趙甲薦 魏德敏

(華南理工大學(xué)亞熱帶建筑科學(xué)國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室,廣東廣州 510640)

箱梁結(jié)構(gòu)具有抗扭剛度大、能有效抵抗正負(fù)彎矩、適應(yīng)現(xiàn)代化施工等優(yōu)點(diǎn).單箱雙室箱梁更是以其整體性好、材料受力利用充分、景觀效果好等優(yōu)點(diǎn),而在現(xiàn)代橋梁中得到廣泛應(yīng)用[1-2].由于箱梁截面畸變(扭轉(zhuǎn)變形)、彎扭、翹曲變形以及剪力滯的存在,箱梁的結(jié)構(gòu)分析變得十分復(fù)雜.在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)中,為了抵抗箱梁截面變形、增加截面的橫向剛度、限制畸變應(yīng)力,往往在梁跨中區(qū)域設(shè)置橫隔板和在梁兩端設(shè)置橫隔墻.近年來,新建的大、中跨度預(yù)應(yīng)力箱形梁橋越來越多,為減輕自重,箱形截面的壁越來越薄,甚至已發(fā)展到波紋鋼腹板預(yù)應(yīng)力箱梁[3-4],這大大降低了箱梁的抗扭剛度;此外,國內(nèi)大量修建鐵路和城市交通軌道,其橋梁結(jié)構(gòu)大多采用箱梁,箱梁要承受列車或軌道車輛傳來的超大荷載,產(chǎn)生的畸變應(yīng)力很大.這都讓箱梁橫隔板和橫隔墻的設(shè)置顯得尤為重要,對橫隔板和橫隔墻受力性能的深入研究也更為迫切.

目前國內(nèi)外有關(guān)設(shè)置橫隔板和橫隔墻來加強(qiáng)箱梁抗畸變能力的研究很多[5-6],但都沒有研究橫隔板和橫隔墻的抗剪剛度與剪切應(yīng)變能,而且方法簡單,對其只做有限元計(jì)算或試驗(yàn),沒有理論推導(dǎo).有學(xué)者對雙 T型橋和單箱單室梁橋的橫隔板和橫隔墻的抗剪剛度與剪切應(yīng)變能進(jìn)行了研究[7-9],但沒有對單箱雙室梁橋的橫隔板和橫隔墻進(jìn)行研究,并且對橫隔板都只算了橫向畸變角引起的剪切應(yīng)變能,忽略了豎向畸變角引起的剪切應(yīng)變能,有些推導(dǎo)的準(zhǔn)確性有待證明.針對這些問題,文中從單箱雙室箱梁畸變角的變位模式出發(fā),研究橫隔板橫、豎向剪切應(yīng)變能和橫隔墻橫向剪切應(yīng)變能,并對橫隔板開孔位置對抗剪剛度、剪切應(yīng)變能的影響進(jìn)行比較,為進(jìn)一步的結(jié)構(gòu)空間振動(dòng)分析打下基礎(chǔ).

1 薄壁曲線單箱雙室箱梁的位移模式

當(dāng)箱梁截面發(fā)生畸變(扭轉(zhuǎn)變形)時(shí),產(chǎn)生很大的畸變應(yīng)力,箱梁截面發(fā)生變形;此時(shí),箱梁的頂、底板,左、中、右腹板擠壓橫隔板和橫隔墻,迫使橫隔板和橫隔墻發(fā)生剪切變形,產(chǎn)生剪切應(yīng)力,形成剪切應(yīng)變能.要研究橫隔板和橫隔墻剪切應(yīng)變能,必須先研究薄壁曲線單箱雙室箱梁的位移模式.

對薄壁曲線單箱雙室箱梁采用曲板板梁有限元單元法來進(jìn)行空間計(jì)算分析.薄壁曲線單箱雙室箱梁的實(shí)際截面如圖 1所示,薄壁曲線單箱雙室箱梁的截面計(jì)算簡圖與位移參數(shù)如圖2所示.

圖1 單箱雙室箱梁的實(shí)際截面Fig.1 Cross section of single-box double-cell box girder

圖2 單箱雙室箱梁的截面計(jì)算簡圖與位移參數(shù)Fig.2 Caculation diagram and displacement parameters of cross section of single-box double-cellbox girder

圖中,bd0、hd0分別為箱梁單室的寬和高,也分別為單個(gè)橫隔板或橫隔墻的寬和高.截面位移參數(shù)包括4個(gè)角點(diǎn)的曲線切向位移值wul、wur、wll、wlr,箱梁頂板、底板的面內(nèi)橫向位移值uu、ul及左、右腹板上部豎向位移值vl、vr,共8個(gè)獨(dú)立參數(shù).兩個(gè)非獨(dú)立參數(shù)vlb、vrb分別為左、右腹板下部豎向位移,角 α為左、右腹板與豎線的夾角.

對曲線單箱雙室箱梁的曲板板梁子單元,根據(jù)一般梁單元的基本假定,不考慮梁單元縱向纖維的擠壓,可略去曲線單箱雙室箱梁板件寬度與厚度方向纖維擠壓變形.于是左腹板下部豎向位移為vlb=vl+(uu-ul)tgα,右腹板下部豎向位移為vrb=vr+(ul-uu)tgα.

2 單箱雙室箱梁橫隔板的剪切應(yīng)變能

薄壁曲線單箱雙室箱梁橫截面畸變可分解為橫向畸變和豎向畸變,設(shè) γx、γy分別為箱梁橫截面橫向畸變角和豎向畸變角.

薄壁曲線單箱雙室箱梁橫隔板的實(shí)際截面如圖3所示.單個(gè)橫隔板開孔單向偏心,開孔位置任取.薄壁曲線單箱雙室箱梁橫隔板的截面計(jì)算簡圖如圖4所示.

圖3 橫隔板的實(shí)際截面Fig.3 Cross section of diaphragm

圖4 橫隔板的截面計(jì)算簡圖Fig.4 Caculation diagram of cross section of diaphragm

2.1 單箱雙室箱梁橫隔板的橫向剪切應(yīng)變能

根據(jù)一般梁單元的基本假定,當(dāng)箱梁截面發(fā)生橫向畸變時(shí),橫隔板可近似視為兩個(gè)單跨豎立的具有無窮大剛度橫梁的剛架,如圖5所示.設(shè)Id1、Id2分別為單個(gè)剛架的兩個(gè)剛架柱的彎曲慣性矩;設(shè)Rd為單個(gè)剛架的抗剪剛度,即剛架頂點(diǎn)產(chǎn)生單位橫向水平位移時(shí)作用于頂點(diǎn)的橫向水平力.

圖5 橫向畸變時(shí)的橫隔板計(jì)算簡圖Fig.5 Transverse distortion caculation diagram of diaphragms

箱梁橫截面橫向畸變角 γx的變位模式有

式中:h為箱梁橫截面頂、底板中線的距離.

由結(jié)構(gòu)力學(xué)可求得單個(gè)剛架抗剪剛度:

式中:E為彈性模量;hdy為單個(gè)橫隔板開孔上下兩側(cè)部分中心線的距離.

箱梁橫截面兩個(gè)橫隔板的橫向剪切應(yīng)變能為

2.2 橫隔板開孔位置對橫向剪切應(yīng)變能的影響

對于某個(gè)橫隔板來說,開孔寬度一定,故令

式中:c1是單個(gè)橫隔板靠中腹板部分的寬度;c2是單個(gè)橫隔板靠邊腹板部分的寬度;c0為一定值.

視單個(gè)剛架的兩個(gè)剛架柱為桿件來求其彎曲慣性矩Id1、Id2,并將式(4)代入式(2),得

式中:t1為橫隔板的厚度.

單個(gè)剛架抗剪剛度Rd與單個(gè)橫隔板靠中腹板部分寬度 c1的理論關(guān)系曲線如圖 6所示,由圖 6可以看出:

圖6 Rd與c1的理論關(guān)系曲線Fig.6 Theoretical curve of Rd versus c1

下面討論單個(gè)橫隔板靠中腹板部分的寬度 c1的實(shí)際有效取值范圍:

(1)截面中腹板兩側(cè)都有寬度為 c1的部分橫隔板,而左右腹板只有內(nèi)側(cè)有寬度為 c2的部分橫隔板.由于橫隔板的作用,各個(gè)腹板旁邊的部分橫隔板都不能太單薄,所以c1≤c2,即c1≤0.5c0.

(2)c1=0或c1=c0大大減弱了橫隔板抵抗箱梁截面變形的作用,實(shí)際操作中不允許,所以 c1≠0,且c1≠c0.

(3)當(dāng)橫向畸變比較小時(shí),中腹板與兩側(cè)的部分橫隔板一起變形,那么中腹板兩側(cè)部分橫隔板合一起的寬度與左右腹板內(nèi)側(cè)部分橫隔板的寬度最好相當(dāng),即c1=0.5c2=c0/3.在下面抵抗箱梁橫截面豎向畸變時(shí)需要足夠的剛度,故c1的值不能比此更小.

由此,單個(gè)橫隔板靠中腹板部分的寬度 c1的實(shí)際有效取值范圍為c0/3≤c1≤c0/2,即圖 6所示的實(shí)線部分.單個(gè)橫隔板的實(shí)際有效剛度取值范圍為

由上述及式(3)可得出橫隔板開孔位置對橫向剪切應(yīng)變能的影響:

(1)單個(gè)橫隔板開孔位置變化范圍為 0.5c2≤c1≤c2.

(2)橫隔板中心開孔時(shí)的單個(gè)剛架抗剪剛度Rd最小,抵抗畸變的能力也最小.

(3)c1=0.5c2時(shí)的單個(gè)剛架抗剪剛度Rd最大,抵抗畸變的能力也最大,因此,靠近中腹板部分的橫隔板寬度c1為靠近邊腹板部分的橫隔板寬度c2的一半時(shí)的橫隔板單向偏心開孔是單箱雙室箱梁橫隔板開孔位置的最佳選擇.

2.3 單箱雙室箱梁橫隔板的豎向剪切應(yīng)變能

同理,當(dāng)箱梁截面發(fā)生豎向畸變時(shí),橫隔板可近似視為兩個(gè)單跨橫臥的具有無窮大剛度橫梁的剛架,如圖 7所示.設(shè)I′d為單個(gè)剛架的單個(gè)橫臥剛架柱的彎曲慣性矩.設(shè) R′d為單個(gè)橫臥剛架的抗剪剛度,即橫臥剛架頂點(diǎn)產(chǎn)生單位豎向水平位移時(shí)作用于頂點(diǎn)的豎向垂直力.

圖7 豎向畸變時(shí)的橫隔板計(jì)算簡圖Fig.7 Vertical distortion caculation diagram of diaphragms

箱梁橫截面豎向畸變角 γy的變位模式有

式中:b、bl為橫截面左、右腹板中線在分別與頂、底板中線相交時(shí)兩交點(diǎn)的距離.

由結(jié)構(gòu)力學(xué)可求得單個(gè)剛架抗剪剛度(視橫臥剛架柱為桿件可求其彎曲慣性矩I′d):

式中:hdx為單個(gè)橫隔板開孔左右兩側(cè)中心線的距離.

箱梁橫截面兩個(gè)橫隔板的豎向剪切應(yīng)變能為

2.4 薄壁曲線單箱雙室箱梁橫隔板的總剪切應(yīng)變能和平衡方程

結(jié)合式(3)和式(11),箱梁橫截面橫隔板的總剪切應(yīng)變能為

對式(12)取一階變分,得,

式中:kd為橫截面橫隔板的剪切剛度矩陣,

Vd為橫截面橫隔板的總剪切應(yīng)變能的一階變分; [uuulvlvr]T為箱梁橫截面位移參數(shù)列陣; [uu,ul,vl,vr]為箱梁橫截面位移參數(shù)的一階變分行陣.

單箱雙室箱梁截面橫隔板的彈性總勢能為兩個(gè)橫隔板所有彈性勢能之和,即

式中:V為單箱雙室箱梁截面橫隔板的彈性總勢能; F箱梁橫截面荷載列陣;[uuulvlvr]為箱梁橫截面位移參數(shù)行陣.

根據(jù)勢能駐值原理與變分原理,得

根據(jù)橫隔板在單箱雙室箱梁的位置,利用“對號入座”法[7]組拼到箱梁剛度矩陣中去,即可在整個(gè)箱梁的受力分析中考慮到橫隔板剛度的影響.再進(jìn)一步組拼到車-橋系統(tǒng)剛度矩陣中,可以完善車-橋系統(tǒng)空間振動(dòng)分析.

3 單箱雙室箱梁兩端橫隔墻的剪切應(yīng)變能和平衡方程

略去曲線單箱雙室箱梁板件寬度與厚度方向的纖維擠壓變形,又由于梁端支座邊界條件ul=vl= vr=wll=wlr=0,梁端橫隔墻只有由uu引起的橫向畸變,如圖 8所示.單箱雙室箱梁一端有兩個(gè)橫隔墻.

圖8 橫向畸變時(shí)的橫隔墻計(jì)算簡圖Fig.8 Transverse distortion caculation diagram of side walls

箱梁端橫截面橫向畸變角為 γ′x,單個(gè)橫隔墻的抗剪剛度為Rd0.γ′x的變位模式有

視單個(gè)橫隔墻為板件來求其抗剪剛度.先對單個(gè)橫隔墻隨機(jī)取單位寬度橫隔墻,由結(jié)構(gòu)力學(xué)可求得單位寬度橫隔墻的抗剪剛度,

式中:I1為單位寬度橫隔墻的彎曲慣性矩;t2為橫隔墻厚度;hd0為單個(gè)橫隔墻高.

單個(gè)橫隔墻的抗剪剛度

式中:bd0為單個(gè)橫隔墻寬度;單個(gè)橫隔墻水平橫截面積為Ad0=t2bd0.

梁端兩個(gè)橫隔墻的橫向剪切應(yīng)變能為

式中:Vd0為梁端兩個(gè)橫隔墻的橫向剪切應(yīng)變能的一階變分;uu為箱梁端橫截面頂板的面內(nèi)橫向位移的一階變分.

梁端兩個(gè)橫隔墻的彈性總勢能V′=Vd0-uuF′.其中:Vd0為梁端兩個(gè)橫隔墻的橫向剪切應(yīng)變能;F′為梁端橫截面兩個(gè)橫隔墻所受的橫向荷載.

根據(jù)勢能駐值原理與變分原理,得

對式(20)取一階變分,得,

根據(jù)梁端橫隔墻在單箱雙室箱梁的位置,利用“對號入座”法[7]組拼到箱梁剛度矩陣中去,即可在整個(gè)箱梁的受力分析中考慮梁端橫隔墻剛度的影響.

4 算例與比較

4.1 算例

本文是新型輕軌車 -橋振動(dòng)研究的前期工作,以上海明珠線為例.明珠線標(biāo)準(zhǔn)梁采用單箱雙室截面、雙柱式橋墩的預(yù)應(yīng)力鋼筋混凝土簡支箱梁,跨度為30m,混凝土強(qiáng)度等級為C50.箱梁除兩端設(shè)置端隔墻外,還沿縱向加設(shè)3道橫隔板.為方便研究橫隔板開孔位置對橫向剪切應(yīng)變能的影響,提供 3種橫隔板的設(shè)計(jì)方案,尺寸如圖 9所示.梁端橫隔墻的尺寸如圖10所示.橫隔板、橫隔墻厚度均為0.2m.材料動(dòng)力彈性模量為4.2×107kN/m2,泊松比為0.16,重度為25kN/m3.

圖9 橫隔板尺寸(單位:m)Fig.9 Diaphragm size(Unit:m)

圖10 橫隔墻尺寸(單位:m)Fig.10 Side wall size(Unit:m)

先選c1=0.4m偏心開孔橫隔板,計(jì)算其在相對橫向位移(箱梁截面頂點(diǎn)相對于底點(diǎn))時(shí)的橫向剪切應(yīng)變能和在相對豎向位移(箱梁截面左側(cè)相對于右側(cè))時(shí)的豎向剪切應(yīng)變能;為研究橫隔板開孔位置對橫向剪切應(yīng)變能的影響,選 3種 c1取不同值的橫隔板,比較計(jì)算它們在1mm相對橫向位移時(shí)的橫向剪切應(yīng)變能和單個(gè)橫隔板的抗剪剛度;最后計(jì)算橫隔墻在橫向位移時(shí)的橫向剪切應(yīng)變能.為了驗(yàn)證文中提出的計(jì)算方法的正確性,用Ansys有限元軟件對每次計(jì)算的橫隔板或橫隔墻進(jìn)行建模分析,采用SOLID45實(shí)體單元來離散,將計(jì)算的結(jié)果與文中提出的計(jì)算方法的結(jié)果進(jìn)行比較.計(jì)算結(jié)果如圖11-15所示.

圖11 橫隔板橫向剪切應(yīng)變能Fig.11 Transverse shear strain energy of diaphragms

圖12 橫隔板豎向剪切應(yīng)變能Fig.12 Vertical shear strain energy of diaphragms

圖13 不同c1值橫隔板在1mm橫向位移時(shí)的橫向剪切應(yīng)變能Fig.13 Transverse shear strain energy of diaphragmswith different c1 values under 1mm transverse displacement

圖14 不同c1值單個(gè)橫隔板在1mm橫向位移時(shí)的抗剪剛度Fig.14 Shear stiffness of single diaphragm with different c1 values under 1mm transverse disp lacement

圖15 橫隔墻橫向剪切應(yīng)變能Fig.15 Transverse shear strain energy of side walls

由圖11、12、15可見,文中方法計(jì)算結(jié)果與Ansys軟件計(jì)算結(jié)果比較接近.

橫隔板橫向、豎向剪切應(yīng)變能和橫隔墻橫向剪切應(yīng)變能都隨位移增加而呈冪函數(shù)增加.

在圖13中,文中方法與Ansys計(jì)算所得的剪切應(yīng)變能在3種c1取值下都是隨c1增大而減少.同時(shí)由圖13、14可見,c1=0.5c2=0.4m單向偏心開孔橫隔板的橫向剪切應(yīng)變能和抗剪剛度在 3種 c1不同取值的橫隔板中是最大的.

4.2 文中計(jì)算方法與商業(yè)有限元軟件方法的對比

為保證計(jì)算精度,用Ansys有限元軟件對c1= 0.4m橫隔板進(jìn)行建模分析時(shí),用了 1 264個(gè) SOLID45實(shí)體單元來離散;對c1=0.5m橫隔板,用了1332個(gè)單元來離散;對c1=0.6m橫隔板,用了1216個(gè)單元來離散;對梁端橫隔墻,用了 1302個(gè)單元來離散.在文中提出的計(jì)算方法中,對箱梁截面的兩個(gè)橫隔板只是近似視為兩個(gè)單跨豎立或橫臥的具有無窮大剛度橫梁的剛架來求其總剪切應(yīng)變能;對梁端兩個(gè)橫隔墻只是近似視為兩個(gè)板件來求其橫向剪切應(yīng)變能.而這兩種方法計(jì)算結(jié)果接近.因此,文中計(jì)算方法較之商業(yè)有限元軟件方法更加簡便實(shí)用.

從文中計(jì)算方法的推導(dǎo)可以看出,該方法整個(gè)計(jì)算思路簡潔,物理概念明確,易于推廣,適合工程計(jì)算需要.

工程實(shí)踐中,通常要把橫隔板、橫隔墻納入整個(gè)箱形橋梁或車 -橋系統(tǒng)中去計(jì)算,相比于整個(gè)橋梁或系統(tǒng),橫隔板、墻的尺寸很小.在商業(yè)有限元軟件模擬計(jì)算中,橫隔板、墻只能離散為少數(shù)單元,勢必減少橫隔板、墻的計(jì)算精度.而現(xiàn)代箱形梁橋的截面壁薄,承受的荷載大,橫隔板、墻抵抗箱梁截面畸變、增加橫向剛度的作用越來越重要.橫隔板、墻的計(jì)算誤差過大會(huì)大大影響整個(gè)箱形橋梁或車 -橋系統(tǒng)的計(jì)算精度.而文中計(jì)算方法無論是單獨(dú)計(jì)算橫隔板或橫隔墻還是計(jì)算整個(gè)箱形橋梁或車-橋系統(tǒng),對橫隔板、墻的計(jì)算都不會(huì)作任何改變,計(jì)算精度保持不變.

采用文中計(jì)算方法,可非常容易地把橫隔板、橫隔墻的剛度組拼到箱梁剛度矩陣車-橋系統(tǒng)剛度矩陣中.

文中是采用鋼架柱來計(jì)算抗彎剛度,并獲得剪切應(yīng)變能,而鋼架柱受長細(xì)比的影響.當(dāng)長細(xì)比 = 5.2時(shí),誤差為 35.5%,如圖15所示;當(dāng) =6.4時(shí),誤差為19.2%,如圖11所示;當(dāng) =13.0時(shí),誤差為-0.42%,如圖12所示.可以看出橫隔板開孔越大、箱梁越高,計(jì)算誤差越小.故文中計(jì)算方法適用于大、中跨度預(yù)應(yīng)力箱形梁橋橫隔板、墻的剪切應(yīng)變能計(jì)算.

5 結(jié)論

文中根據(jù)單箱雙室箱梁截面的變形設(shè)計(jì)位移參數(shù),導(dǎo)出橫截面橫向、豎向畸變角的變位模式;采用剛架或板件來模擬橫隔板和橫隔墻的計(jì)算簡圖,利用力學(xué)和有限元原理推導(dǎo)出橫隔板、橫隔墻的抗剪剛度、剪切應(yīng)變能;并將此方法的計(jì)算結(jié)果與商業(yè)有限元軟件計(jì)算結(jié)果進(jìn)行比較,結(jié)果表明:

(1)該方法的計(jì)算理論正確可靠,計(jì)算結(jié)果與商業(yè)有限元軟件計(jì)算結(jié)果比較接近;該研究結(jié)果為單箱雙室梁橋的橫隔板和橫隔墻提供了一種較完整和可信的研究方法.

(2)該計(jì)算方法只用兩個(gè)具有無窮大剛度橫梁的剛架來模擬橫隔板、用兩個(gè)板件來模擬橫隔墻,相比于Ansys要用上千個(gè)單元來模擬橫隔板或橫隔墻,該計(jì)算方法更加簡便實(shí)用.

(3)該計(jì)算方法對橫隔板、橫隔墻無論是單獨(dú)計(jì)算還是置入整個(gè)箱形橋梁或車 -橋系統(tǒng)中計(jì)算,計(jì)算精度都保持不變.

(4)該計(jì)算方法思路簡潔,物理概念明確,易于推廣,可非常容易地把橫隔板、橫隔墻的剛度組拼到箱梁剛度矩陣車-橋系統(tǒng)剛度矩陣中.

(5)該計(jì)算方法可以計(jì)算任意單向偏心開孔橫隔板的橫向剪切應(yīng)變能.計(jì)算結(jié)果表明,靠近中腹板部分的橫隔板寬度 c1為靠近邊腹板部分的橫隔板寬度 c2的一半時(shí)的橫隔板是單箱雙室箱梁橫隔板開孔位置的最佳選擇.

(6)該計(jì)算方法適用于大、中跨度預(yù)應(yīng)力箱形梁橋橫隔板、墻的剪切應(yīng)變能計(jì)算.

(7)橫隔板橫向、豎向剪切應(yīng)變能和橫隔墻橫向剪切應(yīng)變能都隨位移增加而呈冪函數(shù)增加,這說明橫隔板和橫隔墻對增加箱梁截面的橫向剛度,抵抗截面畸變的作用很大,它們的嚴(yán)格設(shè)置和研究對現(xiàn)代箱形橋梁建設(shè)尤為重要.

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