孟中杰，陳凱，黃攀峰，閆杰

(西北工業(yè)大學(xué) 智能機(jī)器人研究中心，陜西 西安710072)

0 引言

根據(jù)信號(hào)獲取方式的不同，可以將現(xiàn)代跟蹤系統(tǒng)分為主動(dòng)式和被動(dòng)式2 種。以普通雷達(dá)為代表的主動(dòng)跟蹤技術(shù)和以光學(xué)雷達(dá)為代表的被動(dòng)跟蹤技術(shù)各有優(yōu)劣［1］，普通雷達(dá)能夠測(cè)量高精度的距離信息，而光學(xué)雷達(dá)可以測(cè)量高精度的角度信息，兩者配合使用可以對(duì)目標(biāo)的狀態(tài)進(jìn)行精確估計(jì)。但在很多惡劣的作戰(zhàn)環(huán)境下，由于無(wú)線電靜默的要求或受到敵方干擾，普通雷達(dá)不能正常工作，光學(xué)雷達(dá)需要單獨(dú)對(duì)目標(biāo)進(jìn)行探測(cè)和跟蹤。因此，被動(dòng)跟蹤技術(shù)一直是目標(biāo)跟蹤領(lǐng)域一個(gè)重要的研究方向。

從國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)這個(gè)問(wèn)題的分析研究中發(fā)現(xiàn)，光學(xué)雷達(dá)的單站被動(dòng)跟蹤問(wèn)題具有強(qiáng)非線性和弱可觀測(cè)性2 大特點(diǎn)，因此單站跟蹤技術(shù)的可觀測(cè)性分析顯得異常重要。以文獻(xiàn)［2］為代表的大量文獻(xiàn)利用理論推導(dǎo)的方法得出觀測(cè)平臺(tái)運(yùn)動(dòng)方程階次高于估計(jì)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方程階次，且觀測(cè)與運(yùn)動(dòng)不同向時(shí)，目標(biāo)可觀測(cè)的結(jié)論。但這僅是目標(biāo)可觀測(cè)的充分條件，滿足此條件時(shí)，濾波仍非常容易發(fā)散。文獻(xiàn)［3］與文獻(xiàn)［2］類似，研究了單站純方位跟蹤的可觀測(cè)性條件，對(duì)本文優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)的建立有重要的指導(dǎo)意義。文獻(xiàn)［4］使用EKF 濾波，利用量測(cè)估計(jì)值的FISHER 信息量和羅美達(dá)下界的跡tr(CRLB)，作為優(yōu)化目標(biāo)，對(duì)勻速運(yùn)動(dòng)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤，實(shí)現(xiàn)觀測(cè)器的軌跡優(yōu)化，并得出結(jié)論:使用羅美達(dá)下界進(jìn)行優(yōu)化時(shí)，濾波結(jié)果的位置誤差較小。文獻(xiàn)［5］提出基于P陣和CRLB 的優(yōu)化函數(shù)，提高了狀態(tài)估計(jì)精度。但這些研究均沒(méi)有考慮對(duì)被動(dòng)跟蹤問(wèn)題至關(guān)重要的載機(jī)機(jī)動(dòng)能力、光雷探測(cè)范圍等約束條件。文獻(xiàn)［6］研究了偽線性卡爾曼濾波，對(duì)本文有很大的參考作用。文獻(xiàn)［7 -8］提出了2 種新式的濾波算法，但計(jì)算量過(guò)大，不適用于實(shí)時(shí)計(jì)算。

本文充分考慮光學(xué)雷達(dá)的探測(cè)范圍/探測(cè)周期、載機(jī)機(jī)動(dòng)能力、目標(biāo)進(jìn)入角、載機(jī)/目標(biāo)巡航高度差等多個(gè)約束，建立針對(duì)運(yùn)動(dòng)目標(biāo)單站跟蹤問(wèn)題的軌跡規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)一種tr(P)與det (FIM)相結(jié)合的目標(biāo)函數(shù)，采用偽線性卡爾曼濾波進(jìn)行軌跡優(yōu)化，最后在多種空戰(zhàn)態(tài)勢(shì)下進(jìn)行了仿真分析。仿真表明:該方法生成的飛行軌跡能夠滿足載機(jī)機(jī)動(dòng)能力和光學(xué)雷達(dá)探測(cè)能力的要求，狀態(tài)估計(jì)速度快，精度高。

1 光學(xué)雷達(dá)被動(dòng)跟蹤模型的建立

在大地系下，建立光學(xué)雷達(dá)單站跟蹤的數(shù)學(xué)模型。首先定義k 時(shí)刻目標(biāo)狀態(tài)為XT(k)，光學(xué)雷達(dá)測(cè)量值為YT(k).

其中，xT(k)，yT(k)，zT(k)為目標(biāo)的三向位置狀態(tài)，vxT(k)，vyT(k)，vzT(k)為目標(biāo)的三向速度狀態(tài);α(k)和β(k)分別為光學(xué)雷達(dá)縱向與側(cè)向的測(cè)量角。為表達(dá)簡(jiǎn)便，將式(1)簡(jiǎn)寫為

定義XC(k)為載機(jī)k 時(shí)刻狀態(tài)。建立光學(xué)雷達(dá)單站跟蹤的數(shù)學(xué)模型如式(3)所示。其中，q(k)為模型噪聲;N(k)為量測(cè)噪聲;Φ(k，k -1)為狀態(tài)一步轉(zhuǎn)移矩陣;T 為光學(xué)雷達(dá)探測(cè)周期。

對(duì)于這樣一個(gè)狀態(tài)方程線性、量測(cè)方程非線性的系統(tǒng)，可以采用UKF 或EKF 等先進(jìn)的濾波算法進(jìn)行濾波計(jì)算，但這些濾波方法計(jì)算量較大，為減小了計(jì)算量，本文選用偽線性卡爾曼濾波算法進(jìn)行濾波計(jì)算。

將量測(cè)方程偽線性化為方程(4)，推導(dǎo)偽線性卡爾曼濾波方程如式(5)所示。

針對(duì)建立的光學(xué)雷達(dá)被動(dòng)跟蹤模型，利用偽線性卡爾曼濾波技術(shù)可以估計(jì)出光學(xué)雷達(dá)單站跟蹤時(shí)的目標(biāo)位置/速度信息。初值選擇采用探測(cè)范圍內(nèi)隨機(jī)賦值的方法。

2 光學(xué)雷達(dá)載機(jī)飛行軌跡規(guī)劃

只要光學(xué)雷達(dá)載機(jī)的運(yùn)動(dòng)階次不低于目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)階次，且兩者運(yùn)動(dòng)不同向時(shí)，按照本文建立的光學(xué)雷達(dá)觀測(cè)模型，即可估計(jì)出目標(biāo)的位置［2］。但是光學(xué)雷達(dá)單站跟蹤問(wèn)題是一個(gè)弱可觀測(cè)問(wèn)題，按照上述充分條件飛行時(shí)，可觀測(cè)度仍較低，位置估計(jì)的準(zhǔn)確度也較低，且有可能濾波發(fā)散。因此，需要規(guī)劃合理的載機(jī)飛行軌跡，使光學(xué)雷達(dá)能夠較好的估計(jì)出目標(biāo)的位置信息。

在實(shí)際飛行中，載機(jī)機(jī)動(dòng)能力與光學(xué)雷達(dá)的探測(cè)范圍是嚴(yán)格受限的，從而使載機(jī)的飛行軌跡受到了極大的限制;且在濾波過(guò)程中，一旦出現(xiàn)探測(cè)不到目標(biāo)的情況，光學(xué)雷達(dá)就會(huì)馬上脫離“跟蹤”模式，進(jìn)入“搜索”模式，造成目標(biāo)估計(jì)失敗。因此，在軌跡規(guī)劃過(guò)程中，首先需要分析載機(jī)的實(shí)際可飛區(qū)域。

假設(shè)載機(jī)巡航飛行為勻速運(yùn)動(dòng)，巡航速度為v0，可用過(guò)載為nx，載機(jī)可連續(xù)機(jī)動(dòng)時(shí)間間隔為TC，探測(cè)范圍為±βT，載機(jī)航向角為φ，光學(xué)雷達(dá)視場(chǎng)中線與X 軸的夾角為β.由于機(jī)動(dòng)能力限制，載機(jī)每次機(jī)動(dòng)時(shí)的最大轉(zhuǎn)彎角度βC為

經(jīng)推導(dǎo)，載機(jī)每次機(jī)動(dòng)時(shí)可選飛行區(qū)域?yàn)?/p>

下面研究光學(xué)雷達(dá)軌跡規(guī)劃目標(biāo)函數(shù)的設(shè)計(jì)問(wèn)題。濾波每一步計(jì)算的P 陣反映了目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)信息，所以可以將P 陣的跡(tr(P))作為優(yōu)化目標(biāo)之一;當(dāng)濾波的FISHER 信息量的行列式較大時(shí)，系統(tǒng)可觀測(cè)性較強(qiáng)，濾波方差較小，因此將det (FIM)也作為優(yōu)化目標(biāo)之一。

在目標(biāo)可觀測(cè)的前提下，量測(cè)角變化越快，系統(tǒng)可觀測(cè)度越高，收斂速度越快，收斂精度越高［2-3］。對(duì)光學(xué)雷達(dá)單站跟蹤問(wèn)題進(jìn)行進(jìn)一步分析和初步的仿真發(fā)現(xiàn):基于P 陣的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)主要通過(guò)減小目標(biāo)與載機(jī)間的距離，來(lái)加速量測(cè)角的變化;而基于FISHER 信息量的優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)主要以載機(jī)機(jī)動(dòng)的方式來(lái)增加量測(cè)角的變化;因此，設(shè)計(jì)優(yōu)化目標(biāo)函數(shù)如下

P 陣在濾波的每一步計(jì)算時(shí)可以得到，下面推導(dǎo)濾波的FISHER 信息量FIM.

量測(cè)角的分布函數(shù)為［4］

將式(3)、式(4)聯(lián)立，可以解出濾波的FISHER信息量:

將式(10)寫成遞推形式得:

為提高規(guī)劃速度，將全局優(yōu)化問(wèn)題簡(jiǎn)化為局部?jī)?yōu)化問(wèn)題，選擇動(dòng)態(tài)規(guī)劃法規(guī)劃飛行軌跡。光學(xué)雷達(dá)載機(jī)飛行軌跡規(guī)劃流程如圖1所示。

3 仿真分析

為驗(yàn)證本文推導(dǎo)的光學(xué)雷達(dá)被動(dòng)跟蹤模型和設(shè)計(jì)的軌跡規(guī)劃策略，設(shè)置仿真初始條件如表1所示;光學(xué)雷達(dá)及系統(tǒng)噪聲指標(biāo)設(shè)置如表2所示。

濾波初值的選擇采用無(wú)先驗(yàn)信息的隨機(jī)分布。利用本文設(shè)計(jì)的軌跡規(guī)劃思路，規(guī)劃出載機(jī)最優(yōu)飛行軌跡。目標(biāo)與載機(jī)運(yùn)動(dòng)態(tài)勢(shì)、估計(jì)的目標(biāo)位置如三維圖2所示。飛行全程光雷視線角，飛行過(guò)程需用過(guò)載如圖3所示。從圖2、圖3可以看出，算法規(guī)劃出的飛行軌跡是一個(gè)類似“S”型的軌跡，這條軌跡使光學(xué)雷達(dá)的視線角先變到正最大允許值，再變到負(fù)最大允許值，變化的速率和飛行過(guò)程中的可用過(guò)載成一定的對(duì)應(yīng)關(guān)系。

表1 仿真初值Tab.1 The initial value for simulation

表2 光學(xué)雷達(dá)及系統(tǒng)噪聲指標(biāo)Tab.2 The noises of optical radar and system

載機(jī)按照規(guī)劃出的軌跡飛行，目標(biāo)狀態(tài)估計(jì)的誤差曲線如圖4、圖5所示。由仿真結(jié)果可以看出目標(biāo)位置和速度的估計(jì)非常準(zhǔn)確，精度極高，且濾波收斂較快，僅需50 s 左右。

圖2 飛行態(tài)勢(shì)及跟蹤效果曲線圖(迎頭)Fig.2 The flying state and track result (head on)

圖3 優(yōu)化得到的航跡及載機(jī)狀態(tài)Fig.3 The trajectory and state after optimization

圖4 目標(biāo)位置估計(jì)誤差Fig.4 Estimation error of the target location

更改飛行態(tài)勢(shì)為尾追，通過(guò)本文的方法規(guī)劃出飛行態(tài)勢(shì)如圖6所示?？梢钥闯觯?guī)劃出的軌跡依然是一個(gè)類似“S”型的軌跡，這條軌跡使光學(xué)雷達(dá)的視線角先變到正最大允許值，再變到負(fù)最大允許值。通過(guò)改變目標(biāo)變速度、目標(biāo)機(jī)動(dòng)、迎頭/尾追等多種態(tài)勢(shì)的仿真分析，均可以得出同樣的結(jié)論。這個(gè)結(jié)論可以使載機(jī)在由于某種故障無(wú)法進(jìn)行航跡規(guī)劃時(shí)，由駕駛員操縱載機(jī)進(jìn)行飛行，最大限度的保證光學(xué)雷達(dá)的觀測(cè)效果。這些仿真也驗(yàn)證了經(jīng)本文的規(guī)劃策略規(guī)劃出的飛行軌跡能夠在滿足載機(jī)機(jī)動(dòng)能力和光學(xué)雷達(dá)探測(cè)范圍的基礎(chǔ)上，盡快地估計(jì)出目標(biāo)位置、速度等諸參數(shù)，而且算法的計(jì)算量較小，魯棒性強(qiáng)。

圖5 目標(biāo)速度估計(jì)誤差Fig.5 Estimation error of the target speed

圖6 飛行態(tài)勢(shì)及跟蹤效果曲線圖(尾追)Fig.6 the flying state and track result (trail guidance)

4 結(jié)束語(yǔ)

本文考慮光學(xué)雷達(dá)的探測(cè)范圍/探測(cè)周期，載機(jī)機(jī)動(dòng)能力，巡航高度差等多種強(qiáng)約束條件，建立了光學(xué)雷達(dá)單站跟蹤問(wèn)題的軌跡規(guī)劃模型，設(shè)計(jì)了一種tr(P)與tr(CRLB)相結(jié)合的目標(biāo)函數(shù)，采用分段優(yōu)化策略規(guī)劃強(qiáng)約束條件下光學(xué)雷達(dá)被動(dòng)跟蹤的載機(jī)最優(yōu)飛行軌跡。仿真結(jié)果表明:該方法規(guī)劃的飛行軌跡滿足載機(jī)機(jī)動(dòng)要求和光學(xué)雷達(dá)的探測(cè)要求，光學(xué)雷達(dá)被動(dòng)跟蹤速度較快，估計(jì)精度高。

從光學(xué)雷達(dá)的視線角看，規(guī)劃的軌跡使光學(xué)雷達(dá)的視線角以20°～60°～-60°的變化規(guī)律變化，類似于對(duì)固定目標(biāo)的S 形機(jī)動(dòng)。因此，實(shí)戰(zhàn)中，若偵察機(jī)無(wú)法進(jìn)行航跡規(guī)劃時(shí)，可以按照視線角的這種變化規(guī)律飛行，提高目標(biāo)觀測(cè)效果。

本文的跟蹤模型是在目標(biāo)勻速巡航的假設(shè)下建立，目標(biāo)機(jī)動(dòng)情況下的光學(xué)雷達(dá)軌跡規(guī)劃技術(shù)值得進(jìn)一步研究。

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