行列式解法的探討

唐 麗

(綿陽師范學院數(shù)理學院，四川綿陽 621000)

0 引言

行列式計算是線性代數(shù)中一個重要內容，也是線性代數(shù)學習過程中一個難點.特別是高階行列式的計算，就更是一個難上加難的事情.但就行列式的計算而言，無論是高階還是低階行列式，其計算的基本思想是“化零”和“降階”，即先根據(jù)行列式的性質將行列式進行恒等變換，使之出現(xiàn)較多的零元素，再利用上(下)三角行列式計算或用按行(列)展開定理實現(xiàn)降低行列式的階數(shù).在研究行列式計算的相關理論的時候，許多學者就行列式的計算進行了探討：比如文獻[1-3]總結了計算行列式的常見方法與技巧：比如降階法、三角形法、加邊法，遞推與數(shù)學歸納法等計算行列式.文獻[4]則是探討了三對角線變形后的行列式的算法.文獻[5]探討了一類由Fibonacci數(shù)組成的特殊行列式的計算問題.而文獻[6]探討了第三類廣義Vandermonde行列式的計算結果的現(xiàn)實表達式.文獻[7]利用母函數(shù)導出具有遞推關系的行列式的計算公式.文獻[8]介紹了幾個行列式的基本方法與特殊方法.文獻[9]則是探討分塊矩陣的行列式.但很少有學者研究行列式的翻轉對行列式計算的影響.本文主要就行列式的翻轉探討了其計算.

1 行列式的翻轉

根據(jù)行列式的特點，某些情況下進行行列式翻轉有利于解題.而翻轉，通常分為左右翻轉、上下翻轉，主對角線翻轉和關于副對角線翻轉等.每一種翻轉都會有所不同，但只要掌握它們的規(guī)律，相信對于行列式計算會帶來“柳暗花明又一村”的驚喜.

1.1 上下(左右)翻轉

定理1設n階行列式D=det(aij)，若D上下翻轉和左右翻轉后的行列式分別記為Duf和Dlf，即

證明：第1步：把Duf中的第n行依次與第n-1行，第n-2行進行對換，…，直到第1行，共作了n-1次的相鄰行對換，得行列式D1，由行列式性質得

第2步：把D1中的第n行依次與第n-1行，第n-2行進行對換，…，直到第2行，即作了n-2次的相鄰兩行對換，得行列式D2，有

第3步：把D2中的第n行依次與第n-1,n-2行進行對換，…，直到第3行，共進行了n-3次的相鄰兩行對換，得到行列式記作D3，且Duf=(-1)n-1(-1)n-2(-1)n-3D3

依次類推，第i步則把第i-1步的行列式Di-1的第n行依次對換到第i行，得行列式為Di，…，直到行列式Dn-2的第n行與第n-1行對換1次，得行列式Dn-1，且Dn-1=D，有

Duf=(-1)n-1(-1)n-2(-1)n-3…(-1)2(-1)1Dn-1=(-1)n-1(-1)n-2(-1)n-3…(-1)2(-1)1D

因此，從Duf到D一共進行了

所以有

第1步：把n階行列Dif式第n列依次對換到第1列，得到的行列式記作D1′，其中

第2步：把D1′中的第n列依次對換到第2列，即作了n-2次相鄰列對換,得行列式D2′，Dlf=(-1)n-1(-1)n-2D2′；

第3步：把D2′中的第n列依次對換到第3列，共進行了n-3次對換，得行列式記作Dlf=(-1)n-1(-1)n-2(-1)n-3D3′；依次類推地進行下去，…，直到行列式Dn-2′第n列與第n-1列對換1次，得行列式Dn-1′，且Dn-1′=D.因此，從Dlf到D一共進行了

所以有

因此有

證畢

例1 計算行列式[10]

解：文獻[10]提示說利用范德蒙行列式的結果.但前提是要把這個行列式表示成范德蒙行列式的形式.因此，若在這之前知道上下(左右)翻轉的這樣一個結果，那么就可以直接對Dn+1進行上下翻轉，

解法1：初看這個行列式，感覺是一道比較難的行列式計算題，盡管行列式中零比較多.但仔細觀察，可以對行列式進行除第一列和第n列外的部分進行左右翻轉.因此利用注解1，也就是對n-2階行列式進行翻轉，就可以得到一個對角行列式.

根據(jù)行列式的特點，當p1=1,p2=n-1,p3=n-2,…,pn-1=2,pn=n，D中不為零的項只有一項(-1)τ(1(n-1)(n-2)…32n)a11a2,n-1,a3,n-2…an-1,2ann，其中行標12…n為標準排列，τ(1(n-1)(n-2)…32n)為排列1(n-1)(n-2)…32n的逆序數(shù)

綜上，通過翻轉法和定義法計算例2對比發(fā)現(xiàn)，某些時候在計算行列式時采取翻轉法會給行列式計算帶來意想不到的效果.當然，除了上下(左右)翻轉外，還有下面即將介紹的關于主對(次)角線翻轉的問題.

1.2 主對角線和次對角線翻轉

定理2 設n階行列式D=det(aij)，D關于主對角線和次對角線翻轉后的行列式分別為

則Dmd=Dbd=D.

證明：首先證明Dmd=D.D關于主對角線進行翻轉，也就是把D中的第1行變成第1列，第2行變成第2列，依次類推的進行下去，最后是第n行變成了第n列，最后得到Dmd.顯然，Dmd就是DT.根據(jù)行列式性質，行列式與它的轉置行列式相等，所以Dmd=DT=D.

下面證明Dbd=D.

已知關于次對角線翻轉得到的行列式為Dbd.那么，下面從Dbd出發(fā)，來探討它與D的關系.Dbd經(jīng)過左右翻轉，再經(jīng)過上下翻轉，則

所以有Dbd=D因此，有Dmd=Dbd=D證畢

注意：在定理2中，行列式關于主對角線旋轉，實際上得到的是就是行列式的轉置.

解法1：對D進行關于次對角線翻轉和關于左右翻轉而得到范德蒙行列式

注意:為了和例1進行對比，這道題在關于次對角線翻轉之后進行了左右翻轉.實際上，這道題只需經(jīng)過關于次對角線翻轉就可以直接利用范德蒙行列式公式進行計算.例3可以如下面來解答：

解法2：由定理2知

解法3：

后續(xù)解法見本題解法1.

解：書上的方法這里不講了.下面采取翻轉的方法來解這道題.這是一道下三角形行列式，可以采取左右翻轉，有

總結：對比書上的解法，很容易地通過翻轉方法求得行列式的計算結果.事實上，即使在一般的行列式，有時候利用行列式翻轉，也會讓計算變得簡單明了.比如下面例5.

解：看到這道題時，第一直覺是應該分別把D1,D2計算出來，這樣D1,D2的關系也就自然出來了，但D1,D2的計算也是挺費時的.因此想問：能不能在不計算行列式的前提下，就能把這兩個行列式的關系判斷出來呢？通過觀察可以看出，D2的第二行與第三行都有公因子，根據(jù)行列式的性質，可以先把D2中的公因子提到行列式的外面，有

這樣處理后的行列式D因為沒有分數(shù)計算起來要簡單些，但這里實際不用直接算出行列式.注意觀察：D中的元素和D1中元素都是由±1,±2,±3,4,-5所構成的.因此考慮翻轉，根據(jù)定理1和定理2，有

這樣，有D1=D=D2.答案選A.

這道題所涉及到4階行列式，若用行列式定義計算也是可以的，只是有些麻煩的；當然也可以直接把行列式化成上三角或下三角行列式進行計算.只是，若巧妙地采取行列式性質和翻轉的相關定理，會讓這道題變得簡單且有趣，計算量也會非常的小，給人一種“柳岸花明又一村”“遠近高低各不同”的美感.

2 結論

本文研究了行列式的四種翻轉——上下翻轉，左右翻轉，主對角線翻轉和關于副對角線翻轉，最終以定理的形式呈現(xiàn)出翻轉的結果.通過例題，本文總結了翻轉對于行列式的計算所帶來的不同效果.