張經(jīng)緯， 祝后權(quán)， 黃振華， 楊高， 戴勇

（中船重工集團(tuán)第七一二研究所，湖北武漢 430064）

0 引言

在變頻傳動系統(tǒng)中，采用多相感應(yīng)電機(jī)可以降低定子相電流，實(shí)現(xiàn)電機(jī)的低壓大容量設(shè)計，避免功率器件的串并聯(lián)以及由此帶來的均流問題。此外，多相電機(jī)具有空間諧波含量少，轉(zhuǎn)矩脈動小，可靠性高，控制方式多樣化等優(yōu)點(diǎn)，因此在國防軍工等其他要求高可靠性、大功率的領(lǐng)域內(nèi)得到廣泛的應(yīng)用［1］。為了提高多相電機(jī)傳動系統(tǒng)的整體性能，考慮到變頻裝置供電方式的靈活性，人們設(shè)法通過對變頻裝置和多相電機(jī)的匹配設(shè)計，使得整個系統(tǒng)獲得最佳的運(yùn)行性能。H．A．Toliyat等人［2－3］從電機(jī)設(shè)計的角度分析認(rèn)為，如果將多相電機(jī)的定子繞組設(shè)計為集中整距繞組以適應(yīng)逆變器輸出的方波電壓（或電流），此時整個系統(tǒng)的性能最佳。R．O．C．Lyra等人［4］通過在雙Y移30°六相感應(yīng)電機(jī)的外加電壓中注入三次諧波，在保證氣隙磁密幅值不變的基礎(chǔ)上提高基波電壓的幅值，使得電機(jī)的轉(zhuǎn)矩密度大幅提高。

采用集中整距繞組和非正弦供電是提高多相感應(yīng)電機(jī)功率密度的重要途徑，為分析上述措施對電機(jī)性能的影響，同時開展變頻裝置與電機(jī)的匹配性研究，需要建立比較客觀準(zhǔn)確的機(jī)電動力系統(tǒng)模型，而傳統(tǒng)的基于d-q-n坐標(biāo)變換的異步感應(yīng)電機(jī)建模方法［5］則存在一定的局限性，主要是因?yàn)?①傳統(tǒng)的建模方法僅僅考慮基波，將諧波的影響作為漏抗處理，而在多相整距繞組感應(yīng)電機(jī)中，如果諧波電流產(chǎn)生的空間磁勢與基波具有相同的轉(zhuǎn)速，那么諧波也會產(chǎn)生有效的力矩作用，因此不能將諧波作為漏抗處理;②傳統(tǒng)的建模方法將轉(zhuǎn)子導(dǎo)條等效為正弦分布的三相繞組，在此基礎(chǔ)上推導(dǎo)定轉(zhuǎn)子之間的互感參數(shù)，從而簡化分析與計算;而在m相整距繞組感應(yīng)電機(jī)中由于要考慮諧波的作用，轉(zhuǎn)子相數(shù)不能簡單的按照m相來折算，否則定轉(zhuǎn)子之間的互感參數(shù)將難以給定。例如，對于雙Y移30°的六相感應(yīng)電機(jī)，對基波可以視為六相系統(tǒng)，但是對三次諧波是一個兩相系統(tǒng)［4］。

針對上述問題，本文采用多回路理論［6－7］建立了多相感應(yīng)電機(jī)的機(jī)電動力系統(tǒng)模型，其優(yōu)點(diǎn)是考慮轉(zhuǎn)子的實(shí)際槽數(shù)和排布，避免傳統(tǒng)的建模方法中所必需的簡化和折算。從繞組的空間排布出發(fā)推導(dǎo)出各互感參數(shù)與空間位置角的線性關(guān)系，既簡化了參數(shù)的計算，又考慮了各次諧波的影響，因此具有較好的通用性和準(zhǔn)確性。

1 基于多回路理論的分析模型

如果將感應(yīng)電機(jī)視為一系列由單個線圈（或單個回路）構(gòu)成的電路結(jié)構(gòu)，可以采用多回路理論建立感應(yīng)電機(jī)的分析模型。采用這一分析模型時，對感應(yīng)電機(jī)作如下的基本假設(shè):①假設(shè)定子內(nèi)表面、轉(zhuǎn)子外表面光滑，以等效氣隙長度反映定、轉(zhuǎn)子開槽對氣隙磁導(dǎo)的影響;②不計鐵磁材料飽和、磁滯、渦流影響和導(dǎo)電材料趨膚效應(yīng)的影響。

在上述假設(shè)之下，可以列寫出通用的電壓方程、磁鏈方程和狀態(tài)方程，其轉(zhuǎn)矩方程和轉(zhuǎn)子運(yùn)動方程與一般無異，限于篇幅，不再贅敘。

1.1 定子電壓方程

假設(shè)定子相數(shù)為m，可以列寫定子電壓方程

式中:Us=［us1us2… usm］T是定子電壓;Is=［is1is2… ism］T是定子電流;ψs=［ψs1ψs2… ψsm］T是定子磁鏈;Rs=rsEm×m是定子阻抗矩陣;Em×m是 m ×m維的單元矩陣。

1.2 轉(zhuǎn)子電壓方程

對于導(dǎo)條數(shù)為n的鼠籠轉(zhuǎn)子，可以視為n個回路。設(shè)每個回路中的導(dǎo)條電阻為rb，端環(huán)電阻為re，那么根據(jù)圖1，對第i個回路可以列寫回路方程［7］

其中rr=2（rb+re）為回路總的電阻;因此對于整個轉(zhuǎn)子回路可以列寫回路方程

式中:Ir=［ir1ir2… irn］T為轉(zhuǎn)子電流;ψr=［ψr1ψr2… ψrn］T為轉(zhuǎn)子回路磁鏈;

為轉(zhuǎn)子電阻矩陣。

圖1 轉(zhuǎn)子導(dǎo)條回路Fig．1 Current-loops in rotor

將式（1）和式（2）的定子電壓方程和轉(zhuǎn)子電壓方程寫在一起，可得

1.3 磁鏈方程

定轉(zhuǎn)子的磁鏈方程為

式中:Lss為定子繞組的互感矩陣;Lsr為定轉(zhuǎn)子回路之間的互感矩陣;Lrr為轉(zhuǎn)子導(dǎo)條回路之間的互感矩陣。

1.4 狀態(tài)方程

根據(jù)電壓方程和磁鏈方程，可以推導(dǎo)出電流的狀態(tài)方程。將式（4）代入式（3）中可得式中:θr為對基波而言轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的電角度;ωr為轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的電角速度。

2 參數(shù)模型的參數(shù)計算方法

式（1）～（5）給出了基于多回路理論的m相感應(yīng)電機(jī)的分析模型，其中式（5）中的電阻矩陣可以通過實(shí)測或者計算值給定，需要計算的主要是各互感參數(shù)及其對電角度的導(dǎo)數(shù)。值得說明的是，文獻(xiàn)［7－8］中均以級數(shù)分解的形式給出了互感參數(shù)的表達(dá)式，這種表達(dá)方法比較繁瑣，而且只能考慮到有限次諧波。下面通過推導(dǎo)各互感參數(shù)與電角度差的關(guān)系，給出互感參數(shù)的線性表達(dá)式，不僅形式簡潔，利于編程實(shí)現(xiàn)，而且可以窮盡所有諧波，不存在截斷誤差。

2.1 定子繞組之間的互感矩陣Lss

假設(shè)定子繞組每相串聯(lián)的匝數(shù)為Ns，通入的電流為I1，極對數(shù)為p，對于整距繞組，在一個電角度內(nèi)氣隙磁勢的分布如圖2（a）所示。假設(shè)兩套定子繞組之間的電角度差為 Δθs，當(dāng) Δθs=0時，表示任一相繞組主電感;當(dāng)Δθs=π時，表示兩套繞組剛好相位相反，其互感等于主電感的負(fù)值;當(dāng)Δθs=2π時，與 Δθs=0 相當(dāng);當(dāng) Δθs在［0，2π）的范圍內(nèi)變化時，由于每一相產(chǎn)生的是矩形波磁勢，因此兩相繞組之間的互感隨Δθs線性變化，其互感關(guān)系如圖2（b）實(shí)線所示?？紤]定子相繞組的漏感，定子繞組第i相與第j相之間的互感為

式中:Lσs是定子繞組的漏感;Lsmax為定子繞組的主電感，且

式中:μ0是真空磁導(dǎo)率;gef是氣隙的有效長度;D2是定子內(nèi)徑;lef是鐵心有效長度。

圖2 定子繞組之間的互感與電角度差之間的關(guān)系Fig．2 Relationship between the mutual-inductance of stators and the difference of electrical angle

從上述的推導(dǎo)可知，定子繞組產(chǎn)生的磁勢是矩形波，含有各種奇數(shù)次諧波，而在互感的推導(dǎo)中，磁鏈ψ是矩形波磁勢產(chǎn)生的磁鏈;因此這種方法推導(dǎo)的互感包含了各種諧波的影響，而且具有簡潔的表達(dá)形式。如果只考慮基波，那么定子每相繞組產(chǎn)生的磁勢如圖2（a）虛線所示，兩相繞組之間的互感關(guān)系如圖2（b）虛線所示，從圖2（b）可見，兩種方法的計算結(jié)果存在較大區(qū)別，當(dāng)然，對于分布整距繞組，每極每相槽數(shù)越大，這種區(qū)別就越小。由此可見，這種參數(shù)的計算方法較好地考慮了各次諧波的影響，而且比較簡潔，在下文的參數(shù)推導(dǎo)中均采用了這一方法。

2.2 轉(zhuǎn)子導(dǎo)條回路之間的互感矩陣Lrr

假設(shè)轉(zhuǎn)子導(dǎo)條數(shù)為n，某一導(dǎo)條回路產(chǎn)生的氣隙磁勢分布如圖3（a）所示（n=6），其中以圓圈表示導(dǎo)條截面。設(shè)兩個導(dǎo)條之間的電角度為Δθr，圖3（b）給出了兩個導(dǎo)條回路之間的互感與電角度Δθr之間的關(guān)系，由于Δθr是離散的，因此對應(yīng)的任意兩個導(dǎo)條之間的互感也是離散的，以黑圈表示?？紤]轉(zhuǎn)子導(dǎo)條回路之間的漏感，可以得到第i個轉(zhuǎn)子導(dǎo)條回路與第j個轉(zhuǎn)子導(dǎo)條回路之間的互感

式中:Le是端部產(chǎn)生的漏感;Lb是導(dǎo)條產(chǎn)生的漏感。采用式（15）的推導(dǎo)方法，Lrmax和 Lrmin分別給定為

圖3 轉(zhuǎn)子導(dǎo)條回路之間的互感與電角度差之間的關(guān)系Fig．3 Mutual-inductance of rotor relative to difference of electrical angle

2.3 定轉(zhuǎn)子之間的互感

假設(shè)定子某一相繞組產(chǎn)生的氣隙磁勢分布如圖4（a）所示，轉(zhuǎn)子某一導(dǎo)條回路與該相定子繞組之間的電角度差為 Δθsr。當(dāng) Δθsr在［0，2π）內(nèi)變化時，定轉(zhuǎn)子之間的互感參數(shù)變化如圖4（b）所示。根據(jù)上述的關(guān)系，考慮各次諧波之后的定轉(zhuǎn)子之間的互感為

式中:Δθsr（0）是初始的角速度;ωr是轉(zhuǎn)子旋轉(zhuǎn)的電角速度。Lsrmax的計算式為

圖4 定轉(zhuǎn)子互感與電角度差之間的關(guān)系Fig．4 Mutual-inductance of stator winding and rotor loop relative to difference of electrical angle

2.4 定轉(zhuǎn)子互感矩陣對電角度的導(dǎo)數(shù)

根據(jù)圖4（b）所示的定轉(zhuǎn)子之間互感關(guān)系，可以給出相應(yīng)的互感參數(shù)對電角度的導(dǎo)數(shù)關(guān)系如圖5所示，其表達(dá)式為

圖5 定轉(zhuǎn)子互感大小對電角度的求導(dǎo)Fig．5 Derivative of mutual-inductance of stator winding and rotor loop with respect to difference of electrical angle

2.5 飽和對參數(shù)的影響

實(shí)際電機(jī)中或多或少的存在一定程度的飽和，由于飽和的存在，使得齒部和軛部存在一定程度的磁壓降。假設(shè)一相繞組產(chǎn)生的總的磁勢為Fm，則

式中:Fδ是氣隙磁勢;Ft1，F(xiàn)t2分別為定轉(zhuǎn)子齒部磁壓降;Fj1，F(xiàn)j2分別為定轉(zhuǎn)子軛部磁壓降。定義飽和系數(shù)

根據(jù)式（14）的計算方法，互感參數(shù)滿足

其中K是比例系數(shù)，與匝數(shù)、極距和鐵心有效長度有關(guān)?？紤]飽和以后，互感參數(shù)滿足

即考慮飽和后，需要將式（14）的互感參數(shù)除以Ks（或者將等效的氣隙長度增加為Ksgef）。值得說明的是，這一處理方法并不能反映飽和時氣隙磁場畸變產(chǎn)生的高次諧波。

3 樣機(jī)算例及其分析

根據(jù)上述的機(jī)電動力系統(tǒng)模型，對一臺15相、45 kW、4極的樣機(jī)在非正弦供電（注入三次諧波）下的空載起動與負(fù)載運(yùn)行進(jìn)行了仿真分析，并與試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行了對比。外加電壓基波分量頻率為f1=20 Hz，有效值為U1=140 V，注入的三次諧波頻率為f2=60 Hz，有效值為 U2=23.3 V（U2=U1/6），空載轉(zhuǎn)矩約為15 N·m（按照額定轉(zhuǎn)矩的2%估算）。仿真時，負(fù)載轉(zhuǎn)矩初始值設(shè)定為Tl=15 N·m，模擬空載的情況，在t=2 s時增加至Tl=262 N·m（輸出功率約15.4 kW），待穩(wěn)定運(yùn)行后，在t=3.5 s時，負(fù)載增加至Tl=388 N·m（輸出功率約23.2 kW）。外加電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩的波形如圖6所示，其中（a）是定子第1相的電壓波形us1;（b）是外加負(fù)載轉(zhuǎn)矩Tl。圖7給出了在此輸入條件下的樣機(jī)起動與負(fù)載運(yùn)行響應(yīng)圖，其中（a）是定子第1相電流;（b）是轉(zhuǎn)子導(dǎo)條電流;（c）是電磁轉(zhuǎn)矩;（d）是轉(zhuǎn)速。從圖中可以看出電機(jī)起動電流約為額定電流的9倍，電機(jī)經(jīng)過約1.5 s起動完畢，穩(wěn)定后轉(zhuǎn)速約為600 r/min，增加負(fù)載以后，轉(zhuǎn)速略有下降，約為594 r/min左右。為了進(jìn)一步驗(yàn)證仿真結(jié)果的正確性，記錄了穩(wěn)定以后的定子電流并與仿真的定子電流進(jìn)行了對比。

圖6 定子第1相外加電壓和負(fù)載轉(zhuǎn)矩的波形Fig．6 Curves of voltage and load torque applied on phase 1

圖7 樣機(jī)在給定電壓和負(fù)載下的動態(tài)響應(yīng)仿真曲線Fig．7 Simulation of dynamic performance of prototype machine under given voltage and load torque

圖8、圖9、圖10分別給出了空載、15.4 kW、23.2 kW負(fù)載功率時實(shí)測電流與仿真電流的對比，各圖中圖（a）是實(shí)測電流，圖（b）是仿真電流。表1給出了各種負(fù)載情況下的主要諧波分析結(jié)果。從圖8～圖10和表1可以看出，仿真值與實(shí)測值很接近，

圖8 空載時的實(shí)測電流與仿真電流

Fig．8 Measured current and simulative current on no-load說明了這一模型的正確性。當(dāng)然，仿真結(jié)果與實(shí)測結(jié)果存在一定誤差，這可能主要有以下幾個方面的原因:①這一模型是基于一定的理想假設(shè)條件，沒有考慮定轉(zhuǎn)子開槽產(chǎn)生的磁導(dǎo)諧波，沒有考慮趨膚效應(yīng)、溫升等造成的參數(shù)非線性化;②實(shí)際電機(jī)的電磁參數(shù)難以準(zhǔn)確給定;③無法考慮飽和時氣隙磁場畸變產(chǎn)生的高次諧波。

圖9 15.4 kW時的實(shí)測電流與仿真電流Fig．9 Measured current and simulative current at bearing power of 15.4 kW

圖10 23.2 kW時的實(shí)測電流與仿真電流Fig．10 Measured current and simulative current at bearing power of 23.2 kW

表1 不同負(fù)載下試驗(yàn)波形與仿真波形的諧波分析結(jié)果Table 1 Harmonic analysis results of measured and simulative currents under different loads

4 結(jié)論

采用多回路理論建立了多相感應(yīng)電機(jī)的機(jī)電動力系統(tǒng)模型，這種基于多回路理論的多相整距繞組感應(yīng)電機(jī)的機(jī)電動力系統(tǒng)模型能夠客觀地反映轉(zhuǎn)子導(dǎo)條的數(shù)量和分布，并且具有簡潔的參數(shù)計算方法，具有良好的通用性與準(zhǔn)確性，適用于多相電機(jī)在非正弦供電方式下的仿真分析研究。試驗(yàn)與仿真結(jié)果的對比驗(yàn)證了這一建模方法的正確性。

當(dāng)然，由于這一模型是基于一定的理想假設(shè)條件，以及實(shí)際電機(jī)的參數(shù)難以準(zhǔn)確給定，仿真結(jié)果與實(shí)測結(jié)果存在一定誤差。

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（編輯:張靜）