Sn上的變換群探究

鄧艷娟，陳 軍

(中國青年政治學(xué)院 經(jīng)濟系,北京 100089)

1 Sn上的簡單介紹

Sn為n維球空間，定義為

1.1 球坐標(biāo)表示

下面討論中，用·代表歐氏內(nèi)積，<,>代表洛倫茲內(nèi)積.令C為Sn上的中心為c∈Sn，弧度為θ，0<θ<π的n維閉-cap，

C={x∈Sn∶x·c≥cosθ}.

(1)

此時對于Sn上的屬于C的點x我們可以表示為

x·c-1·cosθ≥0,

(2)

由于sinθ>0,我們有

(3)

可用(n+2)維向量來表示點x和cap-C,令

(4)

即確定了Sn上的一個定向球.由上可知，

定理1 球空間上的定向球與洛倫茲空間中的點一一對應(yīng).

≥0.

(5)

性質(zhì)1 (1)如果一個向量C表示一個cap當(dāng)且僅當(dāng)C滿足條件=1；(2)如果一個向量表示一點X當(dāng)且僅當(dāng)=0并且X的第一個分量為1.

由此規(guī)定，如果有正數(shù)λ，點λX與X表示同一點.

如果一個capC=(cotθ,cscθc)的中心為c，弧度為θ，那它的補C′記為中心為-c，弧度為π-θ的cap.C′的坐標(biāo)表示記為-C.

性質(zhì)2 n-1維球上的點X是C和C′的公共邊界點當(dāng)且僅當(dāng)=0.

特別的，當(dāng)γ是大圓時，反演就是得到γ的那個截Sn的平面的反射.如果γ不是大圓，那么就有Rn+1中唯一一點與γ上點的連線與Sn相切.

由于球坐標(biāo)的引入，可將球上的反演線性化.所以有

定理2U關(guān)于C和C′的公共邊界的反演記為線性變換

U→U′=U-2C

(6)

證明 只需驗證變換保持線性和保內(nèi)積.

假設(shè)U,V為球上cap，U′,V′為U,V關(guān)于C和C′的公共邊界的反演，所以有內(nèi)積

(7)

對于球上的點上式同樣成立.由此說明變換將cap映成cap，點映成點.特別的，當(dāng)C為半球時，即C=(0,c)(C的第一個分量為0)，c為n-維平面的法向，此時反射即為我們的反演.點X=(1,x)的反射

x→x-2(c·x)c.

通常情況下，C不是半球時，點X的反演可寫成

(8)

其中

λ=?1+cos2θ-2(c·x)cosθ」csc2θ

(9)

容易看出λ>0并且==0，X′是球上的點，并且可看出點x′是x和θc的線性組合.

1.2 定向球之間的位置關(guān)系

任意兩個定向球C1=(cotθ1,cscθ1c1),C2=(cotθ2,cscθ2c2).=cosθ,其中θ為兩個定向球之間的夾角.

由洛倫茲內(nèi)積我們有，

(10)

另一方面，x∈定向球C上，有法向量n在C和x確定的平面上，C=ax+bn,a=C·x=cosθ.同時又有=1，故可得到b=sinθ.因此，

(11)

由此可看出

定理3 兩個定向球之間的夾角即為兩個定向球法向之間的夾角.

通過夾角θ，可以來判斷兩個定向球的位置關(guān)系：

(1)當(dāng)θ=0，兩個定向球相內(nèi)切，=1；

(2)當(dāng)θ=0，兩個定向球相外切，=-1；

(3)當(dāng)θ≠0,π，兩個定向球相交，||<1；

(4)兩個定向球相外離，即||>1;

(5)兩個定向球正交，即=0.

1.3 相切的定向球之間的位置關(guān)系

定理4 定向球C1,C2∈Sn，C1,C2相切，即

===1，則有

tC1+(1-t)C2,t∈R.

證明 過C1,C2的直線為

C=tC1+(1-t)C2∈Sn,t∈R,

(12)

此時說明Sn上相切的一簇定向球?qū)?yīng)洛倫茲空間中的一條直線.

2 Sn上的四種變換群

定義1 球Sn上反演變換的復(fù)合就是M?bius變換群.

性質(zhì)3 保正向的洛倫茲變換群O+(n+1,1)是O(n+1,1)的子群.

定義3 如果映射σ∶Sn→Sn是微分同胚且滿足σ*g=λg,λ∈C∞，這時我們稱σ為Sn上共形變換群.

定義4 如果映射σ∶Sn→Sn是微分同胚且把Sn上每個Sn-1變成Sn-1，這時我們稱σ為Sn上保球換群.

性質(zhì)4 保球變換將定向球映到定向球.

參考文獻：

[1] Blaschke. W.Verlesungen ueber Differentiallgeometry.Vol[M]. Springer, Berlin , 1929.

[2] Bryant, R.A dualitytheorem for Willmore surfaces[J].Differential Geom, 1984(20):23-53.

[3] J. B. Wilker.Inversive geometry[M].The geometric vein (C. Davis, et ah, eds.), Springer, New York, 1981.

[4]Kulkarni, R.S. and Pinkall, U. Conformal Geometry.Aspecs[M].Math. E12, Friedr. Vieweg Son, Braunschweig, 1988.

[5]Li, H.Zh., Liu, H.L., Wang, C.P. and Zhao, G.S., M bius isoparametric hypersurfaces inSn+1with two distinct principle curvatures[J]. Acta Math. Sinica, English series , 2002(18):437-446.