王軼卿，李勝，陳慶偉

(南京理工大學(xué) 自動(dòng)化學(xué)院，江蘇 南京210094)

0 引言

近年來，隨著自動(dòng)控制技術(shù)的發(fā)展和人們對控制系統(tǒng)穩(wěn)定性、快速性、準(zhǔn)確性要求的不斷提高，有限時(shí)間控制成為控制理論界研究的前沿課題之一。由于系統(tǒng)在有限時(shí)間控制律的作用下具有收斂速度快、穩(wěn)態(tài)精度高、魯棒性好的優(yōu)點(diǎn)，有限時(shí)間控制問題自問世以來受到了各國學(xué)者的廣泛關(guān)注。針對該問題目前人們提出的主要方法有:齊次系統(tǒng)方法［1-3］、有限時(shí)間Lyapunov 函數(shù)法［4-5］、終端滑?？刂品ǎ?-8］等，其中一些已成功地應(yīng)用于一些實(shí)際對象的控制，如非完整移動(dòng)機(jī)器人的控制［9］。但從目前的研究成果來看，非完整系統(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制還存在一些問題，如所提控制器存在奇異性、不連續(xù)等問題［9-10］，這主要是由于非完整系統(tǒng)自身的一些特性和控制器設(shè)計(jì)方法所造成的。

自非完整系統(tǒng)鎮(zhèn)定控制問題被提出以來，人們就試圖尋找一種反饋控制律，使得以非完整系統(tǒng)為對象的閉環(huán)系統(tǒng)在平衡點(diǎn)漸近穩(wěn)定或指數(shù)穩(wěn)定，但由于非完整系統(tǒng)不滿足Brockett 定理［11］中提出的非線性系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近存在連續(xù)可微反饋鎮(zhèn)定控制器的必要條件，所以理論上不存在光滑的、時(shí)不變狀態(tài)反饋控制器，使非完整系統(tǒng)在平衡點(diǎn)穩(wěn)定或漸近穩(wěn)定。針對這一問題，眾多學(xué)者分別提出了非連續(xù)時(shí)不變鎮(zhèn)定控制器［12-14］、連續(xù)時(shí)變鎮(zhèn)定控制器［15］、混雜控制器［16］三類控制器解決非完整系統(tǒng)的反饋鎮(zhèn)定問題。其中非連續(xù)時(shí)不變鎮(zhèn)定控制器只能實(shí)現(xiàn)非全局情況下，系統(tǒng)各狀態(tài)指數(shù)穩(wěn)定。連續(xù)時(shí)變鎮(zhèn)定控制器雖然可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的全局指數(shù)穩(wěn)定，但在反饋控制器中需要引入時(shí)間變量?；祀s控制器則根據(jù)預(yù)先設(shè)定的時(shí)間序列在連續(xù)時(shí)不變控制器間切換，使得非完整系統(tǒng)各狀態(tài)指數(shù)收斂。從所得結(jié)論可以看出，上述控制器雖然可以實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)的指數(shù)穩(wěn)定，但各狀態(tài)均不能在有限時(shí)間內(nèi)收斂到平衡位置。尤其是當(dāng)各狀態(tài)與平衡點(diǎn)之間偏差較小時(shí)，系統(tǒng)過渡時(shí)間較長。

本文針對一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)，提出了2種基于切換控制策略的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器，并分別應(yīng)用齊次系統(tǒng)方法和終端滑模控制理論，證明了在所設(shè)計(jì)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)能在有限時(shí)間內(nèi)從任意的非平衡位置收斂至平衡點(diǎn)。與一些已有非完整系統(tǒng)有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器相比，本文提出的2 種控制器均具有非奇異的特點(diǎn)。

1 問題描述

本文主要研究了非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)

的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題，即設(shè)計(jì)反饋控制器

使得三維鏈?zhǔn)较到y(tǒng)中3 個(gè)狀態(tài)x1，x2，x3，能夠在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡位置。其中:［x1，x2，x3］為三維非完整系統(tǒng)的狀態(tài)向量;［u1，u2］為系統(tǒng)輸入向量;實(shí)際中很多非完整系統(tǒng)可以通過適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)變換轉(zhuǎn)換成此類系統(tǒng)，如2 輪驅(qū)動(dòng)的移動(dòng)機(jī)器人、滾動(dòng)的圓盤、獨(dú)輪小車等系統(tǒng)。

定義1 非線性系統(tǒng)

是有限時(shí)間穩(wěn)定的是指系統(tǒng)滿足Lyapunov 穩(wěn)定性，且可在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡點(diǎn)［2］。其中:f(x)為連續(xù)的向量函數(shù)。

2 有限時(shí)間鎮(zhèn)定控制器設(shè)計(jì)

2.1 基于齊次系統(tǒng)的有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

在設(shè)計(jì)系統(tǒng)(1)的有限時(shí)間控制器之前，我們先給出一些相關(guān)的引理:

引理1［2］對Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng):

控制器:

可以在有限時(shí)間內(nèi)將其各狀態(tài)鎮(zhèn)定至平衡位置。其中:ki＞0，且使得多項(xiàng)式:

為Hurwitz 多項(xiàng)式;αi(i=1，2，…，n)之間滿足:

并且αn+1=1，αn=α，0＜α＜1;sign(x)表示符號函數(shù)，即:

在上述定義和引理的基礎(chǔ)上，本文得到了如下定理。

定理1 非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在切換控制器

的作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。其中:ki＞0，i =1，2，3，且使得多項(xiàng)式

為Hurwitz 多項(xiàng)式;α0=p/q，p，q 為正奇數(shù)且p＜q，α2，α3之間滿足:

證明:首先由三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)可知:

當(dāng)u1(x)=1 時(shí)，系統(tǒng)的部分狀態(tài)可表示為Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng):

其中:z1=x3，z2=x2，v =u2;由引理1 可知，系統(tǒng)(7)在控制器

作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。其中:k2＞0，k3＞0，且使得多項(xiàng)式:

為Hurwitz 多項(xiàng)式; α2，α3之間滿足:

并且α1=1，α2=α，0＜α＜1.

將z1=x3，z2=x2，v =u2代入控制器(8)，可知，系統(tǒng)(1)在控制器

的作用下，狀態(tài)x2，x3能在有限時(shí)間［0，t1］內(nèi)從非平衡位置收斂至平衡位置x2=0，x3=0，并且由x·1=1可知，狀態(tài)x1在這段時(shí)間內(nèi)的變化有界，從初始值x10變化到(x10+t1).

而當(dāng)狀態(tài)x2，x3在t1時(shí)刻到達(dá)平衡位置后，由于x2=0，x3=0，因此u2=0，x2u1=0，故控制輸入u1從u1=1 切換至u1=-k1xα01后，系統(tǒng)狀態(tài)x2，x3可以保持在平衡位置不變，而求解微分方程x·1=-k1xα01，可得狀態(tài)x1關(guān)于時(shí)間的方程:

由此可知狀態(tài)x1可以在有限時(shí)間段(t1，t2］內(nèi)從(x10+t1)收斂至平衡位置x1=0，并且:

因此，3 維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在切換控制器(6)的作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。定理得證。

2.2 基于終端滑模的有限時(shí)間控制器設(shè)計(jì)

定理2 非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在控制器

的作用下是有限時(shí)間穩(wěn)定的。其中，k ＞0;γ=n0/m0，n0，m0為互質(zhì)的正奇數(shù)且n0＜m0;β ＞0;p =m/n，m，n 為互質(zhì)的正奇數(shù)且n＜m＜2n;λ ＞0;q =n1/m1，m1，n1為互質(zhì)的正奇數(shù)且n1＜m1.

證明:當(dāng)u1(x)=1 時(shí)，系統(tǒng)的狀態(tài)方程可表示為

其中，子系統(tǒng)

為一個(gè)2 階Brunovsky 標(biāo)準(zhǔn)型的線性系統(tǒng)。

首先證明子系統(tǒng)(14)可以在有限時(shí)間內(nèi)到達(dá)滑動(dòng)平面s:

對所選滑動(dòng)平面式(15)求導(dǎo)得:

將式(12)中u2和式(14)代入式(16)，得:

當(dāng)p=m/n;m，n 為互質(zhì)的正奇數(shù)且n＜m＜2n時(shí)，xp-12≥0:

1)若xp-12＞0，則對于任意x2，總存在ε，使得λpx2p-1＞ε ＞0，因此，子系統(tǒng)(14)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂到滑動(dòng)平面。

2)若xp-12=0，則x2=0，若此時(shí)x3=0，則s=0.若x3≠0，由=u2可推得:

由此可知，系統(tǒng)不會(huì)停留在x2=0 且x3≠0 的狀態(tài)，而當(dāng)x2≠0 時(shí)，xp-12＞0，問題可歸于1).

因此，子系統(tǒng)(14)在有限時(shí)間［0，t1］內(nèi)到達(dá)切換平面。

由式(14)和s =x2p+βx3=0 可得:即求解該微分方程，可得狀態(tài)x3關(guān)于時(shí)間的方程:

由此可知，子系統(tǒng)(14)各狀態(tài)在到達(dá)滑模面s后，可在有限時(shí)間段(t1，t2］內(nèi)沿滑模面s 收斂至原點(diǎn)，且所需時(shí)間為

當(dāng)系統(tǒng)狀態(tài)x2和x3到達(dá)平衡位置后，由于x2=0，x3=0，因此u2=0，x2u1=0，故控制輸入u1從u1=1切換至u1=-kxγ1后，系統(tǒng)其余狀態(tài)x2和x3可以保持在平衡位置不變，而求解微分方程x·1=-kxγ1，可得狀態(tài)x1關(guān)于時(shí)間的方程:

由此可知狀態(tài)x1可以在有限時(shí)間段(t2，t3］內(nèi)從(x10+t2)收斂至平衡位置x1=0，并且:

綜合上述證明可知，非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)各狀態(tài)在控制器(12)的作用下在有限時(shí)間內(nèi)收斂至原點(diǎn)。定理得證。

2.3 2 種有限時(shí)間控制器比較

從上述2 種有限時(shí)間控制器證明過程可知，上述兩種控制器均可使系統(tǒng)(1)各狀態(tài)在有限時(shí)間內(nèi)收斂至平衡位置。但相比于控制器(6)，控制器(12)的參數(shù)與系統(tǒng)各狀態(tài)收斂至平衡狀態(tài)時(shí)刻的關(guān)系更為清晰，當(dāng)參數(shù)κ、β、λ、m0-n0、m1-n1、m -n 越大時(shí)，在控制器(12)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)能更快地到達(dá)平衡位置，否則系統(tǒng)各狀態(tài)到達(dá)平衡位置的時(shí)間較長。

3 仿真

本節(jié)各圖中，狀態(tài)x1，x2的單位為red;x3的單位為rad2;控制輸入u1、u2的單位為rad/s.

3.1 基于齊次系統(tǒng)的有限時(shí)間控制方法

由定理1 可知，3 維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在如下控制器:

的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零點(diǎn)。在滿足定理1 中參數(shù)選擇條件下，控制器各參數(shù)分別選取為:k1=5，k2=2，k3=1，α0=1/3，α2=3/5，α3=3/7.

當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=1，x2(0)=2，x3(0)=3 時(shí)，在控制器(22)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖1和圖2所示。

當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=10，x2(0)=20，x3(0)=30 時(shí)，在控制器(22)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖3和圖4所示。

圖1 系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下，各狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.1 The curves of states of the system (1)under the controller (22)

圖2 系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下，各控制輸入曲線Fig.2 The curves of inputs of the system (1)under the controller (22)

圖3 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下，各狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.3 The curves of states of the system (1)under the controller (22)when the initial states are far away from the equilibrium

圖4 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)(1)在控制器(22)的作用下，各控制輸入曲線Fig.4 The curves of inputs of the system (1)under the controller (22)when the initial states are far away from the equilibrium

從圖1和圖3可以看出，不論三維非完整系統(tǒng)各狀態(tài)的初始位置是否遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)，系統(tǒng)(1)均可以在控制器(22)的作用下收斂于平衡狀態(tài)，但當(dāng)初始位置遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí)，各狀態(tài)到達(dá)平衡位置的時(shí)間較長，同時(shí)從圖2和圖4可以看出控制器的切換時(shí)刻也較晚，主要是由于狀態(tài)x2、x3的初始位置遠(yuǎn)離平衡位置所致。

3.2 基于終端滑模的有限時(shí)間控制方法

由定理2 可知，3 維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)在如下控制器:

的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)可以在有限時(shí)間內(nèi)收斂至零點(diǎn)。在滿足定理2 中參數(shù)選擇條件下，控制器各參數(shù)分別選取為:k =1，γ =1/3，β =1，λ =1，p =5/3，q=1/3.

當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=1，x2(0)=2，x3(0)=3 時(shí)，在控制器(23)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖5和圖6所示。

當(dāng)系統(tǒng)各狀態(tài)初始值分別為:x1(0)=10，x2(0)=20，x3(0)=30 時(shí)，在控制器(23)的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)的變化曲線和控制輸入曲線分別如圖7和圖8所示。

從圖5和圖7可以看出，與控制器(22)相似，不論系統(tǒng)(1)各狀態(tài)的初始位置是否遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)，該系統(tǒng)均可以在控制器(23)的作用下收斂于平衡狀態(tài)，但當(dāng)初始位置遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí)，各狀態(tài)到達(dá)平衡位置的時(shí)間較長，同時(shí)從圖6和圖8可以看出控制器的切換時(shí)刻也較晚，主要是由于狀態(tài)x2、x3的初始位置遠(yuǎn)離平衡位置所致。

圖5 系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下，各狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.5 The curves of states of the system (1)under the controller (23)

圖6 系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下，各控制輸入曲線Fig.6 The curves of inputs of the system (1)under the controller (23)

圖7 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下，各狀態(tài)的時(shí)間響應(yīng)曲線Fig.7 The curves of states of the system (1)under the controller (23)when the initial states are far away from the equilibrium

綜合以上2 種控制方法，可以看出，基于齊次系統(tǒng)方法的有限時(shí)間控制器和基于終端滑模方法的有限時(shí)間控制器均可以在有限時(shí)間內(nèi)使得三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)(1)的所有狀態(tài)由任意初始位置收斂至平衡狀態(tài)。同時(shí)，對比圖1和圖5、圖3和圖7，可以發(fā)現(xiàn)，系統(tǒng)(1)各狀態(tài)在相同初始位置下，控制器(23)比控制器(22)能夠使系統(tǒng)各狀態(tài)在更短的時(shí)間內(nèi)到達(dá)平衡位置，即系統(tǒng)(1)在基于終端滑模方法的有限時(shí)間控制器的作用下收斂速度更快一些，且這一優(yōu)勢在系統(tǒng)的初始狀態(tài)偏離平衡位置較近時(shí)尤為明顯。從圖2、圖4、圖6和圖8可以看出，系統(tǒng)的控制輸入均為有界輸入，但同時(shí)也可以看到，由于本文所提控制器的控制輸入采用了切換控制策略，因此在控制過程中控制輸入出現(xiàn)了較大幅度的變化，還有待利用無擾動(dòng)切換技術(shù)予以改進(jìn)。

圖8 遠(yuǎn)離平衡狀態(tài)時(shí)，系統(tǒng)(1)在控制器(23)的作用下，各控制輸入曲線Fig.8 The curves of states of the system (1)under the controller (23)when the initial states are far away from the equilibrium

4 結(jié)論

本文針對一類三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題，提出了2 種基于切換控制策略的有限時(shí)間控制器，并基于齊次系統(tǒng)方法和終端滑模控制理論進(jìn)行了證明:當(dāng)所設(shè)計(jì)控制器各參數(shù)滿足給定條件時(shí)，在所設(shè)計(jì)控制策略的作用下，系統(tǒng)各狀態(tài)可在有限時(shí)間內(nèi)從任意非平衡位置收斂于平衡位置。最后利用仿真示例驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性，并對兩種控制器的性能進(jìn)行了比較，從仿真結(jié)果可以看出，本文所提控制策略均能較好的解決三維非完整鏈?zhǔn)较到y(tǒng)的有限時(shí)間鎮(zhèn)定問題。

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