金濤，柏逢明

(長春理工大學(xué) 電子信息學(xué)院，長春 130022)

近年來由于微弱信號的混沌檢測具有的高精度性，受到國內(nèi)外學(xué)者的極大矚目，但是通過混沌系統(tǒng)檢測微弱信號的前提為該系統(tǒng)是混沌的，在此前提下，如何準確判別系統(tǒng)狀態(tài)的變化是混沌檢測的關(guān)鍵，因此混沌檢測系統(tǒng)閾值的確定是建立混沌檢測系統(tǒng)的核心問題。在利用混沌振子檢測微弱信號中，必須要確定系統(tǒng)從混沌態(tài)躍變到周期態(tài)的閥值，一般都采用實驗的方法確定，通過多次改變系統(tǒng)的參數(shù)，觀察系統(tǒng)的相軌跡圖，當(dāng)系統(tǒng)從1.1躍變到1.2時便可確定此值即為系統(tǒng)閥值，但是這種判斷方法一方面效率極低，另一方面由于仿真參數(shù)的設(shè)置和人的主觀因素的影響會造成閥值存在較大的誤差，例如，仿真時間如果過短的話，容易把仿真開始時出現(xiàn)的類似周期運動狀態(tài)錯判為周期狀態(tài)。近幾年有學(xué)者相繼提出了數(shù)值判決法，這樣對于混沌狀態(tài)的閥值確定大體有兩類：第一類是直觀法，采用實驗的方法對系統(tǒng)從時域和頻域的特征曲線上進行判斷，具有直觀，簡單的特點，時間歷程法、相軌跡圖法、頻閃采樣法、Poincare截面法以及功率譜法。第二類是定量方法[1]，通過計算混沌系統(tǒng)的某個特征量數(shù)值判別混沌是否存在，混沌的特征值判別法包括分維數(shù)(fractal)、Kolmogorov值熵(Kolmogorov entropy，簡稱K熵)、Lyapunov特性指數(shù)(Lyapunov characteristic exponents，LCE)、和Melnikov方法等定量判別混沌的方法。定量法相對于直觀法具有精確度高的優(yōu)點，但是計算量復(fù)雜，不利于工程實現(xiàn)。本文在吸取上述理論基礎(chǔ)上，提出通過過零周期技術(shù)，對系統(tǒng)混沌周期態(tài)閾值的判據(jù)提出了一種新的研究方法，實現(xiàn)了弱信號檢測中的一個核心問題。

1 傳統(tǒng)的混沌態(tài)與大尺度周期態(tài)閾值判據(jù)

很多文獻對于混沌狀態(tài)的判據(jù)都進行了研究，這里簡單介紹一下其中最為典型的通過Lyapunov特性指數(shù)對系統(tǒng)的混沌態(tài)與大尺度周期態(tài)進行判斷[2]，混沌運動的一個重要特點是其運動對初始條件具有極端敏感性，兩個極為靠近的初值所演化的軌道，隨時間的推移會按指數(shù)形式分離，Lyapunov特性指數(shù)就是定量描述這一現(xiàn)象的量。設(shè)一維動力系統(tǒng)Xn+1=F(Xn)，初始的兩點為x0，x0+，這 是一個極小的量。如果平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)為，則經(jīng)過一次迭代之后，兩點相距為 *e，依此類推，在經(jīng)過n次迭代之后，兩點的距離為：

經(jīng)過運算可得：

2 基于過零周期的duffing振子系統(tǒng)混沌周期狀態(tài)閾值判據(jù)

在經(jīng)典的用于諧波信號檢測的Duffing方程構(gòu)造的混沌檢測系統(tǒng)中：

圖1中，系統(tǒng)以包圍(1，0)與(1，0)點作大尺度周期運動，因此明顯確認系統(tǒng)相軌跡的過零狀態(tài)。

圖1 大尺度周期相圖Fig.1 The phase diagram of large scale period

圖2 過零次數(shù)與幅值的關(guān)系Fig.2 The relationship between times of zero passage and amplitude

在此基礎(chǔ)上，通過大量試驗仿真可以發(fā)現(xiàn)系統(tǒng)在周期策動力幅值逐漸增加的同時，一定時間的過零次數(shù)也是在大致增加的，當(dāng)系統(tǒng)出于大尺度周期態(tài)時，過零次數(shù)保持恒定，那么這就為判斷混沌檢測系統(tǒng)的狀態(tài)提供了一種非常簡便的手段：在這里用定向過零的基本原理來分析系統(tǒng)整個時間段的運行狀態(tài)，會發(fā)現(xiàn)其具有一定的規(guī)律性，這里還是使用經(jīng)典Duffing方程加以仿真：

Duffing振子弱信號檢測系統(tǒng)的周期策動力處于其他頻率時同理，當(dāng)增大到一定值時，N不再變化，而是保持恒定的一個值，這都說明此時系統(tǒng)已經(jīng)進入大尺度周期狀態(tài)，因此可以預(yù)測當(dāng)N開始恒定時的值就處于系統(tǒng)閾值點附近，通過這種方法可以快速簡便地估計出系統(tǒng)的閾值點。如表1是在不同策動力頻率下計算的單位時間內(nèi)系統(tǒng)相軌跡穿越零點次數(shù)隨策動力不同而產(chǎn)生的變化。為在特定頻率下的策動力幅值，每一個對應(yīng)有一個單位時間過零點數(shù)N。

表1 不同頻率下過零次數(shù)Tab.1 The number of zero-crossing in the different frequency

圖3 過零次數(shù)與幅值關(guān)系( =1)Fig.3 The relationship between times of zero passage and amplitude(=1)

圖4 系統(tǒng)相圖( =1，=0.825)Fig.4 The phase diagram(=1，=0.825)

由圖3可以看出系統(tǒng)混沌態(tài)與大尺度周期態(tài)閾值在0.83左右，因為當(dāng)策動力幅值達到0.83時，單位時間內(nèi)系統(tǒng)相軌跡過零點次數(shù)開始穩(wěn)定在634，說明系統(tǒng)開始進入大尺度周期態(tài)，那么閾值肯定介于0.82與0.83之間，通過仿真可以看到duffing振子弱信號檢測系統(tǒng)在策動力頻率=1時，混沌態(tài)與大尺度周期態(tài)閾值為0.825，如圖4所示。

通過觀察系統(tǒng)相圖可以證明混沌態(tài)與大尺度周期態(tài)閾值與通過過零法估計的數(shù)值相符。以上其他數(shù)據(jù)為系統(tǒng)策動力處于不同頻率時系統(tǒng)一定時間過零周期數(shù)，通過這些數(shù)據(jù)很容易看出系統(tǒng)由混沌態(tài)向大尺度周期態(tài)轉(zhuǎn)變得閥值區(qū)域，通過相圖仿真可以證明系統(tǒng)閥值確實在這些區(qū)域。

3 結(jié)論

通過定時過零周期判定法可以準確確定Duffing振子弱信號檢測系統(tǒng)的混沌態(tài)與大尺度周期態(tài)閾值，如果想要得到更精確的閥值，可以細化周期策動力取值步長，具體工程應(yīng)用中可以根據(jù)需要確定步長的大小以得到不同精度的數(shù)值。通過對相圖的觀察，結(jié)果都是正確的，這就為混沌系統(tǒng)狀態(tài)閾值的確定增加了一種新的高效算法，同時對于采用混沌構(gòu)造的檢測系統(tǒng)中的弱信號判別提供了一種簡便的判決手段，具有直觀圖無法比擬的精確性，同時比現(xiàn)有的特征值算法簡單高效得多，在工程應(yīng)用中具有很大意義。此外這種方法具有普適性，對于其他混沌系統(tǒng)也具有通用性。

[1]李月，楊寶俊，李亞峻.微弱正弦信號檢測模型混沌解的判定[J].地球物理學(xué)進展，2002，17(4)：133-136.

[2]陳士華，陸君安.混沌動力學(xué)初步[M].武漢:武漢水利電力大學(xué)出版社，1998.

[3]李月，楊寶俊，鄧小英，等.諧波信號頻率的混沌檢測方法[J].電子與信息學(xué)報，2005，27(5)：120-122.