胡愛花，吳昌應

（1.江南大學理學院，江蘇無錫214122；2.無錫市文化廣電新聞出版局廣播電視處，江蘇無錫214001）

0 前言

近年來，混沌同步的應用從物理學迅速擴展到了生物學、信息科學和保密通信等領域［1－3］。由于混沌同步在工程技術上的重要價值和較廣闊的應用前景，它一直是非線性科學領域的研究熱點之一?；煦缤街饕?類［4］：完全同步、相同步、滯后同步以及廣義同步。其中，完全同步是最基本的同步形式。所謂完全同步，是指兩個相同混沌系統(tǒng)的相軌跡隨時間漸近地趨于一致。由于混沌系統(tǒng)對初始值的敏感依賴性，兩個初始值不同的混沌系統(tǒng)很難達到完全同步。目前，研究者們已經(jīng)提出了各種各樣的方法來控制混沌系統(tǒng)從而實現(xiàn)完全同步［5－7］。

然而，在實際環(huán)境中，混沌系統(tǒng)的參數(shù)往往會由于受到外界因素（如噪聲、溫度等）的干擾而在一定范圍內(nèi)發(fā)生波動，這樣就使得原先確定的混沌系統(tǒng)變得不確定。這些外界因素基本上不可避免，因此，研究不確定混沌系統(tǒng)的同步更具有現(xiàn)實意義。針對這一問題，已經(jīng)取得了一些成果，例如文獻［8－9］，提出可以利用滑?？刂品椒ê妥赃m應控制方法。

本文將應用脈沖控制方法來研究兩個不確定混沌系統(tǒng)的完全同步化，和其他方法相比，該方法的優(yōu)點在于脈沖時間離散，脈沖強度小，因此控制所需的代價小。脈沖控制方法的數(shù)學模型是脈沖微分方程，描述的是在某些時刻以跳躍形式改變其狀態(tài)的演化過程。兩個混沌系統(tǒng)的脈沖同步問題可以轉(zhuǎn)化為同步誤差系統(tǒng)零點的穩(wěn)定性問題。本文研究的主要內(nèi)容是：考慮驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)的參數(shù)發(fā)生擾動，并且假定系統(tǒng)本身和擾動滿足一定的條件，采用脈沖控制方法控制響應系統(tǒng)，從而使驅(qū)動系統(tǒng)和響應系統(tǒng)達到完全同步狀態(tài)。文中推導出了脈沖控制所需要的脈沖強度與間隔，給出了嚴格的理論證明，同時以具體的數(shù)值例子加以了驗證。

1 脈沖微分方程的基本理論

考慮一個脈沖時刻固定的脈沖微分系統(tǒng)：

其中：f：R＋×Rn→Rn；U：Rn×Rn→Rn是連續(xù)的；x∈Rn表示狀態(tài)向量；0?τ1?τ2?…?τk?τk＋1?…，當k→∞時，τk→∞。

為方便推導，類似于文獻［10］，給出如下定義：

定義1 令V：R＋×Rn→R＋，若以下條件滿足，則稱V屬于類V0：

（1）V在（τk－1，τk］×Rn上連續(xù)，并且對于任意x∈Rn，k＝1，2，…（t，y）＝V（τ，x）存在；

（2）V對于x滿足局部Lipschitz條件。

定義2 對于（t，x）∈（τk－1，τk）×Rn定義：

定義3 比較系統(tǒng)，若V∈V0且滿足如下條件：

其中g：R＋×R＋→R連續(xù)；Ψk：R＋→R＋是不減函數(shù)；那么稱下式為系統(tǒng)（1）的比較系統(tǒng)：

2 不確定混沌系統(tǒng)的同步化

考慮如下不確定混沌驅(qū)動系統(tǒng)：

其中：x∈Rn是狀態(tài)向量；A、B∈Rn×n代表系統(tǒng)的參數(shù)矩陣；φ是非線性向量函數(shù)；△A和△Β為不確定項。本文中定義：

其中：H1、H2∈Rn×1，E1、E2∈R1×n，它們都代表擾動強度；F（t）是外界不確定因素，如噪聲。

受脈沖控制的響應系統(tǒng)可表示為：

其中：C∈Rn×n是脈沖強度；τi（i＝1，2，…）滿足：0?τ1?τ2?…?τi?τi＋1?…→∞。

令同步誤差向量為e＝［e1，e2，…，en］T＝x－y。由式（3）和式（6）可得誤差系統(tǒng)如下：

在推導同步化條件之前，需要作如下假設并引入相關引理。

假設1 函數(shù)φ滿足全局Lipschitz條件：

其中L是一個正常數(shù)。

假設2 在假設1滿足的前提下，矩陣B滿足：

假設3 不失一般性，假設 F（t）≤1。

引理1［11］若X和Y是適當維數(shù)的向量或矩陣，那么對于任意正常數(shù)α，以下不等式成立：

經(jīng)過推導，給出系統(tǒng)（3）和（6）的同步化條件，如下：

定理1 驅(qū)動系統(tǒng)（3）和響應系統(tǒng)（6）將實現(xiàn)完全同步化，若存在常數(shù)ξ?1和一個當t≠τk時可導的不增函數(shù)K（t），滿足：

其中：λ1＝λmax（A＋AT），λ2＝Lλmax（B＋BT），λ3＝（EE1），λ4＝ε1λmax（H1H），λ5＝（EE2），λ6＝Lε2λmax（H2H），λmax（A）代表矩陣A的最大特征根；ε1、ε2?0是任意正常數(shù)；d＝ ρ2（I＋C），ρ（A）表示矩陣A的譜半徑；｛τi：i＝1，2，…｝是變化的，滿足：

且對于任意給定的常數(shù)ε，下式成立：

證明 選取Lyapunov函數(shù)為V（t，e）＝eTe。

當t≠τi，沿著誤差系統(tǒng)（7）的解軌線，得：

根據(jù)引理1，得到對于ε1、ε2?0，有：

因此，可簡化不等式（15）為：

當t＝τi，沿著誤差系統(tǒng)（7）的解軌線，得：

由文獻［12］可知系統(tǒng)（7）的漸近穩(wěn)定性可由如下比較系統(tǒng)來判定：

其中，上述不等式（21）和（22）可分別從式（11）和（12）推導得出；因此由文獻［12］可知系統(tǒng)（7）的平凡解將漸近穩(wěn)定。定理1得證。

注1 通過定理1，可估計出脈沖間隔△2的上界△2和△′2：

3 數(shù)值仿真

以Chua's電路［13］為例進行仿真，如下：

其中：α?0；β?0；a?b?0；φ定義為：

由此可得：

假設1成立。

當α＝10.0，β＝14.87，a＝－1.27，b＝－0.68，Chua's電路有雙卷波混沌吸引子，如圖1所示。

根據(jù)式（3）和式（6），得到：

其中：x＝［x1，x2，x3］T；y＝［y1，y2，y3］T；

圖1 Chua's電路三維圖

假設H1＝H2＝＝［1 1 0］，E2＝［1 0 0］，F(xiàn)（t）＝0.1sin（t）＋0.1cos（t）?？傻茫?/p>

可以看出，系統(tǒng)參數(shù)α受到外界因素F（t）的影響。

選取x（0）＝（0.1，0.1，0.1），y（0）＝（0.2，0.2，0.2），x（0）和y（0）分別代表驅(qū)動—響應系統(tǒng)的初值；

圖2 驅(qū)動－響應系統(tǒng)的誤差e i（i＝1，2，3，e i＝x i－y i）

從圖2中可以看出：誤差ei很快地趨于0，表明驅(qū)動—響應系統(tǒng)較好地實現(xiàn)了同步。

4 結(jié)論

本文研究了基于脈沖控制的兩個不確定混沌系統(tǒng)的完全同步化問題。所采用的控制方法具有變化的脈沖間隔，同時還估計出了脈沖間隔的上界。從仿真中可以發(fā)現(xiàn)，控制過程中所需的脈沖強度小，同步速度較快，同步效果較好。理論分析結(jié)果不僅適用于Chua's電路，同樣適用于滿足假設條件的其他混沌系統(tǒng)。

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