一類行列式的計算公式

錢學(xué)明

(無錫科技職業(yè)學(xué)院基礎(chǔ)部,江蘇無錫214028)

樣條插值理論中常見的Jacobi矩陣是一類重要而特殊的矩陣,與之對應(yīng)的行列式也是人們研究的熱點(diǎn).由于其n階行列式呈現(xiàn)帶狀,因而具有一定的遞推關(guān)系.

《高等代數(shù)》[1]中,討論n階帶狀行列式主要是利用行列式的性質(zhì)將行列式化成上三角或下三角行列式進(jìn)行計算;或者也可以根據(jù)行列式按行 (列)展開定理展開來計算.文獻(xiàn) [2]利用母函數(shù)的方法討論了具有遞推關(guān)系Dn=b1Dn-1+b2Dn-2, (n≥3,b1,b2是非零常數(shù))的 n階行列式Dn的計算公式.文獻(xiàn)[3,4]應(yīng)用差分方程的方法解決了具有遞推關(guān)系Dn=aDn-1+bDn-2和Dn=c Dn-1+d的n階行列式Dn的值.

本文將利用 Z變換的方法來討論一類更一般的具有形如Dn=p Dn-1+qDn-2+r的遞推關(guān)系的n階行列式的計算公式的問題.所獲得的結(jié)論推廣了文獻(xiàn) [2-4]中討論的結(jié)果.結(jié)合實(shí)例,我們發(fā)現(xiàn)利用 Z變換的方法不但可以方便地、有效地給出此類具有遞推關(guān)系的n階行列式的計算公式,同時也是直接計算此類n階行列式是一個很好的途徑.

1 預(yù)備知識

Z變換的概念[5-7]設(shè) x(n)為一右邊序列,若級數(shù)(n)z-n在Z平面的某一鄰域內(nèi)收斂,z為復(fù)變量,則稱 X(z)=n)z-n為序列 x(n)的 Z變換,記為 X(z)=Z[x(n)].

若 X(z)是 x(n)的 Z變換,則稱 x(n)為 X(z)的 Z逆變換,記為 x(n)=Z-1[X(z)].由上述方式定義的 Z變換稱為單邊Z變換.

Z變換有許多基本性質(zhì),掌握這些性質(zhì)可簡化 Z變換的計算.

(2):移位性質(zhì) 若 Z[x(n)]=X(z),k為正整數(shù),則 Z[z(n+k)]=z

2 主要結(jié)論及證明

設(shè) Dn表示n階行列式,Dn-1,Dn-2,D2,D1,分別為與 Dn同型的n-1,n-2,2,1階行列式.

定理1 如果 n階行列式滿足遞推關(guān)系Dn=p Dn-1+qDn-2+r,p,q,r為與n無關(guān)的常數(shù),則

其中α,β為方程z2-pz-q=0的兩個根.

證明 由于 Dn=p Dn-1+qDn-2+r(n≥3)等價于 Dn+3=p Dn+2+qDn+1+r(n≥0),為計算方便,考察

其中α,β為方程z2-pz-q=0的兩個根.

推論2 如果 n階行列式滿足遞推關(guān)系Dn=p Dn-1+r,p,r為與 n無關(guān)的常數(shù),則 Dn=D1pn-1+

若在 n階行列式滿足遞推關(guān)系Dn=p Dn-1+r,p為與n無關(guān)的常數(shù),而 r與n有關(guān),此時,利用行列式中元素的對稱性,可得另一個遞推關(guān)系 Dn=sDn-1+t,s為與n無關(guān)的常數(shù),而t與n有關(guān).消去 Dn-1就可以解得Dn.

3 應(yīng)用舉例

4 結(jié) 語

本文利用 Z變換的方法討論并獲得了一類具有形如Dn=p Dn-1+qDn-2+r的遞推關(guān)系的n階行列式的計算公式.該結(jié)論推廣了文獻(xiàn) [2-4]中討論的結(jié)果.同時,通過實(shí)例我們發(fā)現(xiàn)利用所獲得的計算公式可以非常方便地得到此類行列式的結(jié)果,同時,利用 Z變換的方法來計算此類具有遞推關(guān)系的n階行列式也不失為一種很好的方法.

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