(G′/G)展開法的簡化及Nagumo方程的有界行波解

李向正 ,張衛(wèi)國 ,原三領(lǐng)

(1.上海理工大學(xué)理學(xué)院,上海 200093;2.河南科技大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計學(xué)院,河南洛陽 471003)

0 前言

王明亮、李向正和張金良于 2008年提出了(G′/G)展開法[1],爾后受到了國內(nèi)外同行的大量關(guān)注,在國際重要期刊上已有幾十篇論文提到或應(yīng)用該方法[2-5]。(G′/G)展開法的主要思想是借助(G′/G)變換,利用眾所周知的二階線性常系數(shù)常微分方程及其一般解,來求出非線性發(fā)展方程的行波解。(G′/G)展開法揭示出了非線性方程的解可以用線性方程的解來構(gòu)造,從而充分利用了線性常微分方程理論。文獻[2]將(G′/G)展開法推廣到了變系數(shù)非線性演化方程。文獻[3]將(G′/G)展開法應(yīng)用到了高階非線性發(fā)展方程。文獻[4]將(G′/G)展開法應(yīng)用到了時滯非線性演化方程。文獻[5]將(G′/G)展開法應(yīng)用到了高維非線性物理方程。

本文擬對(G′/G)展開法做進一步簡化。在文獻[1]的(G′/G)展開法中,所用的二階線性方程是

其中λ,μ為待定常數(shù)。由常微分方程定性理論研究表明,方程(1)可以簡化為:

其中δ∈{-1,0,1},這樣并不失一般性。由于方程(2)與方程(1)相比,減少了參數(shù)且限定了 δ的取值,方程(2)解的表示式十分簡潔。用更少的參數(shù)就可得到同樣本質(zhì)的結(jié)果。下面將簡化后的(G′/G)展開法應(yīng)用于Nagumo方程,求出其各種有界的行波解,并分析它們的性態(tài)。

1 Nagumo方程及其有界行波解

大腦是人體最為復(fù)雜的信息處理系統(tǒng)。聯(lián)想記憶是人腦的重要認知功能之一。由于許多神經(jīng)活動很難在實驗室中直接被觀察,需要通過建立神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型對腦的聯(lián)想記憶功能進行仿真。20世紀 90年代,研究表明發(fā)放神經(jīng)元表現(xiàn)出了聯(lián)想記憶的特性,更加接近真實生物神經(jīng)元。因此,由發(fā)放神經(jīng)元模型構(gòu)成的聯(lián)想記憶神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)模型成為目前國際科學(xué)研究的熱點,其中Hodgkin-Huxley模型(簡稱HH模型)、FitzHugh-Nagumo模型(簡稱FHN模型)就是典型的發(fā)放神經(jīng)元模型[6]。

HH模型是Hodgkin和Huxley于1952年通過對神經(jīng)纖維中神經(jīng)沖動傳播的研究而提出的,它是用來描述神經(jīng)元的軸突中膜電位與膜電流之間關(guān)系的一組微分方程組[7]。該方程組是可興奮細胞的經(jīng)典模型。FHN模型是對HH模型的簡化[8]。描述神經(jīng)元的模型要顯示的基本特征是:一個脈沖或者迅速地衰減(閾下的),或者形成典型形式沿著神經(jīng)元的軸突傳導(dǎo)下去,像行波一樣。由于非線性 HH模型和FHN模型的復(fù)雜性,長期以來缺乏一種求出其解析解的方法,因而常借助數(shù)值方法進行研究[7-10]。

FitzHugh-Nagumo方程(簡稱FHN方程)[6]:

是對HH模型的合理模仿,并且基本特征不會失去。FHN方程用來模擬遺傳特性的散布、神經(jīng)脈沖在神經(jīng)軸突上的傳播等。參數(shù) α是與細胞膜性質(zhì)相關(guān)的參數(shù),是由細胞膜的電特性決定的。FHN方程中參數(shù)β=0時,即得到Nagumo方程[9]:

Mckean[9]介紹了Nagumo方程的研究進展。Iqbal[10]研究了求Nagumo方程數(shù)值解時參數(shù)的取法。然而仍有一些問題需要研究,如Nagumo方程有無其他形式的精確解,得到的解之間有什么關(guān)系。本文將簡化后的(G′/G)展開法應(yīng)用于Nagumo方程,獲得其更多的有界行波解,并對解之間的關(guān)系進行簡單分析。

要尋找Nagumo方程(3)的行波解:

其中,K＞0為波數(shù);ω為角頻率;ξ0為常數(shù)。將式(4)代入方程(3)得q滿足的常微分方程:

方程(5)屬于Lienard方程。

根據(jù)齊次平衡原則[1,11],可設(shè)方程(5)有如下形式的解:

其中,G=G(ξ)滿足方程(2);a0,a1為待定常數(shù)。將式(6)代入方程(5)中,利用方程(2)可將方程(5)左端轉(zhuǎn)化為關(guān)于(G′/G)的多項式,令(G′/G)的各冪次項的系數(shù)為0,得到關(guān)于a0,a1,k,ω和δ的代數(shù)方程組(方程組右邊n代表(G′/G)的冪次):

解上述方程組得9組解:

將式(7)～式(15)9組解分別代入式(6),利用方程(2)的解,可得到Nagumo方程(3)的行波解:

其中,ξ=(2/4)x-((1-2α)/4)t+ξ0,稱為相變量;A1,A2為任意常數(shù)。若取A2=0,即得:

2 結(jié)論

利用簡化后的(G′/G)展開法求解Nagumo方程,獲得了9個解。

(1)其中平凡解u1=0,u2=α和u3=1界定了其余 6個非平凡有界行波解的運動范圍。

(2)二階線性方程的參數(shù)減少且僅取δ∈{-1,0}3個特殊值,使得方程的解的表達式簡潔了,(G′/ G)的表達式也簡潔了,且這些簡化并不破壞解的本質(zhì)特征。

(3)二階線性方程及其相應(yīng)解的簡化使得計算過程變得簡潔了,如減少了代數(shù)方程組中的參數(shù),解的整理也減少了步驟。

致謝:感謝王明亮教授的幫助和指導(dǎo)。

[1] Wang M L,Li X Z,Zhang J L.The(G′/G)-expansion Method and Travelling Wave Solutions of Nonlinear Evolution Equations in Mathematical Physics[J].Physics Letters A,2008,372:417-423.

[2] Zhang J,Wei X L,Lu Y J.A generalized(G′/G)-expansion Method and Its Applications[J].Physics Letters A,2008,372: 3653-3658.

[3] Gao H,Zhao R X.New Application of the(G′/G)-expansion Method to Higher-order Nonlinear Equations[J].Applied Mathematics and Computation,2009,215:2781-2786.

[4] Hyunsoo K,Rathinasam y S.Travelling Wave Solutions for Time-delayed Nonlinear Evolution Equations[J].Applied Mathematics Letters,2010,23:527-523.

[5] 馬玉蘭,李幫慶,孫踐知.(G′/G)展開法在高維非線性物理方程中的新應(yīng)用[J].物理學(xué)報,2009,58:7402-7409.

[6] 張偉,喬清理.聯(lián)想記憶人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)的發(fā)展和研究現(xiàn)狀[J].醫(yī)療衛(wèi)生裝備,2008,29(5):36-38.

[7] Hodgkin A L,Huxley A F.A Quantitative Descrip tion of Membrane Current and Its Application to Conduction and Excitation in Nerve[J].Journal of Physiology,1952,117:500-544.

[8] Fitzhugh R.Impulses and Physiological States in TheoreticalModels of Nerve Membrane[J].Biophysical J,1961,1:445-466.

[9] Mckean H P.Nagumo's Equation[J].Advances in Mathematics,1970(4):209-223.

[10] Iqbal M.Numerical Solutions of Nagumo's Equation[J].Journal of Applied Mathematics＆Decision Sciences,1999,3 (2):189-193.

[11] 李向正,張小勇,趙麗英.修正Euler-Painlevè方程的線性化解法[J].河南科技大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2007,28 (2):70-71.