曾鳴， 王佳

（哈爾濱工業(yè)大學(xué)空間控制與慣性技術(shù)中心，黑龍江哈爾濱 150001）

0 引言

現(xiàn)代的衛(wèi)星經(jīng)常需要進(jìn)行快速大角度姿態(tài)機(jī)動(dòng)來(lái)執(zhí)行各種任務(wù)，由于角速度耦合交叉項(xiàng)的存在，這些快速姿態(tài)機(jī)動(dòng)問(wèn)題經(jīng)常被歸結(jié)為非線性剛體動(dòng)力學(xué)問(wèn)題。過(guò)去的十多年當(dāng)中，滑模控制［1］、線性H∞控制［2］和逆最優(yōu)［3］等各種控制策略均被應(yīng)用衛(wèi)星姿態(tài)控制當(dāng)中。近年來(lái)，后步法設(shè)計(jì)控制器策略［4］被應(yīng)用到衛(wèi)星姿態(tài)控制當(dāng)中，這種控制器設(shè)計(jì)方法適用于各種級(jí)連系統(tǒng)，姿態(tài)控制系統(tǒng)即由動(dòng)力學(xué)到子系統(tǒng)與運(yùn)動(dòng)學(xué)子系統(tǒng)組成的級(jí)連系統(tǒng)［5］。后步控制策略的遞歸設(shè)計(jì)步驟可解決非線性系統(tǒng)的控制問(wèn)題，其解決全局穩(wěn)定性問(wèn)題的優(yōu)點(diǎn)被廣泛采納，但存在的問(wèn)題是不能保證某個(gè)輸出信號(hào)具有良好的暫態(tài)性能。

增益調(diào)度是一種很好的非線性控制器設(shè)計(jì)方法，且已被廣泛用于機(jī)器人控制和衛(wèi)星控制當(dāng)中［6］，增益調(diào)度設(shè)計(jì)方法能保證系統(tǒng)在某一操作空間內(nèi)滿足性能指標(biāo)的要求?；谠鲆嬲{(diào)度設(shè)計(jì)方法的這一優(yōu)點(diǎn)，一種被稱為線性參數(shù)可變（LPV）的增益調(diào)度系統(tǒng)化設(shè)計(jì)方法被研究人員廣泛關(guān)注［7］，該方法不僅設(shè)計(jì)方法系統(tǒng)化，而且能滿足穩(wěn)定性和保性能兩方面的設(shè)計(jì)要求。LPV控制器設(shè)計(jì)理論能簡(jiǎn)化常規(guī)的增益調(diào)度設(shè)計(jì)方法中的插值與實(shí)現(xiàn)問(wèn)題;然而，LPV系統(tǒng)所滿足的的穩(wěn)定性和保性能要求只局限于某一局部操作空間內(nèi)。

近來(lái)一種用于提高非線性系統(tǒng)性能的混合控制策略被提出［8］，這種混合控制策略分別應(yīng)用后步法和LPV控制的優(yōu)點(diǎn)來(lái)彌補(bǔ)對(duì)方的不足，在保證非線性系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性的前題下，提高系統(tǒng)的局部性能。

本文將上述由后步法與LPV法設(shè)計(jì)的混合控制器首次應(yīng)用到衛(wèi)星姿態(tài)控制當(dāng)中，設(shè)計(jì)的控制器既能保證系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，又能提高系統(tǒng)的干擾抑制能力并改善系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能。采用的平方和（SOS）數(shù)值計(jì)算方法彌補(bǔ)了文獻(xiàn)［7］中LPV控制器的求解不能得到全局解的不足。

1 衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型

剛體衛(wèi)星姿態(tài)動(dòng)力學(xué)模型［5］為

式（8）為L(zhǎng)PV形式的衛(wèi)星姿態(tài)運(yùn)動(dòng)模型，則基于后步法和LPV法的混合控制在衛(wèi)星姿態(tài)控制中應(yīng)用問(wèn)題可表述為:在平衡點(diǎn)以外的大部分軌跡空間內(nèi)采用以模型（2）和（4）為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的后步控制器，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)進(jìn)入到平衡點(diǎn)附近的指定區(qū)間后，系統(tǒng)則采用以式（8）為基礎(chǔ)設(shè)計(jì)的LPV控制器來(lái)提高系統(tǒng)的局部性能，本文的性能提高是指從干擾到輸出的誘導(dǎo)L2范數(shù)小于某一預(yù)先給定值的暫態(tài)性能提高。

2 SOS分解與Lyapunov設(shè)計(jì)方法

一個(gè)多變量多項(xiàng)式f（x1， …， xn）是SOS，當(dāng)存在一組多項(xiàng)式f1（x），…，fm（x）滿足

滿足上式條件的f（x1， …， xn）必然是非負(fù)的;因此，SOS分解為變量多項(xiàng)式非負(fù)定提供了充分條件，且等價(jià)與

式中:Q為一半正定矩陣;Z（x）為某一單項(xiàng)式向量。判斷一個(gè)多變量多項(xiàng)式為SOS比正定更容易計(jì)算，且用SOS代替非負(fù)定得到的計(jì)算結(jié)果更加精確［11］。

以下介紹基于SOS工具和Lyapunov方法的控制器設(shè)計(jì)過(guò)程。首先為了設(shè)計(jì)控制器，選定Lyapunov函數(shù)

這里 P ＞0;因此，V（x）＞0。

沿狀態(tài)空間方程對(duì)Lyapunov函數(shù)微分，得

若將式（10）代入式（8）所得閉環(huán)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定，則多項(xiàng)式＜0。而判斷一個(gè)多項(xiàng)式是非負(fù)定問(wèn)題是一個(gè)NP難題。采用SOS判斷多項(xiàng)式的非負(fù)定就很容易［9］。

若式（12）改為SOS約束條件，則使系統(tǒng)穩(wěn)定的控制器設(shè)計(jì)問(wèn)題可表述如下。

定義1 設(shè)計(jì) P，K（x），ε（x），使得

傳統(tǒng)的LPV控制器設(shè)計(jì)最終都?xì)w結(jié)為解一個(gè)參數(shù)依賴的線性矩陣不等式（PLMI）問(wèn)題，而一般的數(shù)值仿真求解得到的均為參數(shù)可變線性矩陣不等式的局部解。若采用SOS方法來(lái)代替求解參數(shù)依賴的線性矩陣不等式的方法，可以得到全局解［10］。本文采用SOS方法來(lái)求解控制器。

3 基于后步法與LPV的混合控制器設(shè)計(jì)

為了提高系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，設(shè)計(jì)一種混合控制方法。首先采用后步法設(shè)計(jì)控制器將系統(tǒng)的初始狀態(tài)驅(qū)使進(jìn)系統(tǒng)平衡點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)，然后切換到LPV控制器上來(lái)改善系統(tǒng)的局部暫態(tài)響應(yīng)性能。

3.1 后步姿態(tài)控制器設(shè)計(jì)

對(duì)于式（2）和式（4）表示的衛(wèi)星姿態(tài)控制系統(tǒng)，假設(shè)qd（t）為期望姿態(tài)軌跡，定義qe?q－qd為每一時(shí)刻的姿態(tài)四元數(shù)誤差，為了便于控制器的設(shè)計(jì)，這里重新定義新的變量，即

這里轉(zhuǎn)動(dòng)慣量矩陣J被包含在系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)方程中，為將J分離出來(lái)，引入線性算子

3.2 應(yīng)用LPV控制器提高局部性能指標(biāo)

為了提高系統(tǒng)的暫態(tài)響應(yīng)性能，設(shè)計(jì)一種混合控制方法。首先采用后步法設(shè)計(jì)的控制器將系統(tǒng)初始狀態(tài)驅(qū)使進(jìn)平衡點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)，然后切換到LPV控制器上來(lái)改善系統(tǒng)的局部性能。

為了提高局部的暫態(tài)響應(yīng)性能指標(biāo)，首先需明確局部區(qū)域的范圍。選擇如下的橢球區(qū)作為L(zhǎng)PV控制器的工作空間，即

以下稱式（22）所表示的集合為L(zhǎng)PV控制器的工作區(qū)間。

對(duì)于式（8）用LPV形式表述的衛(wèi)星姿態(tài)控制問(wèn)題，設(shè)計(jì)目標(biāo)是找到一個(gè)狀態(tài)反饋控制器 u=K（x）x，使得閉環(huán)系統(tǒng)為漸近穩(wěn)定的，且從d到y(tǒng)的誘導(dǎo)L2范數(shù)小于γ。

定理2 對(duì)于系統(tǒng)（8）若存在一個(gè)對(duì)稱矩陣Pl（x）和一個(gè)常數(shù) ε1＞0，以及一個(gè) SOS ε2＞0，使得下列表達(dá)式均為SOS，即

定理1的證明過(guò)程參考文獻(xiàn)［11］。

4 仿真分析

以下實(shí)例用來(lái)驗(yàn)證上述設(shè)計(jì)理論的可行性。仿真目標(biāo)是把初始姿態(tài)為零的剛體衛(wèi)星機(jī)動(dòng)至某一給定姿態(tài)。這里選擇的剛體衛(wèi)星的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為

I=diag（300，320，250）（kg·m2）。初始角速度為零，初始姿態(tài)的歐拉角為 θ1=（0°，0°，0°），目標(biāo)姿態(tài)的歐拉角為 θ0=（75°，－175°，70°）;初始姿態(tài)的四元數(shù)為（0，0，0;1），目標(biāo)姿態(tài)的四元數(shù)為（0.6401，0.0614，0.0054;－0.7658），把初始數(shù)據(jù)代入式（13a）～（13c）中，給定姿態(tài)控制系統(tǒng)受到外部常值干擾為[1 1 1]T×10－3（N·m），對(duì)于式（19）表示的后步控制器選擇的增益為k1=1，k2=0.1，k3=0.02，對(duì)于式（20）的自適應(yīng)律，選取

則式（19）表示的后步控制器為將初始數(shù)據(jù)代入式（8）中，選取定理1中的γ為4。應(yīng)用參考文獻(xiàn)［9］中的軟件包SOStools求解出的LPV控制器為

仿真結(jié)果圖1為單獨(dú)應(yīng)用后步法設(shè)計(jì)控制器的姿態(tài)控制系統(tǒng)在控制力矩存在干擾時(shí)，用四元數(shù)描述的姿態(tài)角的變化，計(jì)算出的從干擾d到姿態(tài)角輸出y的誘導(dǎo)L2范數(shù)為17.35。圖2為角速度的變化曲線。

圖1 應(yīng)用后步控制器姿態(tài)四元數(shù)變化曲線Fig．1 Time history of attitude quaternion with back-stepping controller

仿真結(jié)果圖3為應(yīng)用混合控制器的姿態(tài)控制系統(tǒng)在控制力矩存在相同干擾時(shí)，用四元數(shù)描述的姿態(tài)角的變化，計(jì)算出的從干擾d到姿態(tài)角輸出y的誘導(dǎo)L2范數(shù)為3.7。圖4為角速度的變化曲線。

應(yīng)用混合控制策略的閉環(huán)系統(tǒng)不僅保證了系統(tǒng)的全局穩(wěn)定性，關(guān)鍵是在系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)入到穩(wěn)定工作區(qū)后，系統(tǒng)的干擾抑制能力得到了提高，閉環(huán)系統(tǒng)從d到y(tǒng)的誘導(dǎo)L2范數(shù)不僅滿足了γ＜4的要求，而且要遠(yuǎn)小于單獨(dú)使用后步法設(shè)計(jì)的控制器時(shí)此項(xiàng)指標(biāo)值。

圖2 應(yīng)用后步控制器角速度變化曲線Fig．2 Time history of angular velocity with back-stepping controller

圖3 應(yīng)用混合控制器姿態(tài)四元數(shù)變化曲線Fig．3 Time history of attitude quaternion with hybrid controller

圖4 應(yīng)用混合控制器角速度變化曲線Fig．4 Time history of angular velocity with hybrid controller

5 結(jié)論

提出了一種混合控制策略用于提高衛(wèi)星姿態(tài)控制的性能指標(biāo)。首先，用后步法設(shè)計(jì)控制器來(lái)保證衛(wèi)星姿態(tài)機(jī)動(dòng)過(guò)程系統(tǒng)全局魯棒穩(wěn)定性，然后，應(yīng)用基于LPV的非線性H∞控制策略來(lái)提高系統(tǒng)的局部性能。在系統(tǒng)平衡點(diǎn)以外的大部分空間內(nèi)使用后步法控制策來(lái)保證系統(tǒng)的穩(wěn)定性，當(dāng)系統(tǒng)的狀態(tài)軌跡進(jìn)入到平衡點(diǎn)附近區(qū)域后則將非線性的系統(tǒng)視為L(zhǎng)PV系統(tǒng)，進(jìn)而采用基于LPV的非線性H∞控制策略來(lái)提高系統(tǒng)的干擾抑制能力。仿真結(jié)果表明，應(yīng)用混合控制策略既能保證系統(tǒng)全局穩(wěn)定，又能提高系統(tǒng)的干擾抑制能力和改善暫態(tài)性能，從而避免了使用后步法造成系統(tǒng)性能差，使用LPV控制不能保證系統(tǒng)全局穩(wěn)定的不足。后續(xù)的工作可以將此方法應(yīng)用到撓性飛行器控制中。

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（編輯:張靜）