整個下沉剖面上擬合程度分布均勻，缺點(diǎn)是計(jì)算繁雜；拐點(diǎn)法確定a，b可使拐點(diǎn)位置一致且計(jì)算簡便。但拐點(diǎn)也是很難確定的，因?yàn)閮A斜曲線與曲率曲線較下沉曲線的誤差要大得多，由它們確定的拐點(diǎn)精度是不穩(wěn)定的，而拐點(diǎn)的精度直接影響系數(shù)a，b的精度，即影響下沉曲線的擬合精度，所以拐點(diǎn)法精度很難保證。

通過上述分析認(rèn)為，應(yīng)盡量保證最危險(xiǎn)變形區(qū)段下沉曲線的擬合精度，也就是在拐點(diǎn)附近即開采邊界上方最危險(xiǎn)變形區(qū)段內(nèi)的觀測線上取連續(xù)若干觀測點(diǎn)（可視具體情況取4，5，6等點(diǎn)）的下沉值W（x）與橫坐標(biāo)x代替拐點(diǎn)用最小二乘法求解，公式仍用式（14）、式（15），只是式中N為所取觀測點(diǎn)個數(shù)。

這種方法克服了答解法計(jì)算繁雜的缺點(diǎn)，發(fā)揮了它的優(yōu)點(diǎn)，使最危險(xiǎn)變形區(qū)段內(nèi)下沉曲線擬合良好；克服了拐點(diǎn)難以確定的缺點(diǎn)，使計(jì)算較簡單。這種方法簡稱“選點(diǎn)法”。

4 本文分析的主要問題

本文欲通過各種方法求解參數(shù)a，b并計(jì)算預(yù)計(jì)與實(shí)際下沉曲線的擬合精度，主要搞清以下問題：

①L大小不同，參加計(jì)算的測點(diǎn)個數(shù)、位置相同所確定的a，b系數(shù)的大小變化及其擬合精度；

②L大小相同（或“H”法），參加計(jì)算的測點(diǎn)個數(shù)、位置不同所確定a，b系數(shù)的大小變化及其擬合精度；

③答解法、拐點(diǎn)法、選點(diǎn)法當(dāng)邊界點(diǎn)下沉值取10 mm時，“L”法和“H”法中，同一種方法確定參數(shù)a，b的大小變化及其擬合精度；

④“L”法與“H”法中用3種方法確定參數(shù)a，b的大小及其擬合精度。

5 計(jì)算與分析

為了解決上述問題，對平頂山二礦、五礦、十礦3條走向和2條傾向線的實(shí)測資料用不同方法確定參數(shù)a，b，并計(jì)算預(yù)計(jì)與實(shí)際下沉曲線的擬合精度。

由表1（見表1） 可知：L的變化只改變a值的大小，即L減小，a值減??；L對b值無影響，而且確定的a，b系數(shù)對擬合精度無影響，此進(jìn)一步證明L僅僅影響a的穩(wěn)定性。

表1 L不同，觀測點(diǎn)個數(shù)、位置相同時a，b值及擬合精度

表2 L一定，觀測點(diǎn)個數(shù)、位置不同“L”法確定a，b值及擬合精度

表3 H一定，觀測點(diǎn)個數(shù)、位置不同“H”法確定a，b值及擬合精度

由表2、表3可以看出，L或H一定時，減少參加計(jì)算下沉盆地邊緣部分的觀測點(diǎn)，可使a，b值均增大，確定的a，b系數(shù)使下沉曲線擬合精度提高。因此，不管“L”法還是“H”法，減少地表下沉盆地邊緣部分觀測點(diǎn)參加計(jì)算a，b，均使a，b值增大、擬合精度提高。

由表4、表5、表6可看出（見表4、表5、表6）：“L”與“H”法用同一種方法在參加計(jì)算a，b的測點(diǎn)個數(shù)、位置相同的情況下，確定的a值不同，b值基本不變，而且確定的a，b值使下沉盆地?cái)M合精度基本相同，說明“L”法或“H”法在用實(shí)測資料確定a，b時精度一樣。

表4 邊界點(diǎn)相同時“L”和“H”法用答解法解算a，b及擬合精度

表5 邊界點(diǎn)相同時“L”和“H”法用拐點(diǎn)法解算a，b及擬合精度

由表7、表8（見表7、第36頁表8） 可以看出：

①拐點(diǎn)法確定a，b值的大小與答解法比較，變化無規(guī)律，其確定的a，b值使下沉盆地?cái)M合精度有時比答解法高，有時低，不穩(wěn)定，說明拐點(diǎn)很難準(zhǔn)確確定；

表6 邊界點(diǎn)相同時“L”和“H”法用選點(diǎn)法解算a，b及擬合精度

表7 “L”法用3種方法解算a，b及擬合精度（條件L10）

②選點(diǎn)法確定a，b值的大小與答解法比較，a，b值均增大，其確定的a，b值使下沉盆地?cái)M合精度都比答解法高，而且穩(wěn)定；

③拐點(diǎn)法確定的a，b值的大小與選點(diǎn)法比較，變化無規(guī)律，其確定的a，b值使下沉盆地?cái)M合精度只有極少數(shù)觀測線比選點(diǎn)法高，絕大部分觀測線不如選點(diǎn)法。

表8 “H”法用3種方法解算a，b及擬合精度（條件L10）

6 對確定系數(shù)a，b的初步看法

①由上述分析可知：“L”法和“H”法用同一種方法（答解法、拐點(diǎn)法、選點(diǎn)法）由實(shí)測資料確定a，b時，其精度基本相同，因此用“H”法代替“L”法并不能提高a，b系數(shù)的精度；

②確定a，b系數(shù)的精度與L的大小沒有關(guān)系，因此用實(shí)測資料確定a，b時，取L10即可；

③無論是“L”法還是“H”法，當(dāng)減少地表下沉盆地邊緣部分的測點(diǎn)計(jì)算a，b時，精度都相應(yīng)提高。這說明下沉盆地邊緣部分已不符合負(fù)指數(shù)函數(shù)所描述的下沉規(guī)律，用它們參加計(jì)算將使下沉盆地曲線產(chǎn)生變形，因而使預(yù)計(jì)精度降低，即負(fù)指數(shù)函數(shù)法描述下沉盆地有一定范圍，超出此范圍后，a，b系數(shù)確定誤差均增大。

④3種方法確定a，b值，以本文提出的選點(diǎn)法為最好，其精度較高，而且穩(wěn)定。

7 負(fù)指數(shù)函數(shù)法應(yīng)用應(yīng)注意的問題

7.1 提高確定L的精度與提高預(yù)計(jì)精度的關(guān)系

由前述分析已知，確定a，b的精度與L變化無關(guān)，是否說提高確定L的精度無必要呢？由表9（見表9）可知，由于L的不對應(yīng)使預(yù)計(jì)精度大為降低。也就是說，在確定a，b值與預(yù)計(jì)下沉盆地所處地質(zhì)采礦條件相同的情況下，所確定的L也必須與確定a，b值時所確定的L值相對應(yīng)，如果L的確定存在較大誤差的話，則求系數(shù)a，b所用L與預(yù)計(jì)下沉盆地曲線所確定L存在較大不對應(yīng)誤差，則兩者間的誤差勢必影響預(yù)計(jì)下沉曲線的精度，這就是提高邊界點(diǎn)下沉值，從而提高確定盆地半長L的精度，使確定a，b使用的L值與預(yù)計(jì)下沉曲線的L值相對應(yīng)。

表9 “L”法用選點(diǎn)法計(jì)算的結(jié)果

7.2 “H”法取代“L”法的優(yōu)點(diǎn)

由前述分析可知：“H”法和“L”法用同一種方法根據(jù)實(shí)測資料求系數(shù)a，b時其精度基本一樣，那么為何還要用“H”法代替“L”法呢？比較表10（見表10）與表9可知，用“H”法代替“L”法后，ΔM變化大大減小，若提高量取H的精度，則ΔM將很小，因此預(yù)計(jì)下沉曲線的精度將大為提高。這就說明用“H”法代替“L”法后，cH值的確定精度比L值的確定精度高，從而使確定系數(shù)a，b的實(shí)測資料與預(yù)計(jì)下沉曲線的對應(yīng)性更高，因此提高了下沉曲線的預(yù)計(jì)精度。

表10 “H”法用選點(diǎn)法解算的結(jié)果

8 結(jié)語

通過前述分析：負(fù)指數(shù)函數(shù)法最佳公式應(yīng)用“H”公式法，確定a，b系數(shù)的方法應(yīng)選用選點(diǎn)法，這樣可使負(fù)指數(shù)函數(shù)法預(yù)計(jì)精度大大提高；但用選點(diǎn)法確定系數(shù)a，b使預(yù)計(jì)下沉曲線邊緣部分收斂過快，也就是說下沉曲線邊緣部分已不符合負(fù)指數(shù)函數(shù)法所描述的下沉規(guī)律，解決此問題，尚需進(jìn)一步討論。

[1]中國礦業(yè)大學(xué).煤礦巖層與地表移動.北京：煤炭工業(yè)出版社，1981.

[2]何國清.礦山開采沉陷學(xué).徐州：中國礦業(yè)大學(xué)出版社，1991.

Talks of the Methods to Determine the a,b Coefficient in Negative Exponential Function

Zhang Yudai

The mainland table movement and deformation in the main section of the surface movement basin can be expressed in negative exponential function.This article detailed analyzed the methods to determine the a,b coefficient in negative exponential function,as well as the problems during applications.

surface movement basin;surface movement and deformation;negative exponential function method;a,b coefficient;fitting precision

P642.26

A

1000-4866（2010）04-0032-05

張玉呆，男，1962年12月出生，畢業(yè)于西安礦院，本科學(xué)歷，講師，現(xiàn)在山西大同煤炭職業(yè)技術(shù)學(xué)院工作。

2010-07-14

2010-08-03